Тензор упругих модулей

Возвращаясь к уравнению (4.25), заметим, что тензор С ы может быть идентифицирован с тензором упругих модулей Я/, , только в том случае, если он обладает вполне определенными свойствами симметрии. В частности, сравнение уравнения (4.25) с обычным уравнением теории упругости [c.95]

Из (5.19) вытекают требуемые свойства симметрии тензора упругих модулей (4.30) [c.115]

В силу симметричности тензоров гц и Тц (Еи = Бя и Тг, = Гя) Для тензоров упругих модулей с и 5 справедливы следующие равенства [c.281]

Из сопоставления равенств (VI. 68) и (VI. 63) видно, что, приняв эффективный тензор упругих модулей равным среднему, мы тем самым приходим к однородности поля деформаций. В то же время поле напряжений может обладать случайной составляющей. Такое приближение было впервые предложено Фойгтом в задаче [c.319]

Упругие свойства а-кварца описываются семью независимыми компонентами тензора гибкости и семью компонентами (модулями) тензора упругости. [c.336]

Здесь о(дс) -г- соответствующая компонента тензора упругих напряжений, причем о (х) —I напряжения, созданные внешними нагрузками, а ст (х, ) -напряжения, созданные в точке х на линии двойникования отдельной дислокацией,- расположенной в точке этой же линии. В неограниченном однородном кристалле а°(х, О = ( - ) . где D всегда имеет порядок величины произведения модуля сдвига х и модуля вектора Бюргерса Ъ (Р м6), а его конкретное значение определяется анизотропией среды. Напомним, что в изотропной среде для краевой и винтовой дислокаций имеем [c.55]

И ИЗ формул (1.32) —(1.34) имеем симметрию компонент тензоров модулей упругости и податливости по парам индексов [c.14]

Для определения модулей упругости изотропного тела (параметров Ламе А. и х, модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона >) в эксперименте образцы подвергают таким испытаниям, прп которых создаются легко контролируемые виды напряженного и деформированного состояния. Классическим из таких испытаний является растяжение образца — прямого (пе обязательно кругового) цилиндра — равномерно распределенной по основаниям нагрузкой интенсивности д. Практически состояние чистого растяжения реализуется в средней части длинного образца, достаточно удаленной от захватов испытательного устройства. Если выбрать систему координат так, чтобы ось была параллельна образующим цилиндра, а две другие оси лежали в плоскости поперечного сечения, то матрица компонент тензора напряжений будет иметь вид [c.35]

Здесь VI и г 2 — нелинейные модули упругости, а С — тензор деформации Фингера, равный [c.572]

Упругие свойства среды характеризуются модулями упругости, связывающими компоненты тензоров напряжений ст,у и деформаций. Малая частица среды рассматривается как термодинамическая система с макроскопически однородным по объему распределением средних значений физических величин. Процесс деформирования считается достаточно медленным, так что в каждый момент времени успевает установиться состояние термодинамического равновесия. В этом слз ае его можно считать обратимым и [c.29]

Здесь Okk — первый инвариант тензора напряжений Xf — коэффициент теплового расширения Е — модуль упругости ц — коэффициент Пуассона Т — температурное поле без источников / — компоненты единичного вектора внешней нормали в точках поверхностей L к S. [c.84]

Таким образом, мы имеем полное выражение (38.26) для энергии, связанной с упругой деформацией матрицы, при введении в нее точечных дефектов. Эта энергия выражается через константы материала параметры решетки растворителя, концентрационные зависимости периодов решетки, частоты колебания и модули упругости решетки чистого растворителя. Все эти данные можно получить из независимых экспериментов. Векторы Г , (к) в приближении ближайших или ближайших и следующих за ними соседей могут быть выражены через модули упругости и концентрационные коэффициенты Для этого необходимо использовать определение (38.5) и связь тензора а% р) с силами Гр (К) [c.332]

Коэффициент А при произведении компонент тензора деформации (при в квадратичном члене ) называется модулем поперечной упругости. Его физический смысл становится ясным, если рассмотреть простой сдвиг тогда Yia О, а все остальные компоненты тензора y равны нулю. Потенциал Рейнера (1.60) предсказывает, что в этом случае появятся не только касательные, но и поперечные нормальные напряжения, направленные перпендикулярно направлению сдвига [c.61]

Общие соотношения. Возможность установления связи между различными компонентами тензора напряжения связана с их представлением через релаксационный спектр системы. Практически проще всего это сделать, используя известные экспериментальные факты корреляции между компонентами комплексного модуля упругости G (со) и G" (со) и величинами т и ст при условии сравнения со = у. Подробно этот вопрос рассматривался в предыдущем разделе. Здесь использованы конечные результаты, которые позволяют получить уравнение. Связывающее зависимости х (у) и а (у). [c.354]

Здесь 3 ij (t) — компоненты тензора ядер релаксации Ьц, i>i2, i 2i, 221 2b — компоненты тензора модулей упругости [c.44]

Закон Гука для анизотропных тел. Напряжения и деформации в упругом теле связаны между собой законом Гука. При помощи тензора упругих модулей Сг ы или податливостей д закон Гука может быть записан в виде [c.309]

Здесь ФгТг,пт( — т) —составляющие тензора наследственных функций, — тензор упругих модулей четвертого ранга. [c.72]

Введем вместо тензора модулей упругости а тензор приведенных модулей упругости Ардг, по формуле [c.25]

Известно [144—147], что модули упругости анизотропной среды в общем случае образуют тензор четвертого ранга и имеют 21 независимую постоянную. При существовании в среде элементов симметрии число независимых упругих модулей уменьшается. Так, в случае ортогонально-анизотропной среды число упругих постоянных уменьшается до девяти, для трансверсально-анизо-тропной — до пяти и для изотропной среды — до двух. При этом принимается допущение, что среда является однородной и идеально упругой. Поскольку большая часть анизотропных пластмасс — двухкомпонентные материалы, их считают гетерогенными, микро-структурнонеоднородными. Однако размеры этих неоднородностей несоизмеримо малы по сравнению с длиной распространяющихся волн, поэтому распространение колебаний с длиной волны, значительно превосходящей размеры неоднородностей, будет происходить как в однородной среде. [c.130]

В терминах механических моделей нижний предел Gip соответствует простой последовательной, а верхний предел Gup— простой параллельной комбинации элементов с модулями упругости, равными модулям упругости компонентов или фаз. Даже если модули упругости фаз различаются всего в 10 раз, эти пределы слишком далеки друг от друга, чтобы иметь практическое значение (рис. 3.2). Более узкие значения пределов получены Хашиным и Штрикманом [9]. Ими был использован вариационный принцип, установленный для негомогенной линейной упругости с использованием тензора упругой поляризации, для нахождения изменений энергии деформирования при замене гомогенного упру- [c.152]

Модели, учитывающие влияние длины и искривления волокон на постоянные упругости однонаправленно армированных материалов, исследовались, например, в работах [171, с. 38 190, 191]. В первом приближении компоненты С цтп тензора модулей упругости или компоненты S ijmn тензора упругих податливостей стеклопластика, армированного преимущественно в одном направлении искривленными волокнами, могут быть получены в результате осреднения выражений для случайных модулей или податливостей, где вместо отнесенных к элементу структуры свойств Сцтп И Sjjmn следует подставить их выражения согласно уравнениям (5.5) и (5.6). При этом должна быть задана плотность распределения углов между направлением волокон (нитей и направлением армирования. Найти ее следует из эксперимента. [c.215]

Расчет А. И. Губанова проведен для орторомбического полиэтилена, для которого в работах [74, 75] вычислены все компоненты тензора упругих постоянных. Для моноклинного полиэтилена такие расчеты никем не были выполнены, автор [70] не счел необходимым их проводить в основном потому, что поперечные модули упругости мало различаются даже для химически различных полимеров. (Ссылаясь на А, И. Китайгородского 76], А. И. Губанов указывает, что рассматриваемая авторами 36, 77] метастабильная кристаллическая форма полиэтилена — это триклинная форма, близкая к моноклинной, с параметрами кристаллической решетки а=4,28, 6 = 4,82, с = 23,04А а=91°, Э = 92°04, у=107°18 ). Результаты проведенного расчета приведены в табл. 1, где т] — степень рассогласования решеток, 21 — расстояние между соседними дислокациями энергия адгезии, согласно [73], адг = ——Едисл- [c.114]

Ашкенази предложила соотношения, свободные от указанных недостатков. Исследуя симметрию механических свойств древесины и фанеры [88, 94], она ввела до пущение о тензариальности характеристик прочности, т. е. предположила, что зависимость прочности от ориентации главных осей тензора напряжений аппроксимируется формулами преобразования компонент тензора при повороте осей координат. Сравнив полученные экспериментально фигуры зависимостей модуля упругости и предела прочности от угла ф, она установила, что эти фигуры обладают одинаковой симметрией. На основании этого Ашкенази предположила, что тензор прочности есть тензор четвертого ранга(именно таков ранг тензора упругих постоянных). [c.217]

Изучим теперь вопрос о том, с какими скоростями могут рас-пространятз.ся возмущения в анизотропной среде. Рассмотрим для упрощ( ния однородную изотропную среду с тензором модулей упругости a.jft,, в которой распространяется плоская гармоническая волна — последнее означает, что разыскивается решение системы уравнений двилсепия анизотропной среды [c.24]

Задача определения модулей упругости третьего порядка решена практически только для первоначально изотропной среды. В пятиконстантной нелинейной теории упругости Мурнагана модули упругости определяются как производные потенциала Ф по инвариантам / , /г, /з тензора деформаций [283] [c.33]

Ддя иллюстрации рассмотрим пример численной реализации изложенного метода применительно к типовому элементу полому круговому цилиндру (внутренний радиус - 100 мм, наружный - 200 мм, модуль упругости = 2,1 10 МПа, коэффициент Пуассона ц = 0,3), в котором внутренняя и наружная поверхности рассматриваемой части цилиндра длиною 2 1 = 200 мм свободны от нагрузок, а напряженное состояние этой части создается реакцией остальной произвольно нагруженной части цилиндра. Для нескольких вариантов заданного на наружной поверхности рассматриваемой части цилиндра тензора напрямжний восстанавливался вектор напряжений на торидх этой части (обратные задачи). Дпя оценки точности получаемых решений обратных задач использовались численные решения соответствующих им прямых задач теории упругости. [c.72]

Метод йгп г]) можно использовать и для рентгенографического определения Е и V. Дело в том, что упругие свойства большинства кристаллов анизотропны, т. е. зависят от кристаллографического направления. При рентгенографическом определении остаточных напряжений следует использовать значения Е и именно в направлении нормали к отражающей плоскости. Эти величины можно рассчитать, если известны упругие постоянные материала или их следует определить экспериментально. Для этого отожженный образец из испытуемого материала помещают в специальное приспособление, установленное в камере или на дифрактометре. С помощью приспособления образец подвергают одноосному растяжению или сжатию при трех-четырех заданных значениях напряжений в упругой области. При каждом значении напряжения методом з п2г1з определяют m=(l+v)Oф/ по уравнению (14.9), причем пучок рентгеновских лучей направлен так, чтобы его проекция на образец была параллельна приложенной нагрузке (ф = 0). В связи с тем, что дт/да,р = 1- -у)/Е, а ( еф=о/ 0ф =—vE из выражения (14.9) (при 113=0), можно определить раздельно и V, а значит, и модуль сдвига 0 = Е/2 1- - ) в направлении нормали плоскости Очевидно, что при вычислении значений частных производных дт/да и де1до(р можно учитывать только прирост т и еф=о при увеличении Оф, т. е. знание величины Оо в выражениях (14.2) или (14.10) необязательно. По известным значениям и V в нескольких кристаллографических направлениях (не менее двух для кубического кристалла) можно определить компоненты тензора модуля упругости. [c.346]

В вязкоупругом, так же как п в идеально уп )угом теле состояние деформации в да ной точке определяется гензором деформации, который представляет относительные изменения размеров и углов небольшого кубического элемента, вырезанного из тела в данной точке. Подобным же образом состояние напряжения определяется тензором напряжения, представляющим силы, действующие в различных направлениях на разные плоскости кубического элемента. Для детального знакомства с этим вопросом читатель может обратиться к специальным руководствам [10—12]. При малых деформациях компоненты обоих тензоров связаны простым образом посредством модулей упругости, являющихся характеристиками только самого материала, а не геометрической фор.мы образца. Для вязкоупругих. материалов модули являются ха-рактеристикамц, зависящими от времени, и природа этой зависимости является главным предмето.м изучения феноменологической теории вязкоупругости. [c.18]

Смотреть страницы где упоминается термин Тензор упругих модулей: [c.621] [c.98] [c.55] [c.248] [c.280] [c.250] [c.294] [c.295] [c.270] [c.78] [c.200] [c.326] [c.326] [c.54] [c.11] [c.62] [c.66] [c.116] [c.265] [c.154] [c.249] [c.114] [c.129]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология