Матричное представление группы

Матричное представление групп симметрии [c.122]

Матричное представление группы. Набор матриц, которые преобразуются друг через друга точно так же, как операции группы (т. е. согласно такому же закону умножения). [c.460]

Самой важной теоремой в теории групп является теорема, дающая соотношение ортогональности между неприводимыми матричными "представлениями группы. Как указано в гл. X, эта теорема в математической записи гласит [c.493]

Таким образом, любое матричное представление группы симметрии должно быть либо одним из неприводимых представлений группы, либо их линейной комбинацией. [c.51]

Неприводимое представление. Неразложимое на более простые матричное представление группы. [c.460]

Пока что мы ознакомились только с одним способом построения матричных представлений группы из других представлений (например, неприводимых) —путем прямого суммирования. Существует еще один способ, называемый образованием прямого произведения двух (или большего числа) представлений, который символически обозначается следующим образом Г = = Г, (2) Гз. [c.131]

Из предыдущих соотношений можно получить дальнейшие интересные результаты. Любое матричное представление группы должно быть одним из неприводимых предста- [c.243]

Теперь, имея правильное матричное представление группы О, мы можем поступить точно так же, как в 2.3. Ковариантная внешняя производная в расширенном пространстве У4 определяется для всех элементов V соотношением [c.56]

Г + Г Л Г мы получим явное выражение для матрицы кривизны, соответствующее матрице связности Г, ассоциированной с матричным представлением группы О на аффинной системе V из [c.65]

Матричные представления группы [c.74]

Легко понять, что можно написать сколько угодно матричных представлений группы sv Так, перенумеровав атомы водорода, [c.47]

Всякая непрерывная группа имеет естественное матричное представление, называемое присоединенным представлением, которое определяется следующим образом [c.96]

Оба вектора можно использовать при описании валентных колебаний этой молекулы, имеющей симметрию Сг . Рис. 4-7 помогает наглядно проследить, как действуют операции симметрии данной группы в выбранном базисе. В точечной группе Сз имеются четыре операции симметрии Е, С , / и Операция Е оставляет базис неизменным, так что соответствующее матричное представление выражается единичной матрицей [c.195]

З.А. Приложение. Матричные представления и характеры группы К(3) [c.70]

Таким образом, имеющиеся в нашем распоряжении функции принадлежат к базису приводимого представления. Попробуем теперь построить из них функции, которые образуют базисы неприводимых представлений группы симметрии гамильтониана. Пусть вГ— матричный элемент неприводимого представления г, удовлетворяющий равенству (6.44), а Ф — функция, которая входит в базис приводимого представления. Определим при произвольном, однако в дальнейшем фиксированном значении V функцию следующим образом [c.139]

Заметим, что Е на самом деле можно факторизовать на три одномерные единичные матрицы.) Если рассматривать С ф) как матричное представление произвольной операции вращения группы R(3), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А2), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А7). (Заметим, однако, что сказанное относится только к вращению вокруг оси г.) Если рассматривать Е как матричное представление тождественного преобразования группы R(3) (операция, которая оставляет систему неизменной), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А1), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А8), и, наконец, в виде прямой суммы трех одномерных представлений. Однако если мы хотим, чтобы представления были характерными для всей группы в целом, то трехмерным вращениям С( ) следует сопоставлять трехмерное представление, двумерным вращениям С Ф)— двумерное представление, а одномерным вращениям С(ф) — одномерное представление. Матрицу С ф) удается факторизовать на одномерные компоненты лишь в особом случае, когда ф == пп. [c.72]

Чтобы выяснить вопрос об относительной важности членов в разложении второго порядка теории возмущений, следует учитывать два соображения. Наиболее очевидное из них основывается на рассмотрении знаменателя в членах суммы выражения (6.62). Если числители в членах этого выражения принимают сравнимые значения, то те из этих членов, которые отвечают более низким значениям , т. е. меньшим значениям знаменателя, должны давать больший вклад, чем члены, соответствующие более высоким значениям энергии Второе соображение основано на учете симметрии и теории групп. Возмущение в данном случае имеет сферическую симметрию и поэтому преобразуется по полносимметричному неприводимому представлению группы 0(3). Следовательно, только возбужденные состояния, обладающие такой же полной симметрией, как и волновая функция нулевого приближения, должны приводить к ненулевым значениям матричных элементов или Я ,. В общем виде волновые функции нулевого приближения можно записать так [c.117]

Каждый элемент вектор-строки оказывается линейной комбинацией базисных функций Ыд с коэффициентами, образующими столбцы матрицы С. Если подействовать на вектор оператором к, соответствующим некоторой операции Я группы симметрии рассматриваемой системы, то результат этого действия можно выразить как произведение вектора я и матричного представления К операции / [c.274]

Характер. След матричного представления для какой-либо операции группы. [c.462]

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Матричные элементы оператора (45,2), образованные с помощью функций, относящихся к разным неприводимым представлениям группы равны нулю. Поэтому система уравнений типа (46,2) распадается на систему независимых уравнений, относящихся в отдельности к каждому из неприводимых представлений группы 1>2- [c.208]

Существует только конечное число неприводимых представлений конечной группы. Сумма квадратов размерностей неприводимых матричных представлений равна числу элементов группы. Обычным путем табулирования неприводимых пред- [c.72]

