Интеграл и преобразование Фурье

Интересно отметить, что полученный интеграл — фактически преобразование Фурье функции дст (р), т. е. скорости реакции. [c.97]

Поэтому, вычисляя интеграл Фурье функции sAi(s), которую находят из опыта, можно определить величины как межъядерных расстояний, так и средних амплитуд колебаний. Однако практическое применение преобразований Фурье в газовой электронографии сопряжено с различными трудностями. [c.137]

Второй интеграл равен нулю при всех значениях 5, кроме окрестности 5=0. Применяя преобразование Фурье, получим [c.76]

Она является четной функцией Для любой частоты Зхх (л) >0. Физически величина спектральной плотности для частоты со показывает, какая доля мощности случайного процесса приходится на эту частоту. Общая же мощность случайного процесса может быть подсчитана как интеграл его спектральной плотности. Из обратного преобразования Фурье следует, что [c.158]

Метод определения переходных процессов по частот-НБш характеристикам систем построен на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье. Прямым преобразованием Фурье называется интеграл [c.132]

Преобразование Лапласа ставит в соответствие оригиналу изображение посредством определенного интеграла формально, как и в случае преобразования Фурье, и разница состоит в том, что переменная является ул<е не мнимым, а комплексным числом [c.588]

Интеграл в правой части (VHI. 38) представляет собой преобразование Фурье от искомой функции ф(х). Если теоретическая функция ф(т) достаточно проста, интегрирование в (Vni.38) может быть выполнено аналитически, после чего неизвестные коэффициенты функции распределения определяются из полученных экспериментальных значений. В более сложных случаях может быть использована техника гармонического анализа. Практические преимущества и недостатки каждого из трех названных типов входных функций мы обсудим ниже. [c.381]

Интеграл (5.10) является обратным преобразованием Фурье. Этим самым функцию Е (х ) мы представляем в виде суммы бесконечно большого числа синусоид с пространственными частотами, принимающими значения от нуля до бесконечности комплексная амплитуда каждой из этих синусоид равна бесконечно малой величине Е (и) йи, причем две соседние синусоиды отличаются по частоте на бесконечно малую величину йи. [c.38]

Уравнение (9-48) обладает свойствами кратного интеграла, в котором к (и) однозначно определяет функцию распределепия по коэффициентам диффузии. С помощью преобразования Фурье этот кратный интеграл трансформируется в простое произведение. Однако Бенуа не предлагает какого-либо метода для экспериментального определения двух из трех частей этого интеграла. Более того, он даже не рассматривает конкретного примера такого преобразования Фурье. [c.261]

Величина хО ) получается путем обычных процедур [1, 2, 14, с. 198] преобразования Фурье от С(и, t) или вычисления интеграла Z, (т) (1+/ jt) 1пг. Используя известные соотношения Кирквуда — Фуосса [2], устанавливающие связь между L (т) и комплексной восприимчивостью (или проницаемостью) [c.157]

Поскольку преобразование Фурье выполняют на цифровой ЭВМ, то фактически проводят не вычисление интеграла в выражении (2.6), а суммирование ряда по конечному числу точек. Это дискретное преобразование Фурье можно определить следующим образом [c.113]

Как и в случае функции корреляции молекулярных вращений, которую мы рассматривали в гл. 4, спектр частот можно найти путем преобразования Фурье функции R x)- На практике лучше обойти вычисление интеграла (5.14), для чего проводят раздельное преобразование Фурье s t) и v t) произведение полученных функций дает преобразование Фурье функции (т). [c.129]

Из выражений (7) и (8) следует, что / (со) является преобразованием Фурье корреляционной функции. Из определения величины J (со) следует также, что она представляет среднюю плотность флуктуаций при частоте со в течение длительного интервала времени от —Т до Т. Интеграл J (со) по всей области частот дает среднеквадратичное значение / I) р. Из соотнощений (4), (7) и (8) при т = О находим [c.335]

Два других интеграла будем анализировать отдельно. Используя косинус-преобразования Фурье гауссовой функции уравнение [c.139]

Уравнения нестационарной теории возмущений с зависящим от времени оператором возмущения можно переписать так, чтобы они по возможности более походили на общие уравнения квантовой теории столкновений, переходя к фурье-компонентам функций времени. Проще всего этот переход описать с помощью унитарного преобразования Фурье в пространстве функций, зависящих от времени и от пространственных координат как параметров. Будем считать, что в этом пространстве задано скалярное произведение как интеграл по пространственным координатам и времени. Так, напри- [c.46]

I — алгебраические преобразования II—преобразование Лапласа III—обратное преобразование Лапласа IV— интегральное преобразование V—преобразование Фурье VI — интеграл Вольтерра. [c.79]

