Численный метод Эйлера

Задачи Коши решались численным методом Эйлера с последующей итерационной обработкой [157]. Метод состоит в том, что для задачи Коши [c.103]

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Интегрирование уравнений (VI-41) или (VI-43) аналитически обычно не удается выполнить- Но имеются простые случаи, когда вид экстремалей может быть найден- Это часто удается осуществить без перехода к уравнению Эйлера, как и в приведенных выше численных методах- Все эти методы носят название прямых. [c.216]

Система дифференциальных уравнений шага 4 интегрируется любым численным методом, например методом Эйлера, для выбранного Ар [c.277]

Аппроксимируя Л(Г, у, Л) той или иной функцией, например ограничиваясь в разложении членами порядка р и заменяя точные функции приближенными значениями у , получим численный метод, использующий производные р-го порядка. Если мы ограничимся первым членом по Л разложения в ряд Тейлора и пренебрежем членами высших порядков, то получим явную схему Эйлера [c.134]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

После того как оптимальное управление в начальный момент определено опт( (0)) становится возможным с применением любого численного метода интегрирования системы дифференциальных уравнений сделать один шаг интегрирования, т. е. найти значения функций x(t) и Я (0 "При f= tf°)-f-Af- Например, при использовании простейшего метода интегрирования — метода Эйлера получим - [c.346]

Решение системы уравнений (5.26) — (5.28) с учетом вышеприведенных выражений производилось численным методом по расчетной системе Эйлера на ЭВМ Минск-32 . Точность расчетной схемы в процессе вычисления функции распределения счетной концентрации и равновесного радиуса пузырьков непрерывно контролировалась значением полного газосодержания [c.99]

Рещение данной подзадачи может проводиться одним из методов численного интегрирования (например, методом Эйлера, методом Рунге-Кутта). Это решение позволяет определить необходимую высоту колонны, обеспечивающую требуемую степень выделения целевого компонента. [c.275]

Решение указанной системы дифференциальных уравнений проводилось по программе, составленной применительно к универсальной цифровой машине Урал . Для решения был применен метод Эйлера, заключающийся в автоматическом нахождении шага интегрирования, отвечающего заданной величине точности расчета. Этой величине соответствует максимальное отклонение интегральных кривых, получаемых при численном решении задачи, от истинных значений величин, характеризующих изменение концентрации жидкости на тарелках колонны во времени. [c.238]

ТО Простейший численный метод — это метод Эйлера, определяемый соотношением [c.26]

Далее предположим, что для нахождения численного решения уравнения (167) заменены уравнениями в конечных разностях. Последние, согласно методу Эйлера, можно представить в следующем простом виде 2) [c.226]

Для интегрирования уравнений (VII.41) рассматривалось несколько численных методов метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера — Коши и метод Адамса со вторыми разностями. Для метода Адамса значения функции в первых трех точках определяют с помощью метода Рунге — Кутта. Число интервалов, интегрирования Гн—Гк, при котором получают истинное решение задачи для методов Эйлера — Коши и Адамса примерно одно и то же, но его величина значительно меньше, чем при решении методом Эйлера. Однако в усовершенствованном методе Эйлера — Коши значения функции F, величины Gp л Р определяют в два этапа (сначала грубое приближение, а затем точное), а следовательно, дважды определяют функции fi, 2 и /з, что требует больших затрат машинного времени. Поэтому из трех рассматриваемых методов, метод Адамса оказался наиболее эффективным, что и подтвердили проведенные расчеты. [c.450]

При вычислении кратных интегралов метод Монте-Карло часто дает лучшие результаты, чем другие численные методы (например, метод Эйлера, Симпсона и др.), которые будут обсуждены ниже. [c.63]

После экскурса в область кинетики полимеризации вернемся к методам численного интегрирования. По методу Эйлера в каждом интервале вычисляется площадь криволинейной трапеции. Если соединить два интервала, то площадь под графиком функции/()с) на двух интервалах можно аппроксимировать не площадью двух трапеций, а площадью под параболой на сдвоенном интервале (см. рис.) Этот прием называется методом Симпсона (правилом Симпсона). Примем это правило без строгого доказательства. Более [c.91]

Численный метод Рунге — Кутта, который часто используется для решения задач научного и инженерно-технического характера, приводится здесь без строгих доказательств. Метод эффективен, надежен и легко реализуется программными средствами. (Еще одно преимущество заключается в том, что в отличие от других методов, впрочем не рассматриваемых в этой книге, процедура Рунге — Кутта не требует для ее запуска других программ.) Метод Рунге — Кутта аналогичен методу Эйлера, однако [c.227]

Аналитическое решение этой системы по методу стационарных концентраций дает известное уравнение Михаэлиса — Ментен. Если же решать эту систему уравнений, не привлекая гипотезу о стационарности концентрации фермент-субстратного комплекса, то необходимо воспользоваться одним из численных методов. Для наглядности обсудим сначала метод Эйлера. Чтобы не усложнять задачу, ограничимся пока системой из двух дифференциальных уравнений. (Для сравнения справа приведено решение одного дифференциального уравнения методом Эйлера.) [c.231]

Такое поведение, типичное для жестких систем, мы рассмотрим на примере системы дифференциальных уравнений, описываю-шей кинетику химической реакции, причем эту систему можно решить также и аналитическими методами. Как поведет себя численный алгоритм, например алгоритм Эйлера, при решении такой системы (На данном примере будет показано, как решить эту проблему с помощью неявного метода Эйлера.) [c.395]

Если начать с шага Д/ = 1Е — 7, то оба численных метода верно описывают накопление и расходование промежуточного продукта К. После 100 шагов достигается стационарное состояние по веществу К. Поскольку при таком шаге концентрация вещества А практически не меняется, т. е. еще очень мала степень превращения, шаг интегрирования увеличивают с 1Е — 7 до 1Е — 3. При использовании метода Эйлера решение относительно концентрации вещества К становится неустойчивым и [К] может принимать очень большие значения, ограниченные только допустимой величиной констант данной ЭВМ. Неявный метод дает верные значения [К] и при таком шаге. [c.397]

В настоящее время разработан ряд специальных методов численного интегрирования жестких систем, основанных на неявных разностных методах. Примерами таких методов являются обратный метод Эйлера, по которому [c.154]

Известно, что уравнение кинетики реакции (1), как правило, нелинейно. Поэтому приведенные системы не могут быть решены аналитически, а могут быть решены только численно. При этом характер граничных условий (значения неизвестных функций задаются в различных граничных точках требуется равенство неизвестных функций) сильно затрудняет применение обычного числового метода — метода конечных разностей в различных его модификациях (метод Эйлера, Рунге — Кутта, Адамса и т. д.). [c.166]

В тех случаях, когда решение уравнений Эйлера—Лагранжа получается в аналитической форме, двухточечная граничная задача не представляет трудностей. Существенные затруднения возникают, когда решение не удается получить в аналитической форме и приходится прибегать к численным методам. [c.109]

Задача может быть сформулирована следующим образом Найти решение дифференциального уравнения Эйлера—Лагранжа, удовлетворяющее при = О и t = T заданным граничным условиям . Из граничных условий можно определить только две точки искомой экстремали. Однако неизвестно, как проходит экстремаль, соединяющая эти две точки. Нужно знать хотя бы производную в момент = 0 или = Г. В случае одномерной задачи для получения решения численными методами надо приравнять производную, например в момент = 0, некоторой величине и получить, исходя из этого, кривую у 1), удовлетворяющую при I = Т заданному граничному условию. Для примера допустим, что уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид [c.109]

Решая полученную систему численным методом, можем найти длину реактора. Например, при решении модифицированным методом Эйлера при шаге интегрирования 0,02 м получаем длину реактора 1,3 м (см. табл. 9.6). [c.201]

Алгоритм (3-42) предусматривает возможность проведения расчета для ряда фракций полидисперсного адсорбента, позволяет учесть изменение гидродинамических, тепло- и массообменных характеристик адсорбента и сушильного агента по длине трубы-сушилки. В предлагаемой методике учитывается стесненность движения высушиваемого адсорбента. Проведением сравнительных расчетов показано существенное влияние на расчет таких факторов, как столкновение и соударение твердых частиц, а также трение твердых частиц о стенки сушилки. По предложенному алгоритму составлена программа для ЭЦВМ, работающих с языками АЛГОЛ-бО и ФОРТРАН. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3-3. Программа для ЭЦВМ реализует расчет по методам численного интегрирования Эйлера. Результатом расчета является высота трубы-сушилки Ь, полученная с учетом полей скоростей газа и твердых частиц, полей температуры и влажности твердых частиц и других параметров, изменяющихся по высоте сушилки. [c.127]

Современная вычислительная техника позволяет преодолеть трудности аналитического вычисления предыдущего интеграла. Наиболее просто это можно сделать одним из численных методов решения дифференциальных уравнений — методом Эйлера. Заключается он в следующем. Заменим в уравнении дифференциалы конечными разностями [c.39]

Для построения равновесной поверхности капли уравнение (1.96) будем интегрировать численно уже известным нам методом Эйлера, воспользовавшись им дважды. Для этого обозначим г = 11. Тогда уравнение (1.96) можно привести к виду [c.76]

Биотехнологические процессы моделируются с помощью систем дифференциальных уравнений. Только немногие из этих систем можно решить аналитически, чаще требуется применение численных методов интегрирования прикидочное решение достигается с помощью метода Эйлера, более точное решение дает метод Рунге Кутта. [c.57]

Если уменьшать длину рассчитываемой короткой секции колонны, то мы приблизимся в пределе к бесконечно малому отрезку. Дифференциальные уравнения материального и теплового балансов и межфазного переноса для любой точки колонны представлены уравнениями (38. 27) и следующим за ним. В гл. 38 единственным рассматривавшимся растворенным веществом был компонент А если присутствуют другие растворенные вещества, например В и Е, то нужно просто добавить к системе дифференциальных уравнений уравнения типа (38. 28) и (38. 30) для />, Я и т. д. Систему дифференциальных уравнений следует решать численными методами, такими как метод Эйлера или Рунге — Кутта. Такие расчеты теперь редко производят вручную используют электронную счетную машину. [c.687]

Так как С зависит от времени, уравнения (3.16), (3.18), (3.19) трудно проинтегрировать аналитически. Для получения расчетных кривых ползучести использовался численный пошаговый явный метод Эйлера. На рис. 3.1 представлены кривые ползучести для образцов из стали 20 диаметром 6 мм и начальной длиной = 40 мм в среде сероводорода. Кривые 1, 3, 5 отражают экспериментальные данные при напряжениях о = 0,9о , а = 0,6а и о = 0,3а соответственно. Расчетные кривые (штриховые линии) - 2, 4, 6 соответственно для тех же напряжений. Для получения расчетных кривых использовались выражения (3.8), (3.14)-(3,16), (3.18), (3.19). На рис. 3.2 показаны экспериментальная кривая 1 ползучести образца при напряжениях 0,9 в среде сероводорода и расчетная кривая 2 для более длительного промежутка времени. [c.76]

Уравнение (V, 133), которому удовлетворяют экстремали функ ционала (V, 48), обычно оказывается нелинейным дифференциаль ным. Поэтому его решение в аналитическом виде можно получить лишь в сравнительно редких случаях. Как правило, для решения уравнения Эйлера необходимо использовать численные методы несмотря на все трудности, возникающие при их применении к решению краевых задач с граничными условиями, которые заданы на обоих концах интервала интегрирования. [c.225]

Метод Эйлера является методом численного приближённого решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдём решение уравнения [c.17]

Так как требование устойчивости накладывает в случае интегрирования жестких систем стандартными методами большие ограничения на шаг интегрирования, то естественно попытаться найти метод, обладающий большей областью устойчивости.Численный метод называется А устойчивы л (по Далквисту), если его область абсолютной устойчивости содержит всю левую полуплоскость комплексной плоскости Xh. Примером такого метода яъ-ляется обратный метод Эйлера [c.14]

Седьмая глава является одной из основных глав книги. Здесь на примерах теплообменника и ректификационной колонны показана методика использования численных методов решения задач. Авторы связывают расчетные параметры с изучаемым процессом. Рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и затем в разностные уравнения. Сравнивается использование различных методов (Эйлера, Рунге—Кутта, Крэнка—Никольсона и метода авторов) с точки зрения сходимости, точности и возможности расчета с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Приводится расчет многокомпонентной ректификационной колонны. В заключение дается обзор численных методов. Следует отметить, что опущены некоторые математические рассуждения, очень простые для математиков и необходимые для понимания химикам-технологам. [c.7]

При расчете течений с неравновесными физико-химическими превращениями необходимо вдоль линий тока или траекторий частиц численно интегрировать уравнения, описывающие исследуемый неравновесный релаксационный процесс, например, уравнения (1.21), (1.34), (1.96). Кинетические, или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений относятся уравнения сохранения массы химическо компоненты, уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках, уравнеР1ия переноса излучения и т. д. Особенность неравновесных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из состояния покоя, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или Рунге-Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным даже при использовании современных вычислительных машин. [c.61]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, естествепно, существенно упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычислительный алгоритм решения уравнений направления и совместности обычно включает итерационный процесс, при этом первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.67]

Известно, что при расчете неравновесных течений в тех областях, где течение близко к равновесному, возникают значительные трудности с выбором щага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге—Кутта и т. п. щаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным. Например, для проведения расчета по явным схемам неравновесного истечения продуктов сгорания топлива типа N204-f (СНз)2МЫНг при аок = 0,9, Рсо = = 10 МН1м и с ф = 100 мм необходимо численно интегрировать систему (18.36—18.40) с шагом 10 —10 м, что даже на современных ЭВМ может потребовать сотен и тысяч часов машинного времени. [c.181]

Преимущества методов Эйлера с вычислительной точки зрения необходимо оценивать с учетом возможности появления значительных ошибок, вызываемых численной диффузией, которая связана с конвективными членами. Мы провели расчеты двух одномерных пламен для сравнения результатов, полученных на основе подходов Эйлера и Лагранжа. Рассчитывался процесс горения смесей водорода с воздухом, содержащих 41 и 70 % водорода. Использовались программы, которые реализуют описанные выше алгоритмы Эйлера и Лагранжа с учетом детального механизма процессов переноса. Сначала с помощью алгоритма в эйлеровых координатах рассчитывался до сходимости процесс установления стационарного состояния. Затем полученное стационарное решение вводилось в программу, реализующую подход Лагранжа, и выполнялось еще 500 шагов по времени длительностью 10 с для смеси, содержащей 41 % водорода, и 600 шагов длительностью 4-10 с для смеси, содержащей 70 % водорода. Расчетная скорость горения уменьшалась с 264,3 до 263,2 см/с в первом случае, а во втором оставалась равной 80,0 см/с с точностью до третьей значащей цифры. На рис. 2.5 и 2.6 показаны профили состава и температуры до и после лагранжевого расчета, причем окончательные профили [c.95]

Математическая модель, на основе которой создана настоящая программа, основана на численном решении методом Эйлера уравнений первого закона термодинамики, баланса массы и уравнения состояния в отдельных элементах газовоздушного трак а, цилиндрах двигателя, форкажрах компрессорных полостях и промещуточннх холодильниках, странство цилнцдра двигателя (рис.2) в общем случае представляет собой открытую термодинамическую систеку с изменяющимся объемом, внутренним источником теплоты и тремя источниками массы. Утечками рабочего тела через неплотности пренебрегают. [c.59]

На рис. 3.6 штриховой линией 1 представлены результаты расчета для трубы из стали 20 длиной рабочей части / = 40 мм со средним диаметром 9,5 мм и толщиной 1,5 мм под действием напряжений а = 26,52 кг/мм , т = 13,26 кг/мм , то есть К = 2, а = и/8, = 0,90. ., Од = 0,87о. .. Уравнение (3.75), (3.74) интефи-ровались численно шагами по времени явным методом Эйлера. Значения постоянных материала взяты такими же, что и в опытах на одноосное растяжение сплошных образцов. Как показали расчеты, насыщение трубы водородом происходит весьма быстро и при анализе длительных испытаний можно принять С = 1. [c.93]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]