Мы не обращаем сейчас внимания на то, каким способом вводится понятие представление , и ограничиваемся лишь констатацией того факта, что нам известно матричное представление конкретной группы операций симметрии , Тем самым мы хотим подчеркнуть, что введенным понятиям в настоящий момент не приписывается никакого физического смысла, как это было, например, сделано при описании вырожденных энергетических уровней при помощи определенных представлений. Предположим далее, что известен и набор функций [c.124]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Предположим, что имеются два набора функций фг (/ = = 1,2,. .., т) и фг (г= 1,2,. .., т ), каждый из которых образует базис матричного представления той же группы О [c.131]

Возвратимся теперь к модели электрона в электростатическом поле четырех протонов. Прежде всего убедимся, что для описания свойств симметрии прямоугольника достаточно лишь операций симметрии группы D2, как это следует из табл. 6.4 учитывать полную симметрию D2h прямоугольника излишне, поскольку ввиду его плоскостности некоторые операции группы Dih оказываются идентичными. Чтобы доказать приводимость матричного представления, описываемого формулами (6.73а) — (6.73г), необходимо прежде всего выяснить, какие неприводимые представления в него входят. Это нетрудно сделать при помоши формулы (6.56), поскольку, чтобы найти вклады ki отдельных неприводимых представлений в рассматриваемое приводимое представление, достаточно провести суммирование произведений [c.141]

Физический смысл происходящего при этом разложения исходного представления на т неприводимых представлений группы С заключается в том, что под влиянием возмущения происходит расщепление исходного энергетического уровня ( на т новых уровней, которые можно классифицировать по неприводимым представлениям группы С. К такому же выводу, разумеется,, можно прийти Б результате анализа матричных элементов секу- [c.159]

Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы (при выполнении граничных условий Борна) равен NlN2NзH, где Н — порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Поэтому представление пространственной группы состоит из матриц, которые являются произведениями матричных представлений группы трансляций и точечной группы (положение несколько усложняется, если пространственная группа содержит винтовые повороты и зеркальные отражения) [25, 26]. Представления пространственной группы могут быть одномерныАШ, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. Уинстон и Халфорд [37] показали, что след [c.111]

Рассмотрев все четыре операции в точечной группе 2 , найдем, что полное представление в базисе координат смещения для молекулы НМЫН состоит из четырех матриц размера 12 х 12. Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как это можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, который приводит малопривлекательные и громоздкие представления операций симметрии к более простой форме [1]. С помощью подходящего преобразования подобия обычную матрицу можно превратить в так называемую б.ючно-диагочальиую матрицу. В такой матрице ненулевые элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-диагональная матрица имеет вид [c.199]

Вообще говоря, теория групп представляет собой раздел математики, начало развития которого было положено в 1832 г. Эваристом Галуа в его исследованиях, посвященных решениям алгебраических уравнений. Согласно общему определению, под группой понимается совокупность (набор) произвольных математических элементов, связанных между собой некоторым законом сочетания, который обеспечивает свойства ассоциативности комбинаций [т. е. условие, что А ВС) — АВ)С и т. д.] и замкнутость набора (т. е. условие, что все члены данного набора могут быть получены комбинированием других членов этого набора). Закон сочетания элементов условно называется умножением. Согласно такому закону, для элементов группы можно построить таблицу умножения. Набор матриц, которые подчиняются правилам той же таблицы умножения, что и элементы группы, называется матричным представлением (или просто представлением, хотя под этим всегда понимается матричное представление). Простейшие возможные наборы представлений называются неприводимьши представлениями группы. Характер элемента в некотором представлении — это след матрицы (или ее итур — сумма диагональных элементов), соответствующей данному элементу в рассматриваемом представ- [c.57]

Матрица 0(Я) является матричным представлением R. Кроме того, представление 0(Я) неприводимо, так что каждому энергетическому состоянию можно приписать неприводимое представление группы О. [c.72]

В качестве входной информации для небольшого числа электронов могут быть заданы численно матричные элементы неприводимых представлений, отвечащие всем перестановкам данной группы. При большом числе электронов целесообразно численно задавать лишь матричные элементы транспозиций вида так как любая перестановка может быть представлена как произведение таких транспозиций. Это существенно сокращает объем необходимой численной информации, так как число всех перестановок группы равно N1, а число транспозиций указанного вида (Н -1). Информация о матрицах неприводимых представлений группы перестановок может быть задана полностью алгоритмически, так как элементы матриц для транспозиций с последовательными индексами могут быть вычислены по простым правилам Шга и Яманути [ 12 ]. [c.185]

Поскольку приближение ЛКАО в зонной теории является частным случаем общей схемы ЛКАО, все сказанное в разд.1.3.3 о матричных элементах справедливо и для кристаллов. Следует, однако, помнить, что вековое уравнение (2.18) по смыслу пе полностью совпадает с уравнением (1.38) оно написаио не для АО, как уравнение (1.38), а для линейных комбинаций АО, симметризованных по неприводимым представлениям группы трансляций. Поэтому элементы определителя (2.18) не будут кулоиовскими и резонансными интегралами типа (1.49) и (1.53). Одиако учитывая, что базисные БФ (2.17) яв.тя-ются линейными комбинациями АО, их можно выразить через матричные элементы в базисе из АО, т. е. через интегралы (1.49) и (1.53), к которым уже в полной мере относится все сказанное в разд. 1.3.3. [c.67]

Соответствующие матрицы также образуют представления группы, если заменить обычное умножение матричным умножением. Обозначая через е, а, Ь, с, d, f матрицы преоб-равования координат, связанные с соответствующими [c.237]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология