Ханкеля функция

В этой формуле легко усматривается функция Ханкеля первого рода нулевого порядка [34] [c.133]

Однако из свойств функций Ханкеля следует, что [c.133]

В качестве линейно независимых решений уравнения (Г, 19) иногда используют первую и вторую функций Ханкеля (или фуикции Бесселя третьего рода) [c.687]

Выбор тех или иных функций в качестве независимых решении уравнения (Г,19) определяется поведением этих функций при больших значениях независимой переменной. Асимптотическое поведение функций Ханкеля при больших а характеризуется выражениями [c.688]

Это условие выполняется только специальной бесселевской функцией, т. е. модифицированной функцией Ханкеля нулевого по- [c.328]

При Яо С 0 т. е. Гд/Яо 1 дробь функции Ханкеля в уравнении (2. 396) принимает значение 1, так что уравнение (2. 396) совпадает [c.329]

С 1, уравнение (2. 396) также упрощается. Функции Ханкеля приближенно переходят в функции [c.330]

Здесь Ко (гоДо) ъ ( о/ о) это модифицированные функции Ханкеля нулевого и первого порядка — межатомное расстояние поверхностных атомов. [c.335]

Здесь jf и — сферические функции Бесселя и Ханкеля, /у и kj — те же функции для мнимого аргумента ). [c.599]

С другой стороны, последнее соотношение позволяет интерпретировать функцию влияния (11.48) как суперпозицию обобщенных плоских волн (математически описываемых функциями Ханкеля), распространяющихся от точечного источника, расположенного на поверхности кристалла. [c.311]

Оптическое волокно, имеющее световедущую жилу радиуса а из материала с диэлектрической постоянной еь окруженную оболочкой из материала с ег < б1 (магнитные проницаемости жилы и оболочки равны магнитной проницаемости вакуума), можно рассматривать как цилиндрический диэлектрический волновод. Решение уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат (л 0,2) для такого волновода (ось 2 совпадает с осью волновода) представляет собой выражение продольных компонентов Ех электрического и Яг магнитного полей в жиле и оболочке через цилиндрические функции. Компоненты поля Ег, Е , Н"г, Нд могут-быть выражены через Ег и Н . Ввиду того, что поля на оси волокна должны быть конечными, для жилы цилиндрические функции представлены функциями Бесселя первого рода 1п и). Для оболочки цилиндрические функции представлены модифицированными функциями Ханкеля Кп гю), являющимися положительными и монотонно убывающими до нуля при росте аргумента. Аргументы функции Бесселя и Ханкеля ы и ш представляют собой волновые числа для жилы и оболочки, определяемые из характеристического уравнения, получаемого из граничных условий непрерывности тангенциальных составляющих электрических и магнитных полей на границе раздела жилы и оболочки. [c.157]

Выражение для поля в оболочке получают путем замены постоянных Л и Вп на С и Dn, а функции Бесселя J Xir) — на модифицированную функцию Ханкеля первого рода Кп )- Поле оболочки может быть описано только этой функцией, так как она является единственной цилиндрической функцией, которая быстро стремится к нулю по мере увеличения г только в этом случае решение волнового уравнения будет описывать поле, связанное главным образом с жилой. [c.179]

При использовании для функции Бесселя и Ханкеля уравнений (А.4) и (А.6) (см. Приложение) уравнение (15) примет следующий вид [c.182]

Свойства функций Бесселя и Ханкеля [c.194]

Аргументом функций Бесселя является и, а модифицированной функции Ханкеля — ш [c.194]

Так как ш действительная величина, модифицированные функции Ханкеля Кп ) определяются следующим уравнением [c.194]

Q—собственно функция Бесселя первого рода первого порядка, Я1< )(гХ) -—первая функция Ханкеля первого порядка [c.164]

Точный способ расчета очень сложен, при этом необходимо оперировать с функциями Бесселя или Ханкеля. [c.247]

Хотя вековое уравнение в методе рассеянных волн имеет довольно сложный вид, благодаря удобным аналитическим свойствам функций Ханкеля оно очень эффективно решается на ЭВМ. Разложение волновых функций по I сходится очень быстро, и для каждого атома требуется совсем немного (обычно не более 3) сферических функций, после чего добавление следующих членов разложения (и увеличение размерности детерминанта) уже не приводит к существенным изменениям собственных значений. Таким образом, пробные решения вековых уравнений различных размерностей приводят ие только к отысканию достаточно точных собственных значений е,, но одновременно и к определению предельных значений /макс, которые необходимо учитывать в разложении волновых функций (в какой-то мере это соответствует решению, в рамках обычного подхода ЛКАО, вопроса об участии в химической связи АО с высокими значениями орбитальных квантовых чисел, например, Зй-АО у атомов непереходных элементов). [c.45]

Если, как и выше, перейти к системе координат, движущейся вместе с точкой контакта, и считать, что источник возмущений расположен в некоторой точке (хо, 0) этой новой системы, а также выбрать в качестве цилиндрической функции Zv функцию Ханкеля первого рода то изменение давления [c.410]

Конечные интегральные преобразования. Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье—Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения — ее стандартность — дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций. [c.56]

В заключение этого раздела необходимо отметить, что метод источников дает возможность решать не только непосредственно задачи с мгновенными источниками тепла, но и задачи на охлаждение или нагревание тела, когда в начальный момент времени задано распределение температуры как функции координат. К такому же результату можно прийти, если решать эти задачи методом интегрального преобразования Фурье — Ханкеля. [c.359]

Дальнейшее решение задачи можно вести по-разному используя специфические для этой задачи конечные преобразования Ханкеля, как это делает М. В. Елистратова [26], тогда решение получается в виде рядов по собственным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля разлагая входящие в (37) — (39) функции в ряд Ди-ни — Бесселя [c.419]

Обозначим изображение функции /(г) в преобразовании Ханкеля через /н(р) [c.513]

Пример. Предположим, что функция / (г) = 1/>. Тогда изображение функции в интегральном преобразовании Ханкеля имеет вид [c.514]

Как видно из формул (1.35), (1.36), равенства (1.33), (1.34) являются частным случаем преобразований Ханкеля, имеющим место при и = 0. Ввиду того, что существует связь преобразований Ханкеля нулевого порядка с двукратными преобразованиями Фурье, в дальнейшем будем рассматривать именно эти преобразования Ханкеля, которые неразрывно связаны с функцией Бесселя первого рода нулевого порядка. [c.18]

Отсюда видно, что в случае общего трехмерного поля Дг, 0) пара преобразований Ханкеля (1.33) и (1.34) будет верна для функции Д(г) и его спектра 5 (р). Пара преобразований, определяемая равенствами (1.38) и (1.40), является более общей. [c.19]

При решении различных задач применяются еще так называемые преобразования Фурье и преобразования Ханкеля с конечными пределами. Эти преобразования в основном сводятся к рядам Фурье (разложение функции на некотором ограниченном интервале в ряды косинусов и синусов), рассмотренным выше, и к рядам бесселевых функций. [c.20]

При решении многих задач пределы интегрирования являются конечными, тогда как во всех приведенных выше формулах преобразований пределы интегрирования бесконечные. Преобразования с конечными пределами интегрирования реализуются на практике через ряды преобразования Фурье двумерного случая - через ряды косинусов или синусов, преобразования Ханкеля - через ряды бесселевых функций. [c.20]

Написанные в этом параграфе формулы характеризуют преобразования Ханкеля нулевого порядка с конечными пределами. При этом формула (1.41) с соответствующими в каждом из рассмотренных трех случаев значениями определяет трансформанту Ханкеля или спектр функции Ф(р). И, наоборот, саму функцию Ф(р) через ее спектр Ф,(Д/ ) находят при помощи формул (1.43), (1.47), (1.56), которые являются рядами функции Бесселя первого рода нулевого порядка. [c.24]

