Тензор Грина

Явное выражение для тензора Грина (1.81) не позволяет свести [c.203]

Тензор Грина кристалла с дефектом Ов, являющийся резольвентой для (12.40), находится как исчезающее на бесконечности решение уравнения [c.212]

Мы видим, что основная трудность нахождения тензора Грина дефектного кристалла переносится на вычисление матрицы Т. В случае, когда в простой кристаллической решетке имеется только один дефект-изотоп (12.42), матрица [c.213]

Найдем создаваемое точечным дефектом упругое поле и убедимся, что оно действительно простирается на макроскопические расстояния (иначе подобное рассмотрение не имело бы смысла). Обозначим через Сг (г) статический тензор Грина теории упругости, т. е. исчезающее на бесконечности решение уравнения [c.245]

В изотропном приближении для неограниченного пространства тензор Грина может быть записан в явном виде [c.245]

Полученные выше формулы позволяют описать упругое взаимодействие отдельных точечных дефектов. Но прежде чем приступить к записи общих соотношений, обратим внимание на выделенное положение изотропной среды, где точечный дефект с шаровой симметрией создает чисто сдвиговое поле напряжений. Оказывается, что в линейном приближении взаимодействие центров дилатации в изотропной среде отсутствует. Действительно, если считать, что (19.19) или (19.20) характеризует действие на один центр дилатации упругого поля другого центра дилатации, то в (19.19) или (19.20) следует положить Ohi — 0. Однако отсутствие взаимодействия двух точечных дефектов в линейном приближении есть следствие предельно простой модели и изотропии среды, а не общее правило. В анизотропной среде или даже в изотропной среде с несимметричной моделью дефекта всегда имеется упругое взаимодействие точечных дефектов. Это взаимодействие удобно характеризовать энергией (19.17), считая, что й( относится к одному дефекту, а деформация гт создана другим дефектом. Энергия взаимодействия двух точечных дефектов естественным образом может быть выражена через тензор Грина соответствующей среды. Пусть один дефект находится в точке г = Гу (его характеристика йЯ ), а второй — в точке г = (его характеристика й11>). Тогда применение формулы (15.9) приводит нас к такому выражению для упругой дисторсии [c.298]

Без труда можно убедиться в том, что если поле тензора деформаций Грина задано, то основные характеристики деформации е и у также известны. [c.8]

Упражнение 29. Проверьте коммутационные соотношения (10.86) —(10.89) двумя разными методами (1) используя интегральные представления (10.82) — (10.85) (2) подставляя полные 4-мерные тензоры F v и n vat в (7.40) и используя функции Грина операторов из упражнения 15. [c.86]

Пусть для области V известен тензор перемещений Грина ( , т ) от действия единичной сосредоточенной силы в точке rj . V, получаемый из решения системы уравнений [c.64]

Компоненты тензора перемещений Грина (х, л ) при X П 5 яв- [c.66]

Покажем теперь, что рассматриваемая задача сводится к решению системы интегральных уравнений второго рода. Пусть для области V известен тензор перемещений Грина (х, ) от действия единичной сосредоточенной силы в точке F, удовлетворяющий граничным условиям [c.76]

Тензоры деформаций по Коши — Грину и Фингеру. Рассмотрение простого сдвига позволяет ввести понятия о еще двух тензорах, характеризующих деформацию в окрестности данной точки. Они часто используются в литературе применительно к условиям сдвига, а также для записи полных реологических уравнений состояния (см. ниже). Для этого вернемся к анализу формулы (1.13) и представим ее в следующем виде [c.38]

Здесь величины представляют собой компоненты нового тензора 7 называемого тензором Коши — Грина (его компоненты будем обозначать надстрочным символом О). Величины yfj выражаются через компоненты тензора больших деформаций следующим образом [c.38]

Т. е. касательные (недиагональные) компоненты тензора Коши — Грина равны удвоенным компонентам тензора больших деформаций, а к диагональным компонентам, кроме того, прибавляется единица. [c.38]

Что касается простого сдвига, то для него компоненты тензора деформаций по Коши — Грину запишутся следующим образом [c.38]

Интерес представляет также обратный тензор Коши — Грина , или тензор деформаций по Фингеру компоненты которого [c.38]

Для того чтобы закончить краткое рассмотрение тензоров деформации но Коши — Грину и по Фингеру, приведем еш е главные компоненты этих тензоров, выраженные через главные относительные удлинения. Для этого воспользуемся, например, формулами [c.39]

Непосредственная проверка подстановкой этих выражений в формулу (1.27) подтверждает, что она действительно выполняется, т. е. тензоры деформации по Коши — Грину и по Фингеру обратны друг другу. [c.39]

Это эквивалентно соответствующему линейному соотношению, записанному через компоненты тензора деформаций пр Коши — Грину [c.57]

Наконец, учитывая, что сумма уГх -Ь + Хд ) представляет собой первый инвариант обратного тензора Коши — Грина, т. е. тензора Фингера, потенциал (1.62) можно представить в виде линейной комбинации первых инвариантов тензоров и у К в следующей форме [c.62]

Для уравнения ( 1.58) также можно построить функцию Грина. Однако если функция Грина уравнения равновесия представляла собой тензор второго ранга, то уравнение несовместности требует введения в качестве функции Грина тензора четвертого ранга. В работах [5, 6] соответствующее уравнение и его решение приведены в явном виде. [c.316]

Если же провести разложение по относительным флюктуациям тензоров податливостей и воспользоваться явным видом функции Грина уравнения несовместности, то в этом же приближении на- [c.327]

Здесь Gik—функция Грина уравнения равновесия, определенная равенствами (VI. 53) и (VI.54), а ф(г) описывает координатную зависимость бинарного корреляционного тензора модулей упругости согласно (VI. 123). [c.331]

Тензор градиентов смещения (s) обычно записывается через компоненты тензора Коши — Грина в момент i -Ь s относительно нас- [c.103]

Ковариантные компоненты тензора Коши — Грина легко найти из формул (3.33) — (3.35). [c.105]

Тензор часто называют тензором деформаций Коши — Грина, его вид в произвольной системе координат был дан в основном тексте [уравнение (3.33)]. При этом определение относительный и верхний индекс t почти не употребляются, так как предполагается, что рассматриваемая в текущий момент времени конфигурация принимается за ту, по отношению к которой выражается деформация. [c.254]

Используя уравнение (Б.35), получим тензор Коши — Грина в виде [c.254]

По определению, матричные элементы оператора G (к) явля ются фурье-образами тензора Грина анизотропной задачи теорий упругости. Для того чтобы более детально определить структуру оператора G (к), рассмотрим выражение для матричных элементов (компонент тензора) обратного оператора G-i (к) [c.202]

Вектор к определен в первой зоне Бриллюяна решетки растворителя. Решение уравнения (38.12) выражается через тензор, обратный А а) (тензор Грина уравнения равновесия) [c.328]

Существенное обобщение модели КСР было достигнуто ее распространением на случай больпшх деформаций. Это потребовало введения дифференциальных операторов, рассматриваемых при анализе кинематики сплошной среды и использованных для построения нелинейных теорий вязкоупругости. Этим способом были получены все те же результаты, что и при обсуждений феноменологических моделей. Такой подход предполагает решение проблемы корреляции динамических и стационарных характеристик вязкоупругих свойств полимерных систем не в рамках собственно молекулярных представлений, а путем привлечения идей о геометрической нелинейности как причине наблюдаемых эффектов. Поэтому естественно, что применение яуманновской производной в модели КСР приводит к соотношению т] ( i) = TI (y) при = Y, а использование тензоров Грина и Фингера для описания больших деформаций — к получению соотношений, вытекающих из теории И. Пао. [c.308]

ТПодставив (12.45) в (12.44), получим окончательное символическое выражение для тензора Грина кристалла с дефектом [c.213]

Л и ф ш и ц И. М., Розенцвейг Л. Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды.— ЖЭТФ, 1947, 17, в. 9. [c.346]

Вторая проблема связана с тем, что записанное выражение относится только к случаю одномерного нагружения. Более полное рассмотрение, обобщающее записанное выражение для трехмерных деформадий, было дано Грином и Ривлином [23]. В их работе рассматривается не ползучесть, а релаксация напряжений. Принимается, что напряжение в момент времени f зависит от градиентов смещений, осуществлявшихся в N моментов времени в интервале от О до I. После рассмотрения ограничений, связанных с требованием инвариантности свойств материала в условиях вращения элементов среды как жесткого целого, Грин и Ривлин при ТУ, стремящемся к бесконечности, получают мульти-интегральное выражение для описания общего случая нелинейных вязкоупругих явлений. Их результат относится к анализу процесса релаксации. В общем случае оказываются невозможными какие-либо простые преобразования записанных таким образом выражений с тем, чтобы перейти к формуле для ползучести. Это связано с тем, что в функционал для напряжения входят градиенты смещения. Поэтому компоненты тензора напряжений, выраженные в фиксированной координатной системе, оказываются зависящими от вращения элементов среды. [c.203]

Рассмотрим случай, когда в точке XqEL задана обобщенная функция температуры TqS(x - Хо), где T a — константа, а 5(д - дсо) — дельта-функция Дирака. На части поверхности S положим температуру, равную нулю. Найдем в этом случае решение уравнений теплопроводности и термоупругости дпя рассматриваемой области. Эта задача является полностью определенной в смысле краевых условий и корректно поставленной. В результате решения системы уравнений (3.23) определим распределение значений тензора напряжений в объеме тела, в том числе и на поверхности S. Обозначим тензор напряжений на S через Я (х, хо). Пусть точка Ло пробегает все множество точек, принадлежащих L. В результате построим функции Грина для напряжений. Зная функции ГринаЯ ( , х), можно определить напряженное состояние на поверхности 5 от произвольного распределения температуры Т(х) на поверхности L при условии равенства нулю температуры на S. Тензор напряжений в точках s S можно представить в следующем виде [c.84]

Различие между рассматривавшимся выше тензором больших деформаций 7 и тензором деформаций но Коши —Грину, за исключением несущественного отличия в числовом коэффициенте, такое же, как между относительным изменением размера (т. е. величиной изменения размера, отнесенного к исходному) и степенью этого изменения (т. е. новым размером, отнесенным к исходному). В отсутствие деформаций все 7,/ = О, aLyfj = б(/, т. е. равны единице . [c.38]

Примером использования более сложных реологических уравнений состояния для установления корреляции между динамическими функциями и напряжениями при установившемся течении вязко-упругих жидкостей являются результаты, полученные И. Пао . В его теории при записи реологических уравнений состояния использовался тензор больпшх деформаций по Грину и обратный ему тензор Фингера, а переход к фиксированной системе координат производился с помощью яуманновской производной. Введение суммы двух мер больпшх деформаций привело к формулировке реологического уравнения состояния, из которого были получены иные по сравнению с рассмотренными выше выражения для т (у) и а (у), которые, однако, также связаны с релаксационным спектром системы. И. Пао получил следующие соотношения между т (у), а (у) и динамическими функциями [c.306]

Полученные результаты могут быть обобщены для упругого потенциала любой формы, относящегося к несжимаемому упругому телу последнее условие означает, что независимыми являются только два инварианта тензора больпшх деформаций. Пусть упругий потенциал является некоторой функцией инвариантов и Е , что можно представить (см. раздел 6, гл. 1) как функцию первых инвариантов тензоров деформации но Грину и по Фингеру [c.331]

Аналогично можно показать, что ряд ( 1.107) будет определять эффективный тензор податливостей. Явное значение оператора X в этом случае будет определяться случайной составляющей оператора совместности = eiipeknq VnSpqlm и тензорной функцией Грина этого оператора. [c.326]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология