Инвариантные решения

Учитывая инвариантность решения относительно сдвига вдоль координаты г, можно считать 01г=о = 0. Смысл необходимого условия и сделанного предположения состоит в том, что формирование и распространение волны со стационарным профилем возможно лишь тогда, когда температура на входе в слой катализатора настолько мала, что скоростью химической реакции при этой температуре можно пренебречь но сравнению со значениями скорости реакции в области наиболее активного превращения вещества. Так же как и в теории горения [91, это означает, что стационарное распространение фронта реакции описывает процесс приближенно, асимптотически. [c.31]

Операторы, относительно которых временное уравнение Шредингера для заданной квантовой системы является инвариантным, образуют группу А, В,. .. Действительно, если АФ и ВФ -решения временного уравнения, то в силу инвариантности решением будет и В(АФ), т.е. оператор С = ВА также принадлежит группе С. Тождественная операция, очевидно, принадлежит С и является ее единицей, а вот что касается обратных операторов, то здесь положение хитрее по крайней мере, если они существуют, то также принадлежат С. (Останавливаться на доказательстве этого утверждения не будем). Группа О, образованная операторами, коммутирующими с оператором Гамильтона, называется группой уравнения Шредингера. Рассмотрим множество собственных функций X, оператора А е О. Это множество можно разбить на подмножества тех функций, которые принадлежат одному и тому же собственному значению оператора Л [c.195]

Рассмотрим решение задачи равновесной динамики. Во-первых, проиллюстрируем с помощью более простого математического аппарата влияние многокомпонентности. Во-вторых, изложим дальнейшее развитие метода характеристик на примере решения краевых задач равновесной динамики. Вначале рассмотрим инвариантные решения типа скачков или бегущих концентрационных волн, что позволит вывести условия на скачках концентраций. В качестве простейшего примера исследуем смесь двух веществ. [c.32]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов, 1 азовая лина,мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, функционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Очевидно, что упомянутые выше и многие другие случаи подмодели-рования сводятся к выделению и описанию тех или иных классов точных решений уравнений газовой динамики. При этом естественна постановка вопроса о наиболее широком раскрытии возможностей, предоставляемых для этой цели самой исходной моделью. Здесь решающим является ее фуп-повое свойство, возможности которого иллюстрируются многочисленными примерами классов инвариантных и частично инвариантных решений. [c.83]

Классы инвариантных решений [c.108]

Специфика инвариантной подмодели состоит в том, что в ней участвуют лишь А < 4 независимых переменных. Поэтому инвариантные решения находить и анализировать, вообще говоря, проще, чем решения исходной системы (8.1). [c.109]

Классы инвариантных решений 111 [c.111]

Классы инвариантных решений 113 [c.113]

Некоторые частные случаи инвариантных решений ранга один (в основном — автомодельные решения) рассматриваются в главах III, IV. [c.115]

Частично инвариантные решения. Теория группового анализа позволяет выделять и изучать в качестве упрощенных моделей не только классы инвариантных решений. Одно из возможных обобщений понятий инвариантного решения достигается за счет отказа от полной инвариантности и использования частичной инвариантности многообразия относительно группы преобразований основного пространства. Это приводит к понятию и алгоритму отыскания так называемых частично инвариантных решений. [c.116]

В разнообразных проблемах математической физики важную роль играют инвариантные решения типа бегущих волн. Так называются решения, для которых распределения характеристик движения в разные моменты времени получаются одно из другого сдвигом, а не преобразованием подобия, как в случае автомодельных решений. Иными словами, всегда можно выбрать подвижную декартову систему координат так, что распределение характеристик движения типа бегущей волны в этой системе будет стационарно. К рассмотрению бегущих волн сводится исследование структуры фронта ударных волн в газодинамике [59, 46] и магнитной гидродинамике [60—62], структуры верхнего термоклина в океане [14, 209], структуры фронта пламени [41, 45], уединенных и периодических волн в плазме и на поверхности тяжелой жидкости [51, 145], а также многие другие задачи. В последнее время были исследованы различные процессы, включающие в себя эффекты распространения плазменных фронтов в электрических, электромагнитных, световых (лазерных) полях, так называемые волны распространения разрядов [30, 29, 87, 89]. Эти процессы также приводят к рассмотрению решений типа бегущих волн [89]. [c.100]

Собственные значения А., выделяющие из основной группы однопараметрическую подгруппу, также определяются из условия существования инвариантного решения в целом, т. е. удовлетворения инвариантным решением уравнению и граничным условиям. Спектр собственных значений и в этом случае может иметь различную природу. Так, в рассмотренной в предыдущей главе за- [c.127]

Устойчивость инвариантных решений [c.131]

Устойчивость решения (7.58) имеет первостепенное значение. Действительно, как уже не раз говорилось, инвариантное решение [c.132]

Уравнения (9.17) и (9.26), описывающие одномерные процессы совместного течения двух несжимаемых фаз и известные как уравнения Рапопорта-Лиса, представляют собой нелинейные уравнения параболического типа второго порядка. Точные рещения этих уравнений получены лищь для некоторых сравнительно простых частных случаев [7]. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также численные решения на ЭВМ [3, 33, 34, 51, 77]. [c.260]

Инвариантные решения. Предполагается, что базис инвариантов группы Я состоит из скалярных инвариантов двух видов. Первый составляют инварианты-функции только от независисмых переменных. Число к таких (функционально независимых) инвариантов может быть не более четырех пусть это будут [c.109]

Замечание 2, Для произвольных исходных систем дифференциальных уравнений возможна такая ситуация, когда факторсисте.ма оказывается противоречивой (т. е, не имеет решений). Олнако, для системы (8.1) эта ситуаш1Я встречается только при отыскании инвариантных //-решений ранга нудь. [c.110]

Число существенно различных классов частично инвариантных решений значительно больше, чем инвариаигных, так как они зависят пе только от выбора подфуппы Я основной группы, но также и от выбора лишних [c.116]

Эти группы можно использовать как для преобразований одних решений в другие (см. 8), гак и для отыскания классов инвариантных решений (см. 12) системы (23). Например, фуппа переносов по х порождает (в случае и = 1) течение, аналогичное рассмотренному в 11 течению от источника. Поэтому нетривиальным может быть только решение, инвариантное относительно группы (54). В соответствии с определением 13.2 эта группа порождает коническое автомодельное решение вида (32), которое является простой волной. Тем самым при любом и у систе.мы (23) существуют решения, которые будут называться автомодельньши простыми волнами. Эти решения и исследуются ниже. [c.234]

Дело в том, что, как правило, эти частные решения представляют собой асимптотики широкого класса других решений, отвечающих другим начальным условиям. В этом случае значение точных частных решений возрастает в сильнейшей степени. И эта часть вопроса отражена в заглавии книги, в словах промежуточные асимптотики . Значение решений как асимптотик зависит от их устойчивости. Вопросы устойчивости и поведения решений при малых возмущениях также рассматриваются в этой книге в частности, излагается предложенный в совместной работе Г. И. Баренблатта и моей простой метод исследования устойчивости инвариантных решений. [c.8]

Итак, существование и единственность решения нелинейной задачи на собственные значения доказаны. Используя методы, развитые в работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и И. С. Пискунова [57], Я.И. Капель [50] показал, что решение представляет собой асимптотику при t- oo решения некоторого естественным образом определенного класса начальных задач с условиями переходного типа. Заметим, что как в задаче о распространении гена, так и в задаче теории распространения пламени, непосредственное построение решения типа бегущей волны u = U l — Я1Э + с) о пределяет это решение с точностью до константы с. Эта константа может быть найдена только сращиванием инвариантного решения с неинвариантным решением исходной задачи. При этом очевидно, что какое бы промежуточное состояние системы l/(g, О), ), п(1, ) мы ни приняли за начальное, значение константы с не изменится. В этом смысле константа с является интегралом уравнений рассматриваемых задач (ср. [159]). [c.111]

Выполненный выше анализ продемонстрировал, что инвариантные решения — типа бегущей волны и автомодельные — представляют собой асимптотику решений определенного класса невырожденных задач с неинвариантными решениями. [c.139]