Соотношение [6, 7] является интегральным уравнением 1-го рода с ядром Ф (уД). Интегральные уравнения 1-го рода лишь в немногих частных случаях допускают решение по известным формулам обращения определенного интеграла (формулы обращения Фурье, Лапласа, Ханкеля). В большинстве же случаев приходится находить решение специальным методом, используя особенности данного интегрального уравнения. В нашей задаче требуется, кроме того, такое решение интегрального уравнения [6, 7], которое допускало бы нахождение функции W Щ по экспериментальным данным /( ). Так, например, если в уравнение [6, 7] подставить по формуле [5, 7] вместо Ф2( Л) функцию Гинье, то уравнение [6, 7] будет иметь вид формулы преобразования Лапласа, допускающей, как известно, обращение. Однако в обращенной формуле требуется знать функцию /( ) на комплексной плоскости, что, очевидно, невозможно. [c.54]

При / = О модифицированная функция Ханкеля принимает бесконечно большое значение, которому нельзя дать никакой разумной физической интерпретации. Кроме того, источник ад-атомов (т. е. места роста) должен иметь конечную протяженность. Поэтому, следуя Бартону и Кабрера и Лоренцу необходимо ввести радиус Го, на котором концентрация ад-атомов всегда остается равновесной. Этим расстоянием может быть, например, расстояние от места роста до ближайшего положения ад-атома (энергетическая яма). Лоренц оперирует с половиной величины этого расстояния. Точное объективное определение этой величины Гд едва ли возможно. Поэтому вторым граничным условием должно быть [c.328]

Преобразование Ханкеля. Для осесимметричных сплошных п полых цилиндрических тел, когда в уравнении теплопроводности оператор Лапласа записан в цилиндрических координатах, применение интегральных преобразований по пространственным координатам к задачам нестационарной теплопроводности приводит к )штегральным преобразованиям, ядрами которых будут функции Бесселя различных порядков. [c.39]

Пусть 2, г и 0 — цилиндрические координаты. Компоненты поля Ег и Нг удовлетворяют уравнению Гельмгольца, если они пропорциональны функциям Бесселя, умноженным на е " , где п = О, 1,. .. Для жилы выбрана функция Бесселя / (ur/a), а для оболочки — модифицированная функция Ханкеля Кп vrla). Радиус цилиндра равен а. Функции выбраны так, чтобы поле было конечно на оси и уменьшалось с увеличением г. Подставляя решения в граничные условия, получим систему из четырех линейных уравнений для определения четырех констант. Приравнивая детерминант данной системы нулю, получим следующую зависимость [c.235]

Вокруг каждого атома имеется несколько сферических функций Ханкеля 1-го рода, представляющих собой хвосты АО, связанных с данным атомом и экспоненциально убывающих по мере удаления от него. На поверхности каждой атомной сферы суперпозиция всех таких убывающих хвостов от всех атомов должна непрерывно, вместе с 1-й производной, переходить в решения уравнения Шредингера внутри данной сферы. Это требование ( сшивка волновых функций) приводит к системе вековых уравнений для амплитуд различных сферических функций Ханкеля 1-го рода. Ненулевые решения этой систеглы уравнений возможны при определенных собственных значениях е,, которые находят из условия равенства нулю детерминанта векового уравнения. [c.45]

Фурье. Комплексное преобргзование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности, синус-пресбргзование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеют место граничные условия первого рода, а косинус-преобразование Фурье— когда решаются дифференциальные уравнения переноса при граничных условиях второго рода. Преобразование Ханкеля применяется в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральных преобразований после появления подробных таблиц изображения не вызывает особых затруднений. [c.55]

Если функция Ф(р) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (О, р ) и ее трансформанта Ханкеля с конечными пределами в этом интервале определяется при помощи соотношения [c.20]