Возможность улучшения разрешения спектра ЭПР вытекает из мультипликативности корреляционной функции. Корреляционная функция спектра есть произведение корреляционных функций собственной ширины линии и СТС. Поэтому если разделить экспериментальную корреляционную функцию на корреляционную функцию, содержаш ую некоторую ширину, полученная корреляционная функция будет содержать уменьшенную ширину. Используя обратное преобразование Фурье, мы получим спектр ЭПР с улучшенным разрешением. Эта идея была использована в [12] для улучшения разрешения в спектре ЭПР у-облу-ченного глицина. Авторы предварительно записывали спектр на накопителе для сглаживания шумов, далее вычисляли интеграл Фурье от спектра, делили на ехр(— 1/8 6г( ) с заданным значением бг и снова вычисляли спектр. Действительно, полученный спектр имеет меньшую ширину и лучше разрешен. Недостаток метода — большая чувствительность к шумам экспериментального спектра. [c.47]

Строгое доказательство соотношений (Е-17) и (Е-18) может быть найдено в стандартных учебниках (см., например, 13,4]). Формула (Е-17) известна под названием интеграла Фурье, и / (х) и // (/г) являются преобразованиями Фурье одной функции в другую. [c.25]

Полученное представление функции sAI(s) есть синус-преобразование Фурье функции D (ч). Согласно теории интеграла Фурье функция D (ч) является обратным синус-преобразованием функции sM (s) [c.496]

Интеграл Фурье. Преобразование Фурье [c.218]

Интеграл в правой части — это преобразование Фурье. Написанная формула для комплексной динамической податливости имеет смысл, если преобразование Фурье существует для обобщенной функции податливости i), т. е. интеграл сходится. Обобщенная функция податливости, определяемая уравнением (2.14), является суммой трех членов постоянной, линейной функции времени t и монотонно возрастающей ограниченной функции Ч ( . Каждый из этих трех членов не имеет преобразования Фурье, и, следовательно, интеграл в формуле (3.10) расходится. Это обстоятельство часто не учитывают, что приводит к значительным трудностям, особенно когда функции заданы не аналитическими выражениями, а численно. [c.83]

Интеграл в формуле (3.13) — это преобразование Фурье для производной функции ползучести. Смысл интегрирования по частям, произведенного выше, заключается именно в том, чтобы получить преобразование Фурье для функции, обращающейся в ноль на бесконечности. Преобразование Фурье самой функции ползучести t), очевидно, не существует, так как не выполняется [c.85]

Это уравнение соответствует уравнению (3.10) для комплексной динамической податливости. Так как здесь со — действительное число, то написанный интеграл является преобразованием Фурье. Подставив значение обобщенной функции релаксации из уравнения (2.15), получаем расходящийся интеграл при модуле fo . Поэтому вместо формального равенства (3.31) лучше использовать формулу (3.29), в которой сделан предельный переход от преобра- [c.89]

Формулы, определяющие основные функции с помощью преобразования Фурье, симметричны, так как само преобразование Фурье симметрично своему обратному преобразованию. Как известно, для существования преобразования Фурье функции f ( ) необходимо, чтобы функция была абсолютно интегрируема, т. е. должен существовать несобственный интеграл [c.148]

Порядок стремления к нулю подынтегральной функции определяет характер сходимости преобразования Фурье. Все экспериментально определенные функции задаются всегда на конечном интервале, тогда как для вычисления интеграла Фурье необходимо знать подынтегральную функцию на всей действительной полуоси. Поэтому для вычисления интеграла Фурье необходимо подынтегральную функцию, определенную на конечном интервале, экстраполировать на бесконечность. [c.148]

Результат нужно считать вполне удовлетворительным, так. как относительная ошибка равна всего лишь 0,25%. Этот результат не следует считать типичным. С увеличением частоты ю точность вычислений быстро падает. Надо учесть еще, что число ординат при вычислении интеграла должно быть достаточно большим, После того как в преобразовании Фурье бесконечный интервал заменен конечным интервалом интегрирования, мы получаем формулу, которая с точностью до постоянного множителя совпадает с формулой для коэффициентов ряда Фурье. В нашем случае в отличие от формулы для коэффициентов интервал интегрирования не будет кратным периоду тригонометрических функций. Преобразование Фурье для больших значений частоты будет соответствовать коэффициентам Фурье при гармониках высокой частоты. Хорошо известно, что выделение гармоник высокой частоты в ряде Фурье связано с большими вычислительными трудностями, так как требует большого числа ординат высокой точности для вычисления соответствующего интеграла. [c.151]

Рассмотрим некоторые факты, дополняющие проекционную спектральную теорему, доказанную в 2 1) произведем диагонализацию оператора Р (X), приводящую к разложению исходного гильбертова пространства в прямой интеграл собственных подпространств 2) изучим возможности разложения в том случае, когда вложение Я+ с= не является квазиядерным 3) докажем, что для наличия достаточно хороших спектральных теорем для семейства А необходимо наличие квазиядерной цепочки, стандартно связанной с Л. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера разложений (преобразование Фурье — Винера и изоморфизм Сигала). [c.260]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ПРЯМОЙ ИНТЕГРАЛ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ [c.260]

Для дальнейшего существенно напомнить, как формулы (3.3) переписываются в терминах прямого интеграла гильбертовых пространств и преобразования Фурье по обобщенным совместным собственным векторам семейства А (см. гл. 3, 3, п. 1). Так, Н, изометрично прямому интегралу гильбертовых пространств 1 N . .)) Nx( ) °о) [c.363]

Интеграл, входящий в (10.13), представляет собой преобразование Фурье. Для его вычисления из кривой, описывающей [c.204]

Интеграл (13.7) по форме эквивалентен преобразованию Фурье, причем он обладает очень удобными свойствами (Дополнение 13.2). Отметим, что за пределами образца р(г) = О, поэтому интегрирование в (13.7) можно распространить на все пространство без изменения значения интеграла. Таким образом, физический смысл уравнения (13.7) состоит в том, что структурный фактор есть фурье-образ объекта. [c.315]

Поскольку (8) есть фурье-образ р(г), должен существовать второй интеграл Фурье, связывающий обе величины. Это обратное преобразование Фурье [c.315]

Представление функции f(t) в виде (П.1) называется разложением в интеграл Фурье. Функция f(i(o), фигурирующая в этом разложении, иосит название преобразования Фурье от функции f(i). [c.292]

Преобразованием Фурье называется изображение РЦоз) от оригинала (1). имеющее вид определенного интеграла [c.587]

См также Б М Наймарн, Г А Погребинский, Е Л. Резников, Практические методы преобразования Фурье Теоретическая и вычислительная геофизика, М, изд-во Наука , 1971, где БПФ скомбинировано с методом Филона для вычисления интеграла Фурье, что позволяет увеличить интервал отсчета Д и сэкономить время вычислений —Прим. перев. [c.69]

Интегро-дифференциальную систему уравнений поля (31.6) можно реншть с помощью преобразования Фурье [c.114]

Интеграл (2.31) можно рассматривать как преобразование Фурье процесса E t) с наложенной весовой функцией (окном) а х—t), которая является огибающей импульсной характеристики АФ, точнее, огибающей, сдвинутой на время т с измененным знаком переменной. Для реальных АФ а(0) 0 и a(Ati) 0 (рис. 2.11, кривая 2) и функция а г—/) взвешивает (как бы вырезает) участок процесса E t) (рис. 2.17), условной, например, по уровню 0,05 /( )макс, ПОЛНОЙ длительностью, равной условной длительности окна ЛiфAi(2. .. 3)1Рф (2. ... .. 3)7 ф, где Рф и Гф —полоса пропускания и эквивалентная длительность окна АФ. У реальных АФ огибающая импульсной характеристики a t) симметрична, поэтому изменение знака переменной интегрирования не влияет на форму весовой функции. [c.60]

Здесь в отличие от формулы (3.10) вместо преобразования Фурье имеем преобразование Лапласа, так как экспонента зависит от комплексной переменной, а не от чисто мнимой переменной. Инт1грал Лапласа сходится на правой полуплоскости комплексной переменной, т. е. при со > 0. Подставив в интеграл значение обобщенной функции ползучести из уравнения (2.14), получаем в правой части три интеграла [c.84]

В третьей главе исследуются произвольные семейства коммутирующих самосс-пряженных (или нормальных), вообще говоря, неограниченных операторов. Пос-че изложения в 1 вспомогательных фактов и конструкций, связанных с совместным разложением единицы семейства операторов, мы доказываем в 2 центральный результат главы — проекционную спектральную теорему, показывающую, что единичный оператор распадается в интеграл от обобщенных проекторов на обобщенные собственные векторы семейства. Результаты, дополняющие эту теорему, собраны в з. Здесь, в частности, вводится преобразование Фурье, отвечающее данному семейству операторов, и строятся разложенпе исходного гильбертова пространства в прям к интеграл собственных (в обобщенном смысле) подпространств и спектральная теор1 я [c.9]

Из динамических теорий следует отметить масштабную теорию Сузуки /38/ и ее различного рода обобщения /39, 40/. Эта теория позволяет преодолеть ряд отмеченных выше трудностей, но имеет свои недостатки, главным из которых является проблема корректного описания конечной стадии установления равновесия. Многие работы, в которых анализируется решение уравнения ФП, существенно используют специфику его коэффициентов (потенциала взаимодействия). Среди них укажем работы, в которых совершается преобразование Фурье, переход от уравнения ФП к уравнениям для моментов функции распределения /41, 42/, разложение по полному набору ортогональных специальных функций, сведение анализа уравнения ФП к анализу уравнения Шредингера /43, 44/, представление решения в виде интеграла по траекториям и т.д. Основным недостатком этих теорий является то, что они применимы либо для анализа узкого класса уравнений ФП, либо для расчета минимальных СЗ без детального построения нестационарных решений уравнения ФП. [c.11]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология