Тензоры деформаций больших

Геометрическая интерпретация деформации. Тензор больших деформаций. Рассмотрим в некотором объеме тела два бесконечно близко расположенные друг к другу точки А ш В, так как это показано на рис. 1.6. Пусть вследствие каких-либо причин произошло [c.24]

Вернемся к формуле (16.18) и обратим внимание на неожиданную зависимость Uy от г вдали от дислокации Uy со Ь п г. Эта зависимость вполне естественна, если рассматривать смещение как потенциал поля деформаций (или напряжений), созданного прямолинейным источником. Однако вектор и имеет простой физический смысл в кристалле с изолированной дислокацией он определяет смещение атома в дислоцированной кристаллической решетке относительно равновесного положения в той же решетке без дислокации. Таким образом, оказывается, что смещения атомов, предельно удаленных от оси прямолинейной дислокации, логарифмически растут с размером кристалла. Хотя относительные смещения соседних атомов (величины которых даются тензором деформаций, пропорциональным 1/г), исчезающе малы при г оо, подобное поведение вектора смещений на больших расстояниях от дислокации вынуждает нас по-новому подойти к понятию кристаллического порядка в дислоцированной решетке. [c.267]

Моделирование остаточных напряжений в процессе химического формования. Первичной причиной возникновения внутренних напряжений является неоднородность температурных и конверсионных полей в изделии, поэтому расчет Т г, 1) и а(г, 1), описанный в разд. 2.3, является исходным моментом для оценки остаточных напряжений. В большинстве случаев можно с большой степенью достоверности не учитывать влияние на температуру и кинетику реакции теплоты деформирования. Это позволяет значительно упростить поставленную задачу, т. е. рассматривать две самостоятельные задачи определение температурных и конверсионных полей и нахождение напряжений с учетом рассчитанной степени превращения и температуры. Последняя задача — о теоретическом обосновании вида уравнения состояния (связи между тензором напряжений и тензором деформаций), параметры которого зависят от степени завершенности физико-химических процессов, протекающих в полимере, и являются общими для механики сплошной среды. [c.81]

Следует отметить, что соотношение (57) имеет большую общность, чем это выше подразумевалось, поскольку оно описывает электронное торможение не только дислокации, но любого источника внутренних напряжений с достаточно быстрым законом спадания упругого поля. При этом под гц в (57) следует понимать Фурье-образ соответствующего тензора деформаций. В частности, по формуле (57) может быть оценено электронное торможение дислокационных перегибов, подвижность которых существенно влияет на динамику дислокаций в кристаллах с высоким рельефом Пайерлса. [c.234]

Сравнивая из (14,9) с феноменологическим (8,5), легко установить большую принципиальную разницу между ними. Феноменологический тензор сил вязкости (8,5) распадается на два тензора, соответствующих деформациям двух типов сдвигу и расширению, со скалярными коэффициентами вязкости ТГ1 и С. Молекулярно-кинетический тензор (14,9) сводится лишь к одному тензору, в котором коэффициенты вязкости представляют симметричный по всем значкам тензор с числом независимых компонент, равным согласно (14,12) и (14,13) также двум. Необходимо, однако, отметить, что вопрос об однозначности таких выводов в молекулярнокинетической теории о свойствах тензора сил вязкости нуждается еще в дальнейшем анализе. [c.65]

При малых сдвиговых деформациях (5<1)ац—022 0 и имеется,только одна классическая компонента тензора напряжения простого сдвига 021- Наличие ненулевой разности нормальных напряжений при большом сдвиге приводит к проявлению практически важного эффекта Вейссенберга (рис. 1.10), который используется в известной конструкции дискового экструдера [6]. [c.27]

Для описания деформированного состояния используют понятие тензора больших деформаций, т. е. 7 Его компоненты определяются через величины гц следующим образом [c.26]

Рассмотренные на примере тензора напряжений некоторые результаты теории тензоров вполне применимы и к тензору больших деформаций. В частности, это относится к понятию главных значений тензора больших деформаций и отвечающих им трех взаимно перпендикулярных направлений в трехмерном пространстве. Это же касается и приведенных для плосконапряженного состояния формул преобразований компонент при повороте координатных осей соответствующие формулы при замене ац на у// остаются вполне справедливыми и для тензора больших деформаций. Наконец, совершенно аналогично тому, как это сделано в формулах (1.7) — (1.9), могут быть построены инварианты тензора больших деформаций, которые обозначим У , и Е . [c.27]

Здесь величины представляют собой компоненты нового тензора 7 называемого тензором Коши — Грина (его компоненты будем обозначать надстрочным символом О). Величины yfj выражаются через компоненты тензора больших деформаций следующим образом [c.38]

Относительное удлинение е выражается через компоненты тензора больших деформаций следующим образом [c.27]

Тензор малых деформаций. Важным упрощением рассмотренного выше общего случая больших деформаций является такое деформированное состояние, при котором производные смещений малы и, вследствие этого квадратичными членами в формуле (1.13) и последующих соотношениях можно пренебречь по сравнению с линейными слагаемыми. Тогда тензор малых деформаций Y выразится через производные смещений следующим образом [c.29]

Очевидно, что у представляет собой упрощенную форму для случая малых смещений (или малых деформаций), т. е. когда <С 1- Именно это реализуется в большинстве практически важных случаев деформирования таких тел, как металлы и стекла. Однако для полимеров важнейшей особенностью является их способность к большим деформациям. Поэтому в реологии полимеров, за исключением предельных случаев, нельзя ограничиваться тензором у и для описания деформированного состояния необходимо прибегать к понятию о больших деформациях и отвечающему им тензору у . [c.30]

Выше [см. формулу (1.17)1 выражение для изменения объема уу было получено через инварианты тензора больших деформаций. Если деформации малы, то это выражение можно упростить, поскольку квадратичные и кубичные члены в этом случае будут существенно меньше единицы. Поэтому [c.35]

Т. е. касательные (недиагональные) компоненты тензора Коши — Грина равны удвоенным компонентам тензора больших деформаций, а к диагональным компонентам, кроме того, прибавляется единица. [c.38]

В современных реологических теориях практически не используются никакие иные меры больших деформаций, кроме рассмотренных тензоров у и у . Но следует все же указать, что, в принципе, могут рассматриваться и другие характеристики деформированного состояния, в частности различные комбинации тензоров у и у , равно как и функции от них. Рассмотрение величины у в качестве исходной характеристики деформированного состояния представляется наиболее наглядным, поскольку компоненты тензора больших деформаций непосредственно выражают изменение расстояния между точками при их смещении в среде, т. е. эффект деформации в окрестности данной точки. [c.39]

Таким образом, предположение о линейной зависимости упругого потенциала от первого инварианта тензора больших деформаций привело к тому, что зависимость напряжения при растяжении от степени удлинения оказалась нелинейной, хотя в. предельном случае малых удлинений эта линейность, естественно, сохраняется. [c.59]

В работе [140] показано заметное различие кривых усталости металлов при одноосном напряженном состоянии и кручении. Мало цикловая долговечность при знакопеременном кручении, выраженная через амплитуду эквивалентной пластической деформации, в несколько раз (более двух) больше, чем при одноосном напряженном состоянии. Различие циклической повреждаемости металла при разных видах циклической деформации видимо связано с тем, что предельная пластичность зависит от степени объемности (жесткости) напряженного состояния, характеризуемого отношением шарового тензора к девиато- [c.32]

Согласно гипотезе Вейссенберга, использовавшейся им при формулировке реологического уравнения состояния упругой жидкости, 8 = 0, что возможно, только если Сх = 0. Таким образом, гипотезе Вейссенберга отвечает среда, упругий потенциал которой пропорционален первому инварианту тензора больших деформаций Фингера. Как будет показано ниже, для реальных сред величина е мала, и поэтому мало отношение констант (С С ). [c.330]

В случае, когда цилиндр работает под внутренним давлением коррозионной среды и внешнего коррозионного воздействия, абсолютная долговечность снижается практически пропорционально скорости коррозии Ун. Относительная долговечность практически не зависит от отношения скоростей коррозии УяА в, Заметим, что труба при плоской деформации имеет большую долговечность, чем труба, закрытая по концам днищами. Это объясняется тем, чго дпя последней больше величина шарового тензора. [c.148]

Физический механизм увеличения стока с ростом влагозапасов заключается в следующем. Во-первых, чем больше объем поверхностных, почвенных, подземных вод, вод озер и болот, составляющих влагозапас бассейна, тем выше потенциальная энергия этих вод. Во-вторых, в соответствии с законом Ньютона о линейной связи тензора напряжений и тензора скоростей деформации в вязкой жидкости, величина диссипации энергии при движении воды в увлажненном бассейне гораздо меньше, чем в "сухом" (именно по этой причине коэффициент фильтрации воды резко увеличивается с ростом влажности почвы, а влажной тряпкой гораздо легче вытереть лужу). Таким образом, следствием увеличения потенциальной энергии воды и уменьшения сопротивления ее движению в бассейне реки является нелинейное увеличение расхода. Введем безразмерные величины [c.212]

У смазок в режиме установившегося течения отсутствуют заметные эластические деформации это несколько упрощает решение поставленной задачи, поскольку для уравнения течения следует получить математическую зависимость, определяющую связь тензора касательных напряжений с тензором скоростей деформаций. Однако и в такой постановке эта задача является достаточно сложной, поскольку течение смазок определяется большим числом взаимосвязанных факторов, зависящих от вязкости дисперсионной среды, концентрации и свойств загустителя, а также от механических разрушений на предшествовавших течению стадиях. Кроме того, роль этих факторов неодинакова на различных участках кривых течения. Попытки учесть даже часть этих факторов приводят к очень сложным уравнениям, которые полезны для качественной оценки некоторых закономерностей течения, но непригодны для инженерных приложений [111, 112]. [c.101]

Гц —скорость я—расстояние между ТеНЗОр бОЛЬШИХ упруГИХ ДеформаЦИИ, пластинами. то 6Г0 компоненты оказываются рав- [c.108]

В этой же работе были приведены некоторые данные, свидетельствующие о том, что зависимость между девиаторами тензоров напряжений и деформаций является в первом приближении тензорно линейной, нелинейность может существенно проявляться при больших деформациях порядка 100%. [c.213]

Упругое тело Муни—Ривлина. Применение теории больших деформаций к сшитым эластомерам показало, что потенциал КГМ также нуждается в усовершенствовании. Это может быть сделано введением в выражение для упругого потенциала второго инварианта тензора больших деформаций. Действительно, предположим, что зависимость W т ж линейная [c.62]

Принимая гипотезу несжимаемости, попробуем обобншть степенное уравнение (П.66) на случай трехмерного течения. В соответствии с принципами, сформулированными выше, обобщенное реологическое уравнение должно связывать компоненты тензора напряжений с компонентами тензора скоростей деформации. При этом коэффициенты сдвиговой и продольной вязкости должны в общем случае зависеть от первого инварианта тензора деформации и второго варианта тензора скоростей деформации. Очевидно, что функции, описывающие зависимость т] и X от тензора деформации, должны вырождаться, обращаясь в нуль при достаточно больших значениях Следуя выражению (И1.20), получим [c.92]

Различие между рассматривавшимся выше тензором больших деформаций 7 и тензором деформаций но Коши —Грину, за исключением несущественного отличия в числовом коэффициенте, такое же, как между относительным изменением размера (т. е. величиной изменения размера, отнесенного к исходному) и степенью этого изменения (т. е. новым размером, отнесенным к исходному). В отсутствие деформаций все 7,/ = О, aLyfj = б(/, т. е. равны единице . [c.38]

Упругие свойства изотропных тел можно описывать двумя величинами — модулем Юнга и модулем сдвига. Пользуясь известным соотношением между этими модулями, подсчитывают коэффициент Пуассона, Однако для анизотропных моно-кристаллических тел число упругих постоянных значительно больше. Оно определяется из соотношений между деформациями и напряжениями в монокристалле. Деформации и напряжения в монокристаллах описываются тензорами второго ранга. Рассмотрим кратко тензор деформации и тензор напряжения и связь между ними, установленную Гуком. [c.61]

Полный тензор напряжения j, таким образом, связан с гидростатическим сжатием смеси, гидродинамическим увеличением давления в клиновидной зоне перед лопастями движущегося ротора (в соответствии с уравнением Навье — Стокса), упруговяз кой природой каучука и эффектом Вейссенберга, т. е. возникновением нормальных напряжений при простом сдвиге. Последние являются прежде всего следствием больших деформаций. Как показано выше (см. гл. 1), эффект Вейссенберга определяется коэффициентами нормальных напряжений и пропорционален квадрату деформации [c.153]

Уравнение (2.27) совпадает по форме с уравнением для малых смещений, наложенных на большие упругие деформации. Отличие состоит в том, что тензоры упругой жесткости Су и напряжений Ту являются фунмщями не только упругих, но и пластических деформаций. [c.37]

Тензор больших деформаций представляет собой геометрическую характеристику изменений, произошедших в окрестности данной точки среды. Назовем деформацию одномерной, если не равны нулю величины7,-/ только с одной парой индексов (например, Yl2 = = 21)1 двумерной, если не равны нулю компоненты с двумя разными парами индексов (например, уха —Уи и У1з = 31) и трех- [c.26]

Ориентируем координатные оси параллельно направлениям главных деформаций, т. е. вдоль главных удлинений, которые в этом случае выразятся также по формуле (1.15), ибо эта формула справедлива для любой системы координатных осей. Используя общие правила нахождения главных значений тензоров, можно показать , что главные относительные удлинения выражаются через компоненты у а точно так же, как через увыражаются инварианты тензора больших деформаций. Отсюда вытекает, что по своему физическому смыслу величины и. 3представляют собой относительные главные удлинения в данной точке среды. Поскольку инварианты тензора не зависят от ориентации координатных осей, то и относительные главные удлинения являются характеристиками деформации, не связанными с выбором координатной системы это отвечает физическому представлению о деформации, поскольку очевидно, что само понятие о деформации и происходящих при этом геометрических изменениях в точке не связано с выбором той или иной координатной системы. [c.28]

Большие деформао(ии в упругом теле. В качестве простейшего предположения воспользуемся гипотезой о линейности соотношения между упругим потенциалом и первым инвариантом тензора больших деформаций [c.57]

Реологическое уравнение состояния (1.108) представляет собой аналог уравнения вязкой жидкости Ривлина [см. формулу (1.71)] я соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформации упругого тела Рейнера [см. формулу (1.61)]. Таким образом, это уравнение состояния представляет собой обобщение для вязкоупругой среды потенциалов Рейнера и диссипативной функции Ривлина. Поэтому при малых временах воздействия поведение среды, реологические свойства которой описываются уравнением (1.108), такое же, ак упругого тела Рейнера, а при больших — как вязкой жидкости Ривлина. Характер изменений напряжений во времени определяется видом релаксационных функций — линейной ф и бинарной фа. [c.106]

Существенное обобщение модели КСР было достигнуто ее распространением на случай больпшх деформаций. Это потребовало введения дифференциальных операторов, рассматриваемых при анализе кинематики сплошной среды и использованных для построения нелинейных теорий вязкоупругости. Этим способом были получены все те же результаты, что и при обсуждений феноменологических моделей. Такой подход предполагает решение проблемы корреляции динамических и стационарных характеристик вязкоупругих свойств полимерных систем не в рамках собственно молекулярных представлений, а путем привлечения идей о геометрической нелинейности как причине наблюдаемых эффектов. Поэтому естественно, что применение яуманновской производной в модели КСР приводит к соотношению т] ( i) = TI (y) при = Y, а использование тензоров Грина и Фингера для описания больших деформаций — к получению соотношений, вытекающих из теории И. Пао. [c.308]

Для полимеров в высокоэластич. состоянии основными являются равновесные значения напряжений и деформаций, соотношение между к-рыми не зависит от времени. Рассмотрение нелинейного поведения таких матердталов основано на выборе выражения для зависимости упругого (высокоэластического) потенциала РК от инвариантов тензора больших деформаций. Если предположить, что пропорционален первому инварианту тензора больших деформаций (потенциалКуна — Марка — Гута) [c.173]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология