Численный метод

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183]

Все проблемы, рассмотренные в этой главе, сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы уже замечали, что в некоторых случаях аналитическое решение невозможно, н решать задачу приходится численными методами. Существуют стандартные программы решения уравнений такого типа на вычислительных машинах. Тем не менее, знакомство с численными методами интегрирования уравнений полезно химику-технологу по двум важным причинам. Во-первых, вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не умеет думать , и потому небезопасно давать ей задание, не имея понятия о том, как она его будет выполнять. Во-вторых, иногда возможно и даже желательно проводить вычисления вручную. Метод, который мы сейчас рассмотрим, применим к решению любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения, описывающие неизотермические процессы. Проиллюстрируем этот метод на примере одного уравнения и системы двух уравнений. [c.114]

Метод Рунге — Кутта, конечно, не является единственным методом численного решения, но на его примере видны характерные черты всех методов. Более подробное изложение вопроса можно найти в руководствах по численным методам (некоторые из них упомянуты в библиографии в конце главы). [c.116]

В работе [78] показано, что влиянием внутреннего термического сопротивления зерен на опытные величины Ыи можно пренебречь при отношении /В1 > 12. В работе [83] численным методом найдено, что при У/В > 60 погрешность расчета температур в слое без учета внутреннего термического сопротивления зерен не превышает 2%. [c.146]

Применение электронно-вычислительной техники в последние годы позволило решать численными методами многие задачи, связанные с процессами переноса в зернистом слое, при -расчете этих процессов в промышленных аппаратах и при обработке опытных данных, полученных на экспериментальных установках. При этом появилась возможность использовать двухфазные модели зернистого слоя, учитывающие разницу температур между обеими фазами и теплообмен между ними. Ниже рассмотрены некоторые задачи, связанные с методами экспериментального исследования теплопереноса в зернистом слое и требующие учета гетерогенной структуры слоя. [c.168]

Все приближенные решения и методы их получения можно разделить на два основных класса аналитические и численные. Приближенные аналитические решения, так же как и точные, получаются в форме определенных функциональных зависимостей входных и выходных величин. Полученные аналитические выражения представляют большую ценность как удобный инструмент для анализа математической модели и изучаемого объекта. Однако при практическом использовании аналитического решения необходимо выполнять определенный объем нередко чрезвычайно трудоемких вычислительных процедур. Численные методы, в отличие от аналитических, с самого начала ориентированы только на получение численных значений искомых величин для конкретных значений входных данных без установления вида их функциональных зависимостей. [c.380]

В работе [30] рассмотренная выше задача решена численным методом на основе этого решения, собственных опытных данных по Ь и данных [27, первая ссылка] в интервале Кеэ = = 10 — 40 получены расчетные значения А = 0,8 — 0,4. [c.169]

В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением ЭВМ. Достаточно хорошо разработаны численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. При этом упомянутые аналитические решения играют очень важную роль на них опробуются численные методы. [c.37]

Аналитический расчет степени превращения для реакции порядка более высокого, чем второй, или дробного порядка очень затруднен и, как правило, требует использования численных методов для решения полученных уравнений. На практике в этих целях часто пользуются графическими методами. Один из них описан ниже. [c.306]

Полученные здесь простые формулы, вытекающие из точного решения задачи о вытеснении нефти (или газа) водой, применяются при оценочных инженерных расчетах основных технологических параметров разработки нефтегазовых месторождений с использованием процесса заводнения. Кроме того, они могут служить тестами при оценке точности численных методов решения более сложных задач двухфазной фильтрации с использованием ЭВМ. [c.246]

Разновидность математического моделирования, четвертый этап которого (решение поставленной задачи) выполняется с использованием численных методов, будем называть численным моделированием. Решающим фактором, способствующим интенсивному развитию и широ- [c.380]

При использовании численных методов рещения ищутся в дискретных точках, совокупность которых будет составлять дискретный аналог области В, который обозначим D ,. Можно построить несколько дискретных аналогов непрерывной области. Один из возможных-сеточный-приведен на рис. 13.3. Промежуточное положение занимают полу-дискретные аналоги, которые получаются, если один из аргументов, например время, оставить изменяющимся непрерывно (рис. 13.4). [c.383]

Аналитические решения рассмотренных выше дифференциальных уравнений первого и второго порядка известны лишь для частных случаев с единичными простыми реакциями в изотермических условиях. Поэтому для интегрирования их в настоящее время используются в основном численные методы и решение производится на ЭЦВМ [6, 7, 68]. [c.43]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Попытки разработать теоретические модели, которые позволяли бы рассчитывать форму пузыря и его мгновенный объем в динамическом режиме, предпринимались в работах [73—75]. Ценность таких работ заключается в том, что они дают возможность выяснить механизм процесса образования. Так, расчеты, проведенные в работе [75] показывают, что отрыв пузыря связан с утоньшением шейки за счет возвратного течения жидкости, вызываемого ростом пузыря. Момент отрыва естественно определяется моментом времени, когда диаметр шейки становится равным нулю. К сожалению, расчет отрывного диаметра с помощью таких моделей проводится с использованием достаточно сложных численных методов. Поэтому в практической работе удобнее пользоваться упрощенными моделями, которые, однако, связаны со значительной идеализацией процесса и потерей точности. [c.50]

Аналогичные кривые были получены [44] также решением уравнений (1У.16) с граничными условиями (IV.17) численными методами. [c.87]

Уравнение (14-4, а) может быть решено [2] аналитически, графически, численным методом, а также методом подобия. [c.296]

Оптимальное решение отыскивается математически с помош ью аналитических и численных методов. [c.322]

Расчет экстремума проводится с многими переменными, причем при решении задач такого рода на первый план выступают численные методы, которые особенно хорошо применимы при машинных расчетах. [c.331]

Общим во всех четырех описанных численных методах являются пробы, но в последовательном ряду результатов отклонения точек от самой крутой линии постепенно уменьшается кроме того, необходимо, чтобы во всех методах интервал ступени при приближении к экстремуму уменьшался, и конечное его значение должно быть таким, чтобы приблизиться к экстремуму с заданной точностью. Методы описаны для случаев с двумя переменными, однако они пригодны при любом числе переменных и хорошо программируются для машинного расчета. [c.334]

Определение оптимума технологических переменных численным методом будет показано на примере синтеза аммиака [И]. [c.334]

Поскольку ионная сила зависит от степени диссоциации, уравнение (XV.9.5) может быть решено относительно Сц лишь численно методом последовательных приближений. Для этого первоначально уравнение (XV.9.4) решается относительно Кц, затем из уравнения (XV.9.5) находится а, / и /у с использованием уточненных значений ионной силы. [c.453]

Более точные результаты можно получить, используя сложные численные методы с применением ЭВМ. [c.334]

Рассматриваемая математическая проблема даже в рамках модели пленочной теории очень сложна. Поэтому, получить аналитическое решение проблемы в paMKa. i пенетрационной теории пока невозможно. Правда, для рассматриваемой проблемы применимы численные методы и современная вычислительная техника позволяет довольно легко получать численные решения. [c.72]

Однако необходимость решения более сложных неодномерных задач фильтрации жидкостей, газов и их смесей в природных пластах потребовала создания более совершенных математических моделей, основанных на лучшем знании и понимании гидродинамических и физико-химических процессов, происходящих в залежи при ее разработке. Использование этих моделей, как правило, связано с применением численных методов и современной вычислительной техники. Данная глава посвящена изучению простейших одномерных установившихся потоков жидкости и газа в пористой среде по линейному и нелинейному закону фильтрации. [c.59]

Задачи вытеснения несмешивающихся жидкостей с учетом силы тяжести при различных начальных и граничных условиях, в том числе и с применением численных методов и ЭВМ, рассматривались И. А. Чарным и Чэнь-Чжун-сяном [81], В. М. Рыжиком [7], А. М. Пирвер-дяном [57], М. И. Швидлером, Б. И. Леви и другими исследователями. [c.277]

Вследствие возникаюш их математических затруднений в настоящее время предпочитают комплексное регулируемое управление, так как оно основывается на состоянии потока, выходящего из элемента процесса. Из-за динамическогр (переходного) состояния этого элемента регулирование замедляется. Программу регулирования можно разрабатывать, не принимая во внимание точной математической модели. При разработке таких программ регулирования пользуются численными методами, о которых уже говорилось в этой главе, а также рассмотренными в гл. 12 статистическими методами и методом Бокса. При оптимизации управления можно использовать установленную в регулирующем устройстве электронную счетную машину. [c.354]

Методы исследования функций классического анализа (см. главу III) представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми инженер знакомится при изучении курса математического анализа. Обычной областью исиользованин данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. При этом надо реншть систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего ириходитсп использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования (см. главу IX, стр. 530). [c.30]

Названием методы нелинейного программирования объединяется большая группа численных методов, многие из которых приспособлены для репгения оптимальных задач соответствующего класса. Выбор того или иного метода обусловлен сложностью вычисления критерия оптимальности и сложностью ограничивающих условий, необходимой точностью решения, мощностью имеющейся машины и т. д. Ряд методов нелинейного программирования практически постоянно используется в сочетании с другими методами оптимизации, как, например, метод сканирования (см. главу IX, стр. 551) в динамическом программировании. Кроме того, эти методы служат основой построения систем автоматической оптими- [c.33]

Рассмотренными вьцпе примерами использования методов исследования функций классического анализа, разумеется, не исчерпываются возможности их применения для решения оптимальных задач химической технологии. Число примеров легко может быть увеличено, особенно за счет тех случаев, когда нельзя получить решения в аналитической форме и необходимы численные методы. [c.138]

Рассмотренная неустойчивость решения является серьезным препятствием при решении дифференциальных уравнений численными методами, когда невольно приходится ограничиваться конечной точностью иредставлення чисел, в результате чего погрешность решения может достигать значительной величины. Следует отметить, что если ири решении одного дифференциального уравнения первого порядка еще можно предусмотреть некоторые методы устранения неустойчивости, то при интегрировании систем дифференциальных уравнений задача обеспечения устойчивости решения становится весьма серьезной и иногда даже непреодолимой на пути получения решения оптимальной задачи. [c.219]

Многие процессы с распределенными параметрами, которые на первый взгляд нельзя представить как многостадийные из-за непрерывности изменения величин, определяющих их состояние и управление (иапример, реактор вытеснения), могут быть описаны как предельный случай миогостади1шого процесса, если в качестве отдельной стадии принять достаточно малый его элемент аналогично тому, как ири решении диф([1ереициальных уравнений численными методами используется их конечно-разностная форма. [c.245]

Как правило, решеиия задач нелинейного программирования могут б .ггь найдены только численными методами, поэтому возникает необходимость пр 1менения средств вычислительной техники. [c.481]

Если вид ([пункции /( (х) известен в явной форме, то условие (IX,151) позволяет найти также в явном виде уравнение относи-гельно одной неизвестной к, которое может быть решено любым численным методом. При этом решение суи1,ествецно облегчается тем, [c.530]

Принципы, применяемые для получения уравнения сонолимериза-ции, могут быть распространены на системы, содержащие болео двух мономеров [3] действительно, было получено решение для общего случая системы, содержащей любое число мономеров 152]. Решение этого уравнения дает состав получающегося многокомпонентного сополимера с учетом состава сырья и отношений реакционных способностей сырья для всех комбинаций мономеров, входящих в систему. Таким образом, по дап-НЫЛ1, полученным для достаточного количества пар мономеров, может быть вычислен состав продукта, получающегося в любой многокомпонентной системе. Экспериментальное подтверждение довольно сложных уравнений было получено для ряда трехкомпонентных систем и одной четырех-компоиентной [30, 152], и были описаны численные методы для приближенного решения интегральных уравнений [131, 152]. [c.144]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология