Численный метод переменных

Расчет экстремума проводится с многими переменными, причем при решении задач такого рода на первый план выступают численные методы, которые особенно хорошо применимы при машинных расчетах. [c.331]

Общим во всех четырех описанных численных методах являются пробы, но в последовательном ряду результатов отклонения точек от самой крутой линии постепенно уменьшается кроме того, необходимо, чтобы во всех методах интервал ступени при приближении к экстремуму уменьшался, и конечное его значение должно быть таким, чтобы приблизиться к экстремуму с заданной точностью. Методы описаны для случаев с двумя переменными, однако они пригодны при любом числе переменных и хорошо программируются для машинного расчета. [c.334]

Определение оптимума технологических переменных численным методом будет показано на примере синтеза аммиака [И]. [c.334]

Дифференциальные уравнения в частных производных получаются в тех случаях, когда рассматривается одновременное изменение более чем двух переменных. Для этих уравнений справедливы те же соображения, какие были высказаны по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полного математического описания физической проблемы, помимо самого дифференциального уравнения, необходимы еще дополнительные указания начальные условия, из которых определяются константы, возникающие при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, а также начальные и граничные условия, из которых находятся параметры, полученные при точном решении дифференциальных уравнений в частных производных. (Разумеется, начальные и граничные условия в равной мере необходимы и при численных методах.—Прим. ред.) [c.385]

Совместным решением уравнения типа (6.16) н третьего уравнения системы (6.9), в котором первый член правой части выражен через концентрацию радикала и константы его взаимодействия с компонентами реакции, можно численно (методом последовательного приближения) найти вид поверхности с, — с о как функцию переменных Т и (I для любого целевого компонента, а следовательно, и оптимальное значение о. , [c.106]

Все процедуры поиска программируются, поиск выполняется автоматически на ЭВМ. Обзор численных методов поиска экстремума функции нескольких переменных представлен в работе [28] некоторые рекомендации по использованию различных численных методов даны в работе [29]. Прп подборе коэффициентов градиентно-овражным методом [29] были использованы результаты 20 режимов. [c.144]

Подпрограммы численных методов Метод Ньютона или простой итерации Метод секущих для двух переменных Обращение матрицы порядка п п Метод итераций Мюллера [c.75]

Решением дифференциального уравнения является некоторая функциональная зависимость, которая в простейших случаях может быть получена аналитически, а в более сложных — численными методами в виде таблицы значений независимой переменной и соответствуюш,их значений функции. [c.349]

Это численный метод определения экстремума данной целевой функции посредством последовательных аппроксимаций. Он начинается с полного решения с использованием предполагаемых величин основных переменных полученное при этом значение [c.232]

И др. найдены точные аналитические выражения. За этой модификацией мы сохраним название метод сопряженного процесса . Вторая модификация предполагает, что указанные частные производные определяются численно (методом разностей). Данную модификацию будем называть методом модифицированного сопряженного процесса . Для простоты ограничимся случаем, когда варьируемыми переменными являются только управляющие переменные блоков схемы. