Интегральный метод для нелинейных задач

Конкретная структура математических уравнений и способов обработки данных зависит от экспериментального метода проведения кинетических исследований. Для дифференциальных реакторов это будет система алгебраических уравнений, для изотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, сравнительно просто линеаризуемых в отношении констант, для неизотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, нелинейных относительно констант. Следует отметить, что успехи в области решения нелинейных задач химической кинетики и поисковых методов [4, 15—17] позволили создать эффективные алгоритмы, обеспечивающие практически одинаковую достоверность в определении структуры кинетических уравнений и входящих в них констант для любого экспериментального метода кинетических исследований. [c.77]

Анализу разнообразных задач нестационарной теплопроводности посвящена обширная литература (см., например, [1-9]). В [9] приводится классификация методов возможного решения дифференциального уравнения в частных производных типа (4.1.2.3) классический метод разделения переменных метод интегральных преобразований (Лапласа и др.) метод функций источников (Грина и др.) метод тепловых источников, чаще используемый при нелинейных граничных условиях вариационные методы методы линеаризации уравнений и др. Широко используются численные методы (сеточные и метод конечных элементов). [c.231]

Исследование кинетики процесса может быть, таким образом, сведено к задаче аппроксимации экспериментальных кривых кривыми, соответствующими решениям системы уравнений (1), (2). Этот метод кинетического исследования мы называем интегральным методом но д- б о р а. Близкий к изложенному метод нелинейной оценки был недавно предложен для обработки результатов кинетических измерений Ф. Петерсеном [1]. [c.250]

Полезными методами решения нелинейных задач теплопроводности являются интегральные методы, разработанные А.С. Лейбензоном, Т. Гудменом и др. Наиболее существенным недостатком известных интегральных методов является априорное задание семейства профилей температуры. Степень приближения задаваемого распределения к действительному, а следовательно, и точность метода зависят от интуиции автора и, как правило, удовлетворительны лишь в ограниченном диапазоне параметров задачи. Многопараметрический метод, разработанный Л.Г. Лойцянским, предлагает путь рационального построения семейства профилей температуры в слое, основанный на решении преобразованного к новым безразмерным переменным дифференциального уравнения. [c.363]

Поиск минимума функционала (критерия идентификации) на ЦВМ ведут стандартными методами. Эта задача является типичной задачей нелинейного программирования и должна решаться соответствующими приемами. Для конкретных полимеризационных систем описано применение методов Гаусса — Зайделя, случайного поиска [37], наискорейшего спуска [35] и др. Специфика получающейся математической системы, характер ограничений и, наконец, наличие стандартных подпрограмм поиска оптимума определяют выбор метода. Идентификация с помощью ЦВМ существенно ускоряется при использовании прямых интегральных уравнений (при получении которых велика роль качественных методов анализа и различных вспомогательных предположений, в том числе допущение стационарности там, где это возможно). [c.76]

Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена. — В кн. Проблемы теплообмена Пер. с англ./ Под ред, П. Л. Кириллова. М. Атомиздат, 1967, с. 41—96. [c.406]

Интегральные методы были применены Карманом и Польгаузеном для решения нелинейных гидродинамических задач пограничного слоя. В предлагаемой работе интегральный метод используется применительно к задачам теплообмена. Аналогом толщины пограничного слоя здесь является глубина проникания . Решения, найденные с помощью этого метода, хотя и не совсем [c.3]

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА [c.41]

В этой главе излагается математический метод, называемый интегральным, который позволяет получить приближенные решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности. При решении данных задач нет необходимости их линеаризовать, ибо сам метод достаточно эффективен и позволяет успешно преодолеть все трудности, связанные с нелинейностью задачи. С помощью интегрального метода уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями удается привести к обыкновенному дифференциальному с заданными начальными условиями, решение которого часто может быть получено в замкнутой аналитической форме. [c.41]

Введем теперь в рассмотрение величину б(/), которую назовем глубиной проникания . Глубина проникания 6 t) обладает следующим свойством. Для всех значений л > б( ) можно с достаточной точностью считать, что температура среды равна температуре начального состояния, а тепло не распространяется за пределы этого расстояния. Глубина проникания — аналог толщины пограничного слоя в гидродинамике. Умножив соотношение (1) на dx и проинтегрировав в пределах от л = О до д = 6, получим уравнение, называемое интегралом теплового баланса. Потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности (1), а осредненному, т. е. интегралу теплового баланса. Отсюда следует, что исходное уравнение теплопроводности будет удовлетворяться лишь в среднем. Такое осредненное уравнение—интеграл теплового баланса— аналог интеграла импульсов в теории пограничного слоя. Впервые интегральные методы были введены Карманом и Польгаузеном [2] для решения нелинейных гидродинамических задач пограничного слоя. Современное состояние метода Кармана — Польгаузена и библиография по этому вопросу рассмотрены в монографии Шлихтинга [3 ]. Одна-ко этот же метод с одинаковым успехом можно применить для решения любой задачи, описываемой уравнением диффузионного типа. Уравнениям данного типа подчиняются такие процессы, как процесс нестационарной теплопроводности в твердых телах, неустановившееся течение жидкости в пористых средах, смешение двух биологических разновидностей, распространение слухов (из области социальных наук). Ниже интегральный метод будет развит применительно к задачам теплообмена. Решения, найденные с его помощью, хотя и не совсем точны, тем не менее часто вполне удовлетворительны с инженерной точки зрения. [c.42]

Интегральный метод, конечно, не единственный приближенный метод, применяемый при аналитическом исследовании. Ниже мы кратко рассмотрим некоторые другие аналитические методы, имеющие сходство с интегральным в том смысле, что в них также используется идея конечной глубины проникания возмущения и они одинаково применимы к решению как линейных, так и нелинейных задач. Результаты, полученные с помощью этих методов для некоторых простых случаев, будут сопоставлены с соответствующими решениями, найденными интегральным методом. Рассмотрим два таких метода метод Био и метод Швеца. [c.63]

Ниже мы рассмотрим три способа улучшения точности решения, полученного интегральным методом. Эти способы применимы, когда источником нелинейностей является или уравнение поля, или граничные условия, или и то и другое одновременно. Так как детальное рассмотрение этих способов привело бы к увеличению объема статьи, то мы рассмотрим их только в общих чертах. В-каждом из названных способов улучшение точности достигается решением начальной задачи, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для решения такого рода задач легко приспособить быстродействующие цифровые машины. [c.77]

Метод моментов. Одной из ранних работ, посвященных приложению интегрального метода к решению нелинейного уравнения теплопроводности, является работа Фуджиты [47]. Автор приводит довольно сложную методику, идея которой, по словам Фуджиты, заимствована у Ямады [48]. Пусть задача описывается одномерным уравнением теплопроводности, а теплофизические свойства вещества зависят от температуры. Положим в уравнении (194) Wj = = хК Если рассматриваемая область занимает интервал а < х <С Ь, то уравнение (194) дает [c.80]

Приближенные методы расчета пограничного слоя. Экономные приближенные методы решения сложных нелинейных задач пограничного слоя, не доступных автомодельным методам, были предложены еще в 20-е годы. В основе так называемых интегральных методов лежит замена уравнений пограничного слоя некоторым интегральным соотношением, базирующемся на теореме импульсов, выполняющейся в среднем по всей толщине пограничного слоя. [c.172]

Ири решении нелинейных задач различного вида последовательное применение метода интегральных соотношений по стандартной схеме приводит к громоздким вычислениям, тем более сложным, чем больше число неизвестных коэффициентов в приближенном выражении. Заметного упрощения можно достигнуть таким подбором приближающих функций, чтобы нужная точность по.лучалась уже в одном из [c.140]

Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. [c.59]

Так как уравнение (6.6) или (6.8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны. Некоторые из них уже были рассмотрены применительно к задачам упругого режима (метод последовательной смены стационарных состояний, метод интегральных соотношений, метод усреднения). [c.183]

В случае линейной формы задания последних членов в правых частях уравнений (3.23), (3.24) (например, для реакций первого порядка в изотермических условиях) задача (3.23)—(3.26) допускает аналитическое решение стандартными методами. При этом удобнее пользоваться постановкой задачи, которая вытекает из диагонализированной формы уравнений (3.19), (3.20) в результате применения к ним интегрального преобразования (3.22). В случае более сложной формы последних членов в правых частях уравнений (3.23), (3.24) (например, при нелинейной зависимости скоростей реакций от состава фаз или когда процесс протекает в неизотермических условиях) решение краевой задачи (3.23)—(3.26) целесообразно искать численными методами. [c.145]

Схема циклов нагружения (рис. 4.6) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач — методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и значения местных упругих или упругопластических напряжений или деформаций. По этим распределениям могут быть определены номинальные напряжения или деформации, которые в дальнейшем используют при оценках прочности и ресурса. Вместе с тем следует признать, что для многих режимов и вариантов геометрических форм элементов конструкций такие расчеты чрезвычайно трудоемки, а их точность определяется заданием исходных краевых условий — по усилиям, температурам, физико-механическим свойствам материалов. [c.136]

Современному аналитику часто приходится участвовать в проведении такой важной операции, так математическое моделирование, т. е. представление системы и всех ее подсистем (компонент) в математической форме. Тип модели, которая разрабатывается для представления какой-либо определенной физической системы, зависит от постановки задачи и налагаемых ограничений. После того как сформулирована базисная качественная модель, математические уравнения для модели могут быть выведены из фундаментальных физических принципов или из экспериментов, проводимых с компонентами системы. В общем случае математические уравнения, описывающие систему, могут иметь различную форму это могут быть линейные или нелинейные уравнения, обычные или дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях и другие уравнения. Если информацию предполагается получить из модели, то уравнения, записанные одним из указанных выще способов, необходимо рещить. Однако многие из этих уравнений не имеют аналитического (в математическом смысле) рещения. Вследствие этого рассматриваемая область является именно той областью, где существенную роль играют численные методы ОД при помощи компьютера. Типичные примеры таких методов описаны в литературе [56— 59]. Так, в статье [59] обсуждаются численные методы решения уравнения диффузии — конвекции, описывающего дисперсию в цилиндрической трубке, которая играет важную роль в аналитических методах, основанных на весьма популярной в настоящее время методике анализа в потоке. [c.380]

В некоторых из перечисленных случаев используются распределенные вдоль поверхности электрода источники тока в качестве способа сведения задачи к интегральному уравнению. Получающееся при этом интегральное уравнение, которое бывает линейным или нелинейным в зависимости от используемого закона поляризации, часто решается численными методами. [c.384]

Прямое обобщение метода вычисления, использованного ранее при выводе уравнения для ф, теперь приводит к двум нелинейным интегральным уравнениям для ф+ и ф , каждое из которых включает дт- С учетом связи, существующей между этими уравнениями, задача построения самосогласованных рещений Ф+ и ф- является более сложной, хотя, по-видимому, разрешимой. [c.162]

Сведение нелинейных операторов к линейным позволяет воспользоваться приведенной выше теорией линейных дифференциальных и интегральных операторов для исследования достаточно широкого класса химических производств. В частности, такие преобразования дают возможность сравнительно легко применять методы математической статистики и теорию случайных функций для решения задач идентификации нелинейных объектов управления с использованием экспериментальных данных о процессах. Кроме того, сведение нелинейных дифференциальных операторов к линейным интегральным значительно упрощает применение средств вычислительной техники, а именно цифровых и аналоговых вычислительных машин, для изучения стационарных и нестационарных режимов работы нелинейных объектов химической технологии. [c.90]

Гораздо более эффективное улучшение точности дает использование итерационной схемы (Шамбре), рассмотренной в разд. II, А.1. В данном случае улучшение точности гарантировано, поскольку доказана сходимость итерационного процесса. Однако использование метода Шамбре имеет два неприятных обстоятельства. Первое состоит в том, что данный метод применим только в тех случаях, когда можно получить интегральное уравнение. Это ограничивает применение метода только к задачам, описываемым линейным уравнением, и допускает наличие нелинейностей только в граничных условиях. Другое обстоятельство заключается в том, что вместо дифференциального уравнения приходится решать интегральное. А интегральное уравнение менее удобно для решения на быстродействующих цифровых вычислительных машинах по сравнению с дифференциальным, главным образом, потому, что интегральные уравнения содержат как фиксированные, так и изменяющиеся переменные. [c.77]

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связц между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью . Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе Примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощг.ю специальной замены переменных. [c.495]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов, 1 азовая лина,мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, функционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

При помощи метода интегральных соотношений можно найти также решение задачи о пуске скважины при нелинейном законе фильтрации вида [c.234]

Во всех примерах, рассмотренных в этом разделе, предполагалось, что начальная температура среды постоянна или, без ограничения общности, рав-иа нулю. Задачи, в которых задано начальное распределение температуры, не рассматривались. Причина этого заключается в том, что в настоящее время невозможно с помощью интегрального метода решать задачи такого типа. В качестве возможного метода решения этих задач можно указать на использование теоремы Гудмена [20], которая гласит, что решение любой линейной задачи всегда может быть выражено в терминах задачи сопряженной. Сопряженная задача также является обычной задачей теплопроводности, но только для времени, отсчитываемого в обратную сторону и обязательно с нулевым начальным распределением температуры. Таким образом, для решения линейной задачи с неоднородной начальной температурой косвенно можно применить интегральный метод, ибо, решая сопряженную задачу интегральным методом и используя затем теорему Гудмена, связывающую прямую и сопряженную задачи, можно получить интересующее нас решение. Другие приемы, применимые как к линейным, так и к нелинейным задачам, рассматриваются в разд. VH, где изложены различные обобщения интегрального Metofla. [c.54]

Методы структурной оптимизации. Они предполагают на первом этапе определение способов реализации химического производства (выбор альтернативных способов ведения процесс на отдельных стадиях) и создание на их основе некоторой интегрально-гипотетической технологической схемы, включающей все возможные варианты распределения материальных и энергетических ресурсов. Оптимизация ведется по специально определенным структурным параметрам распределения потоков, значения которых обычно задаются в диапазоне от О до 1 и характеризуют разделение или разветвление некоторого выходного потока. Конечные значения параметров и определяют технологическую схему. Нулевые значения отдельных из них свидетельствуют об отсутствии соответствующей связи аппаратов. С математической точки зрения задача синтеза представляет собой решение систем нелинейных уравнений, соответствующих описанию отдельных элементов (подсистем), и уравнений, отражающих структурные взаимосвязи между этими элементами (подсистемами). Основными методами решения являются методы нелинейного программирования. В виду высокой размерности системы уравнений поиск оптимального решения (технологической схемы) представляет определенные трудности вследствие многоэкстремальности и нелинейности задачи. [c.438]

Но даже частные задачи синтеза подсистем, как уже было указано, с трудом поддаются решению стандартными методами нелинейного программирования. Поэтому были разработаны и развиваются специальные методы решения ЗС ОХТС. Эти методы делятся на аналитические и эвристические, на интегральные и последовательные. [c.110]

В статье Т. Гудмена описывается интегральный метод решения нелинейных задач нестационарного теплообмена. Обычно при решении задач теплопроводности предполагается, что теплофизические свойства постоянны. Учет зависимости свойств от температуры приводит к нелинейному уравнению. Кроме того, нелинейными могут быть и граничные условия, связанные с излучением или фазовыми превращениями на границе (плавление, испарение). [c.3]

Для постоянного теплового потока F глубина проникания будет определяться зависимостью вида б = ( ) Yat, а температура поверхности — зависимостью z = ) В табл. 2 приведены значения коэффициента пропорциональности для б и г, который должен стоять в круглых скобках. Решения даны для трех возможных схем счета, здесь же— результаты, найденные интегральным методом, и результаты точного решения. Из табл. 2 видно, что результаты, полученные по методу Швеца для задачи с постоянным тепловым потоком, имеют низкую точность. Уместно напомнить для сравнения, что в задаче со ступенчатым изменением температуры, решенной с помощью метода ШвецгГ, точность результата оказалась недостаточно высокой. Конечно, для повышения точности могут быть сделаны приближения более высокого порядка, однако при этом резко возрастает трудоемкость счета. Описаный метод можно использовать для решения нелинейных задач, и сам Швец применял его для решения некоторых нелинейных задач о пограничном слое, получая при этом удовлетворительную точность уже после первого приближения. [c.67]

При использовании интегрально-гипотетического принципа синтеза ХТС задача синтеза ТС формализуется как задача о назначениях (ЗОН), основной предпосылкой которой является равенство значений тепловых нагрузок для всех ТА системы [13]. Исходные технологические потоки декомпозируются на тепловые элементы с равным количеством тепла и для этих тепловых элементов составляется ГОТС теплообменной системы. Для решения задачи синтеза ТС как ЗОН используются методы дискретного линейного и нелинейного программирования. [c.15]

Так, например, Р. Вискантаи Р. Грош [46], решая задачу одновременного переноса тепла в поглощающей среде теплопроводностью и излучением в простейшей модели (две параллельных изотермических серых плоскости бесконечных размеров), пришли к (нелинейному интегро-дифференциальному уравнению, которое было приведено к нелинейному интегральному уравнению, лосле чего численные результаты получили методом последовательных приближений с использованием вычислительной машины. Для расчета теплообхме на рекомендованы два приближенных метода. [c.54]

Прн решении поставленной задачи может возникать ряд трудностей. Возможна ситуация, когда критерий оптимальности - функция / - не выписана и аналитическом виде (в виде формулы), а оиредслиегсн как решение некочо-рой системы уравнений (алгебраических, интегральных, дифференциальных) либо система ограничений (14), (15) в силу своей нелинейности не позволяет выразить зависимость от переменных в явном виде. Здесь следует отметить, что большинство сложных практических задач обладает именно зти.ми особенностями математической переформулировки. Задачи такого типа являются предметом изучения нелинейного программирования. Название подчеркивает существенные различия данного случая и ситуации, когда и критерий оптимальности, и ограничения линейны по переменным. г. и задача может быть решена методами линейного программирования. [c.17]