Алгебра матричная, Матрица

Определив методами матричной алгебры ранг матрицы А, для чего она должна быть преобразована в эквивалентную матрицу А [c.200]

В матричной алгебре показывается, что это имеет место, когда ранг матрицы равен d. Для определения ранга матрицы ее преобразуют так, чтобы часть строк состояла из нулей. Число остальных строк, где не все элементы обратились в нули, равно рангу матрицы. Преобразование матрицы коэффициентов для определения ее ранга можно выполнить по следующим простым правилам. Вначале проводят деление первой строки на vu/vn l. Затем, вычитая из строки / первую строку Vij раз, получают матрицу с нулями в первом столбце [c.103]

Таким образом, для определения матрицы А нужно найти матрицу X, а по ней, пользуясь методами матричной алгебры, матрицы Х и Рот- [c.39]

Эта система имеет сколь угодно большое число решений, но только часть из пих — независимые. Для определения числа независимых решений, как показывается в матричной алгебре [8] необходимо определить ранг г матрицы А коэффициентов левой части системы ( 1.29) [c.199]

Получим теперь тот же результат при помощи матриц. Здесь приводится только правило (определение) умножения двух матриц. Как показано ниже, другие правила матричной алгебры, необходимые в данном случае, аналогичны соответствуюш,им алгебраическим действиям, которые применяют для решения системы линейных уравнений. [c.79]

Достоинство матричной формы представления в том, что в этом случае к структурным формулам можно применять все операции матричной алгебры. Как видно из приведенных примеров (вьфажения 13.2-1 и 13.2-2), получаемые матрицы — квадратные и симметричные относительно главной диагонали, по- [c.584]

Словесное описание гейзенберговского развития квантовой механики звучит довольно несложно, если принять на веру его основные предположения. Гейзенберг исходил из предположения, что существует матрица (см. приложение 2), которая соответствует каждой наблюдаемой физической величине, характеризующей систему. Квантовые законы были получены из матричной алгебры. Особое внимание уделялось коммутационным свойствам матриц. [c.18]

Процесс нахождения коэффициентов уравнения регрессии (VII 1.20) удобно выполнять, используя приемы матричной алгебры. При этом А -матрицу переменных факторов и К-матрицу наблюдений выходного параметра можно записать так [c.201]

Приведение к канонической форме основано на использовании матричной алгебры и заключается в преобразовании матрицы констант К типа п X т, ранг которой г (г 0), в матрицу формы [c.30]

Теория групп в той форме, в которой она представляет для нас интерес, использует в значительной мере матричные обозначения, так что мы сначала изложим элементы матричной алгебры,, причем сделаем упор на матрицы, связанные с линейными преобразованиями координат. [c.229]

Для наиболее компактного решения поставленной задачи сформулируем ее в терминах матричной алгебры [38]. Пусть мы имеем щ растворов, содержащих в различных соотношениях щ компонентов (нет необходимости, чтобы все щ компонентов содержались в каждом растворе). Представим оптические плотности всех этих растворов при пх длинах волн в виде матрицы оптических плотностей размера щ X а [c.49]

Как легко теперь заметить, все предыдущие уравнения остаются справедливыми, если подставить вместо фи соответствующие им матрицы и использовать законы матричной алгебры. Уравнение собственных значений приобретает вид [c.36]

В матричной алгебре доказывается, что матрица собственных векторов, диагонализирующая какую-либо эрмитову матрицу, является матрицей унитарной [c.74]

Читатель, знакомый с основами матричной алгебры, без труда сообразит, что составляющие вектора М равны сумме элементов соответствующей строки матрицы А/. [c.177]

Пусть О есть г-параметрическая матричная группа Ли и, как и прежде, уа, сс=1,. .., г —базис алгебры Ли группы О. В предыдущем параграфе мы видели, что любая матрица Г 1-форм связности группы О принимает значения в алгебре Ли этой группы. Таким образом, любая такая матрица Г принадлежит множеству [c.29]

Структурная алгебра вырождается в элементарную структурную алгебру (которая соответствует матричной алгебре, но не наоборот) при условии, что в матрице каждая заполненная (безразлично чем, например полиномом) клетка на диагонали или вне ее соответствует вершине или соответственно связи, а действия — обычные матричные. Кратные связи тогда становятся простыми сумма и произведение п симплексов становится п-симплексом умножение справа на звезду, у которой связи направлены внутрь,, дает тождественную звезду, и, следовательно, она получает свойства (правого) нуля и т. д. [c.376]

В матричной алгебре следом 5р называется сумма диагональных элементов, или 5р5 = 2а . В структурных матрицах молекул при изоморфном замещении атомов величинами их свойств при помощи образования следа находится молекулярное свойство. Так, замещая в матрице муравьиной кислоты (8.29) атомы атомными весами или рефракциями, мы находим молекулярный вес (8.30) или молекулярную рефракцию (8.31) [c.384]

С точки зрения структурных матриц для вычисления свойств молекулы из атомных констант достаточно 0-мерные элементы изоморфно заместить их атомными константами и взять сумму последних. Такая сумма элементов по диагонали в матричной алгебре носит название следа ( первый след). Итак, аддитивное свойство молекулы есть первый след структурной матрицы атомных констант. Структурная матрица (8.129) передает 0-мерные элементы муравьиной кислоты (8.130) получена из нее изоморфным замещением на атомные рефракции. Молекулярная рефракция (пропорциональная поляризуемости) есть след матрицы (8.130). Представление свойств посредством структурной матрицы шире, чем обычное определение аддитивности, приведенное выше. Каждому атому элемента нулевого порядка в структурной матрице может соответствовать различная атомная константа, к чему в ряде случаев приходится прибегать и в аддитивных расчетах. Так, в (8.130) атомная рефракция обоих атомов кислорода различна. [c.428]

Напомним, что в матричной алгебре суммой матриц Л и В называется матрица, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов с одинаковыми номерами из Л и В произведе- [c.375]

Другая, более общая и распространенная форма обработки опытов по линейному МНК, особенно при использовании цифровых ЭВМ, состоит в применении методов матричной алгебры. Составляют матрицу-сторбец У, где представлены вычисленные из опытов значения функций у [c.85]

При применении аппарата матричной алгебры математическая модель механизма реакции рассматривается как единое целое. В этом случае ПП очень простая, а ПРФО весьма сложная, поскольку именно в ней при каждом расчете функции отклонений перерабатывается зашифрованная в виде матриц информация о структуре механизма. Первый опыт применения матричного метода показал, что программы расчета скоростей реакций, которые строились на его основе, могут уступать в скорости счета ручным программам [44]. Это связано, в основном, с большим числом операций над разреженными матрицами, и требует дальнейшего совершенствования вычислительных алгоритмов. [c.201]

Объединением операционных матриц отдельных технологических аппаратов может быть получена математическая модель (в линейном приближении) всей ХТС. Понятие операционных матриц значительно упрощает исследование и оптимизацию сложных ХТС, так как позволяет легко формализовать процедуры расчета ХТС со структурой практически любой сложности и свести их к безытерационному рещению систем линейных уравнений. При этом широко используются хорошо разработанный аппарат комбинаторного анализа, матричной алгебры и топологические методы анализа и синтеза сложных ХТС, в частности, метод сигнальных графов [15]. [c.22]

Имеется большое количество программ для решения системы линейных уравнений при помощи матричной алгебры. Используя эти программы, необходимо в качестве исходной информации задавать только коэффициенты при переменных и константы, входящие в систему уравнений. Следовательно, ирименение матричной программы исключает необходимость составления программы для решения уравнений материального баланса. Амундсон и Понтинен первыми решили на ЭВЦМ задачи многокомпонентной ректификации при помощи матриц. [c.78]

В специальной литературе по инженерным методам расчета гидравлических систем водо- и теплоснабжения, вентиляции и других матричная алгебра до появления и активного применения ЭВМ, в общем-то, не использовалась. Американский математик Л.А. Пайпс, перечисляя в своей обзорной статье [181] области применения матриц в технике, поставил на второе место (после электрических цепей) распределение скоростей потоков воды в сложных гидравлических системах . [c.49]

Введем нек-рые понятия матричной алгебры, используемые при получении оценок зависимостей и определении их точности. Матрицей А называют нек-рую таблицу чисел порядок, илн размер, матрицы тхп определяют число ее строк т и число столбцов п. Элементы матрицы А обозначают через 2, , где первый индекс указывает на его принадлежность к /-й строке, второй ->му столбцу (для матрицы В-элемеиты 6., для матрицы D-d, и т.д.). Матрицу, состоящую из одного столоиа. называ1Йт вектором а, матрийу, содержащую одинаковое число строк и столбцов (при т = и), - квадратной матрицей. Элемент матрицы, у к-рого значения индексов равны (/ = ), называют диагональным. Матрицу, все элементы к-рой. кроме диагональных, равны нулю, называют диагональной если все ее диагональные элементы равны I, матрицу называют единичной и обозначают через Е. Матрицу, у к-рой строки заменены столбцами, а столбцы -строками, называют трансцонированной и обозначают через А . Если А = А, такую матрицу называют симметричной. Сумма двух матриц А и В одинакового порядка т х и-матрица О = А + В того же порядка, для к-рой /. = д. + 6,. [c.324]

Для двухкомпонентной системы уравнения (6.11) и (6.12) образуют аналогичную матрицу. При i 3 эти уравнения легче решать для коэффициентов ка в численном виде, чем в неявной форме. Такие решения можно выполнить, используя стандартные методы матричной алгебры специальные области применения и примеры даны в литературе [4, с. 86 13, с. 403—412]. Для систематических анализов двух-и трехкомпонентных систем расчеты можно сильно упростить, если построить номограммы, что не требует больших усилий [101]. Для оценки недиагональных коэффициентов методом скорейшего спуска Перри [83, 86] предложил использовать одну-две смеси известного состава. [c.260]

Существует также ряд встроенных векторных и матричных функций. Они облегчают решение задач линейной алгебры и других сфер приложения векторов и матриц. Приведем основные векторные функции, входящие в систему Math ad [c.55]

Выполнение условия (VIII.64) матрицей планирования ПФЭ легко проследить на конкретном примере, используя понятия матричной алгебры. Рассмотрим план типа 2 (табл. 19), для которого А -матрица наблюдений и К-матрица-столбец наблюдений имеют вид [c.218]

Если принять, что J = BJh L BLB, матрица L будет симметричной, а уравнение будет иметь ту же форму-, что и уравнение (10). В матричной алгебре хорошо известна теорема, согласно которой действительную симметричную матрицу можно привести к диагональному виду с помощью преоораэования, использованного в уравнении (12). Это означает, что силы можно выбрать таким образом, чтобы все перекрестные члены исчезли, а каждая сипа влияла бы только на один поток, сопряженный с нею. Однако этот выбор не обязательно окажется наиболее естественным. [c.125]

При применении аппарата матричной алгебры математическая модель механизма реакции рассматривается как единое целое. В этом случае ПП очень простая, а СПРФ весьма сложная, поскольку именно в ней при каждом расчете функции отклонений перерабатывается зашифрованная в виде матриц информация о структуре механизма. СПРФ, базирующаяся на использовании аппарата матричной алгебры, описана в работе [138]. Опыт применения [c.193]

Матричные методы расчета колонн многокомпонетной ректификации. Выделение этой группы методов возможно и несовсем правомерно, т,ак как, например, при использовании релаксационных методов задача также может быть сведена к решению систем линейных алгебраических уравнений методами матричной алгебры [227—250]. Впервые матричные методы в расчетах процессов ректифик,ации были использованы в работах [227, 228, 229], при этом системы уравнений, описывающие распределение температур, составов и величин потоков пара и жидкости по ступеням (разделения, решались независимо друг от друга методом Гаусса [238—243]. Матричные методы р,асче-та в свою очередь. различаются по двум основным признакам— методу решения систем уравнений математического описания, записанных б матричной форме, и используемым методом снижения размерности реш,аемой системы уравнений. Так был предложен метод сведения нелинейной системы уравнений к линейной, что вполне возможно при использовании метода Тилле—Гедеса для расчета распределения составов и метода Ньютона—Рафсона для определения температур на ступенях разделения [239]. Следует отметить, что реал.из,ац ия матричных методов, особенно в сочетании с методом Ньютона—Рафсона, требует использования ЭВМ с колоссальным объемом оперативных запоминающих устройств (необходимость хранения матриц коэффициентов систем уравнений и матриц величия частных производных от системы уравнений м,атематического описания по всем итерируемым переменным). Некоторое сокращение-размерности системы уравнений математического описания возможно лишь для случая расчета процессов ректификации идеальных смесей [228], но введение учета неидеальности смеси приводит к увеличению размерности задачи до первоначальной. Предлагалось также в сочетании с матричным методом расчета использовать концепцию реальной ступени разделения при введении заданной постоянной величины к. п. д. Мерфри [230]. Позднее матричные методы получили развитие в целом ряде работ [230—245]. В связи с широким использованием в расчетах процессов химической технологии методов квазилинеаризации эти методы нашли широкое применение и в расчетах процессов ректификации многокомпонентных смесей [241, 238, 239]. Так, например, метод квазилинеаризации позволяет существенно улучшить характеристики сходимости матричных методов расчета [237]. В пос- [c.56]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология