Метод численно-аналитические

Важное преимущество численного метода перед аналитическим заключается в том, что первый метод лишь незначительно усложняется при переходе к реакциям более высокого порядка, тогда как нахождение аналитических решений в этом случае фактически невозможно. [c.252]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Поэтому наряду с аналитическими методами широкое распространение получили методы численного интегрирования. Развитие этих методов получило распространение особенно с внедрением ЦВМ в практику расчетов. [c.207]

Модели диффузионного испарения, горения и термического разложения капель. Задача о диффузионном испарении капель, рассмотренная впервые Максвеллом, сегодня привлекает внимание исследователей. Все работы, касающиеся этого вопроса, можно разделить а) по методам исследования — аналитическим и численным б) но вкладу внутреннего и внешнего сопротивления процессам тепло- и массопереноса в) на стационарные и нестационарные задачи г) ио отношению к внешней среде д) ио влиянию различных сил (электрические, звуковые поля) на скорость испарения. [c.71]

Вследствие вышесказанного возникает необходимость применения расчетных методов при изучении температурных полей КСП и соды. Данные методы подразделяются на аналитические и численные. Аналитические методы применимы, в основном, для простых тепловых процессов, в которых учитывается небольшое количество факторов. Для сложных тепловых процессов решения можно получить только с помощью численных методов с применением ЭВМ. К числу таких методов относится метод конечных разностей, который получил широкое распространение в последние десятилетия. Он характеризуется относительной простотой получения базовых уравнений и реализации алгоритма решения на ЭВМ. [c.70]

Ниже будут подробно описаны некоторые модели химических реакторов. Все они основаны на фундаментальных законах сохранения массы и энергии. Эти законы приводят к моделям в виде дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит первые производные по времени и первые или вторые производные по координатам (в зависимости от геометрии реактора и от физического механизма процесса). Численное решение этих уравнений явилось значительным вкладом в понимание свойств химических реакторов. Однако такая информация полезна, но недостаточна. Инженеру необходимо иметь возможность описать набор решений для некоторой области граничных условий или параметров. В принципе, такие результаты может дать и численное решение, но на практике оказывается, что эти расчеты требуют слишком много машинного времени. Поэтому полезно иметь сведения о так называемой структуре решения. Ясно, что аналитические или качественные методы и методы численного решения не являются взаимоисключающими. В конечном счете качественные оценки облегчают расчеты на ЭВМ, и наоборот. [c.13]

При низких давлениях проверка развитой выше теории радикально-цепного крекинга алканов, начинающегося на стенках и замедленного влиянием продуктов крекинга в объеме, была проведена расчетным путем для газообразных алканов в кандидатской диссертации И. Ф. Бахаревой [203). Для решения нелинейных дифференциальных уравнений (83), (92) и др. был впервые применен метод С. А. Чаплыгина [209], что позволило в отличие от других методов численного интегрирования получать решения в аналитической форме и оценивать погрешность расчета, а также оценить точность метода квазистационарных концентраций [210], широко применявшегося выше и вообще при исследовании разнообразных задач химической кинетики. [c.149]

Аналитические методы исследования уравнений газовой динамики развиваются давно, но несмотря на это существует ограниченное число задач, которые могут быть решены аналитически. Круг решаемых задач значительно расширился в связи с применением электронных вычислительных машин (ЭВМ) и развитием численных методов исследования, которые позволяют получить решение с заданной степенью точности и обладают большей универсальностью, чем аналитические методы. Аналитические решения, получаемые обычно для упрощенного варианта задачи, позволяют понять физическую сущность явления и его завпсимость от характерных параметров, а кроме того, выполняют роль тестов при отработке численного алгоритма на ЭВМ. Точность аналитических и численных методов проверяется путем сопоставления решений с результатами экспериментов. Таким образом, в газовой динамике численные, аналитические и экспериментальные методы должны разумным образом сочетаться и дополнять друг друга. [c.266]

В общем случае число стадий может быть больше двух. Кинетика последовательных реакций описывается системой дифференциальных уравнений, которая может быть решена лишь методами численного интегрирования. В аналитическом виде получаются решения только для совокупности последовательных реакций первого порядка. [c.264]

Численное интегрирование. Вычисление определенных интегралов в большинстве случаев не может быть проведено аналитически. Рассмотрим два наиболее часто используемых метода численного расчета метод трапеций и метод Симпсона. Оба метода построены на применении интерполяционных формул. [c.68]

Значение интеграла в формуле (11.20) находят методом численного или графического интегрирования. Если селективность ф 5 0,9, то с достаточной для практики точностью можно использовать аналитическое решение уравнения (11.20), получаемое при Ц = [c.330]

Аналитический метод Численный метод Метод [c.561]

Подстановка в уравнение (2.4.6) какого-либо выражения, определяющего скорость реакции, например (2.4.9), дает систему нелинейных дифференциальных уравнений для / концентраций или 2Ь степеней превращения. Решение этой системы, за исключением простейших случаев, когда его можно найти аналитически, требует привлечения методов численного интегрирования или использования упрощающих предположений, основанных на соображениях, связанных с химическими процессами. [c.86]

Однако точные аналитические решения для случаев, когда Ке 1, пока получить не удалось. Подробнее с обзором теоретических решений можно ознакомиться в [9]. В настоящее время интенсивно развиваются методы численного моделирования уравнений Навье — Стокса, позволяющие получать достаточно близкие к практике решения при больших числах Ке (см. подраздел 2.4). [c.82]

Следует различать два случая конвективного теплопереноса ламинарный и турбулентный. Если ламинарному процессу уделено большое внимание, связанное с обеспечением стабильности потоков, а следовательно, и стабильности условий роста, то турбулентному процессу внимания уделено явно недостаточно. Это связано с тем, что теория турбулентности в настоящее время еще не развита [61]. Единственным способом получения аналитических закономерностей для конвекции в расплаве с высокими уровнями тепловыделения являются качественные оценки, связанные с учетом симметрии системы, закона сохранения, эффектов подобия и размерности. Важную информацию дает также метод численного моделирования, однако этот метод не позволяет продвинуться в ту область параметров, которая не поддается данному моделированию. [c.58]

V от р. На V = f(p) оказывают влияние свойства жидкости, описываемые уравнением состояния, и условия процесса. Поскольку рассматривается изолированный трубопровод, то процесс расширения жидкости в нем можно считать адиабатическим. Располагая зависимостью вязкости от температуры и уравнением состояния, можно получить точное решение уравнения (П1.36) методом численного интегрирования. Если применимо уравнение состояния идеального газа, то уравнение (П1. 36) можно решить аналитически при некоторых допущениях. Согласно уравнению состояния идеального газа, удельный объем равен [c.200]

Это уравнение может быть проинтегрировано численными методами или аналитически и найдена длина, на которой достигается заданное конечное влагосодержание материала. С учетом изменения влагосодержания материала по длине сушилки можно по второму уравнению (V. 217) рассчитать изменение разности температур воздуха и материала по длине сушилки. [c.532]

Это определило наш подход к способу изложения математической теории и обоснования методов численного анализа. Опущено много больших разделов теории как не соответствующих пока практическим задачам. Это относится, например, к аналитическим работам по численным решениям нелинейных дифференциальных уравнений на практике все еще нужно полагаться на конкретный эксперимент, прежде чем поверить машинному решению. С другой стороны, многие тривиальные положения теории могут быть исключительно важными на практике. Мы попытались указать на возможные ловушки , оставив инженеру право побродить по всей стране . Альтернатива — создание изгороди строгости вокруг того, что точно известно, — не прельщает нас, так как ббльшая часть интересной страны находится по другую сторону. [c.15]

В разделах 4.3 и 4.4 мы рассматривали определение констант скорости и порядка реакции в том случае, когда известно, аналитическое выражение, описывающее ход реакции. Что делать, когда такое выражение отсутствует Решение может быть найдено методами численного интегрирования. Для классической схемы [c.173]

Наличие большого количества численных расчетов волновых функций электронов в атомах по методам Хартри и Фока не дает оснований игнорировать более грубые методы расчета аналитических волновых функций. Во многих практических приложениях меньшая точность аналитических функций окупается значительно большей простотой и удобством расчетов по сравнению с применением более точных функций, полученных в виде числовых таблиц в результате интегрирования уравнений самосогласованного поля. Так, в практике расчетов имели одно время большое хождение весьма грубые эмпирические безузловые функции Слетера 1). Аналитические функции, определенные вариационным путем, часто дают очень неплохие результаты в применении к легким атомам к тому же определение этих функций для атомов с небольшим числом электронов не представляет особенно большого труда. [c.424]

Однако-точное решение уравнения (1.5) в конечном виде в аналитических функциях невозможно уже при условии п > 2. В принципе, для любых систем (с любым числом электронов и ядер) уравнение (1.5) может решаться методами численного интегрирования, дающими возможность получить искомое собственное значение Ей и собственную функцию в виде таблиц с любой [c.17]

Однако точное решение уравнения (1.5) в конечном виде в аналитических функциях невозможно уже при условии п + > 2. В принципе для любых систем (с любым числом электронов и ядер) уравнение (I. 5) может решаться методами численного интегрирования, дающими возможность получить искомое собственное значение Ek и собственную функцию Чи в виде таблиц с любой наперед заданной точностью. Следует заметить, что с ростом числа частиц в системе возможность такого решения уравнения Шредингера становится практически неосуществимой даже при использовании современных быстродействующих электронно-счетных машин. Действительно, с увеличением числа переменных функций машинное время, необходимое для численного решения уравнения [c.18]

Решение задачи о неустановившемся движении вязкой упругой жидкости в трубопроводах систем водоснабжения осуществляется тремя методами численным, аналитическим и графическим (графоаналитическим). В основном здесь рассматривается аналитический метод решения задач и кратко численный метод. В связи с широким применением ЭВМ численные методы расчега гидравлического удара в последнее время получили большое распространение. В СССР основой таких расчетов является методика, разработанная во ВНИИ ВОДГЕО Л. Ф. Мошниным [4]. [c.10]

Всего просчитано 108 примеров. Сравнивались точный численный метод, приближенный аналитический метод, метод А. А. Гоголина и метод В. И. Сасина. Выяснены области изменения относительных погрешностей расчета [c.229]

В докладе предлагается численно-аналитический способ решенга, который достаточно универсален, решает проблему сходимости и позволяет достаточно быстро моделировать процесс ЭХРО с хорошей точностью. После несложной модифшсация метод позволяет строить модели, учитывающие нелинейные характеристики выхода по току и потенциалы поляризации на грани цах электродов и электролита. [c.118]

Существуют специальные приборы (например, тан-гентиметры) для правильного построения касательных и измерения углов (см. литературу). Для расчета той же производной численным (аналитическим) способом нужно каждое семейство точек представить эмпирическим уравнением У=/( Г), которое может быть подобрано многими методами (см. литературу). [c.29]

Достоинства численных методов, однако, не стоит преувеличивать. Эти методы в принципе ие могут дать общих аналитических зависимостей. Расчет по методу Монте-Карло состоит в том, что, задавшись определенным потенциалом взаимодействия, мы получаем численные значения макроскопических характеристик при заданных условиях. Если используется канонический ансамбль, то заданы параметры Т, V, Л/ и расчет дает точку иа диаграмме зависимости интересующего нас параметра М от переменных Т и V/N. Проведя вычисления для различных условий, мы можем построить изотермы и изохоры или всю поверхность М (Т, V/N). Но для системы с другим потенциалом взаимодействия все расчеты потребуется начать заново. В этом смысле метод Монте-Карло является аналогом экспериментальных методов, которые требуют постановки отдельного эксперимента для каждой системы при заданных условиях. Поэтому метод Монте-Карло можно назать методом численного эксперимента. [c.395]

В общем случае при = /оо (т) Ф onst нельзя получить точное аналитическое решение интегральных уравнений для поверхностной концентрации (2.2) — (2.4), (2.7). Поэтому приходится использовать методы численного или приближенного интегрирования этих уравнений. [c.180]

В настоящее время известно достаточно большое число решений указанной вспомогательной задачи, полученных численными, аналитическими или приближенными методами для разных случаев обтекания. В частности, для приближенного определения вспомогательных параметров 5Ь оо и Миоо могут быть использованы формулы (6.4) — [c.272]

В работе [1 ] были рассмотрены существенные методы решения задачи о конденсации паров, В основном все они могут быть подразделены на две группы. Первую группу составляют чисто анайитические методы, вторую — аналитические с привлечением экспериментальных данных. Эти методы с успехом применялись для случая ламинарного движения пленки около пластины, находящейся в неограниченном паровом пространстве. При такой постановке задачи возможно применение плоских автомодельных решений пограничного слоя, использование подобных преобразований либо интегральных методов для получения приближенных решений. Однако все эти решения применимы при большом количестве допущений об отсутствии влияния тех или иных сил на процесс, постоянства свойств и т. п. Наиболее перспективными на основании обзора представляются численные методы, основанные на решении конечно-разностных аналогов уравнений пограничного слоя, и эмпирические и полуэмпирические методы расчета с заданным распределением давления. Именно эти методы и будут использованы при решении задач о конденсации паров внутри труб и каналов. Они дают возможность получить локальные характеристики протекания процесса либо в виде эпюр температур, концентраций и скоростей, либо в виде интегральных величин, усредненных по данному сечению. [c.198]

Кроме аналитических решений задач тепломассообмена и зависимостей, полученных на основании физических представлений о процессе, можно отметить эффективный метод численного решения системы уравнений пограничного слоя, предложенный С. В. Патанкером и Д. Б. Сполдингом [5.13], [c.247]

С целью минимизации составляющей погрешности измерения площадей фотопиков необходимо снизить степень интерференции гамма-квантов, которая определяется как отношение активностей мешающего и определяемого радионуклидов, и зависит от сечений ядерных реакций, периодов полураспада соответствующих радионуклидов и доли выхода гамма-квантов на распад. В работах [26, 27] методом численного моделирования спектров гамма-квантов проб заданного состава определены оптимальные условия облучения и выдержки с тем, чтобы свести к минимуму или полностью исключ1ггь интерференцию при анализе образцов горных пород, содержащих до 40 элементов. Авторы [26] предлагают пакет компьютерных программ, которые можно использовать для определения оптимальных условий облучения при нейтронно-активационном анализе практически любых материалов. Оценки различных неопределенностей, контроль аналитических погрешностей, разработка программ исследований и требования к качеству НАА рассмотрены в работах [28-33]. [c.8]

Из многочисленных методов определения упругой линии двухопорного вала в практике электромашиностроения наиболее часто применяются графический метод [10], аналитический метод Н. П. Тугаринова [11] и численное интегрирование уравнений изгиба [12]. [c.35]

Аналитические решения дифференциальных уравнений нестационарной диффузии получены для постоянных коэффициентов диффузии. Если коэффициент диффузии является переменной величиной, то применяются методы численного интегрирования, ступенчатый метод и другие приемы для нахождения среднего значения или ряда значений коэффициентов диффузии в исследуемом интервале концентраций сорбируемого газа. Некоторые из этих методов будут кратко рассмотрены в заключении главы. [c.72]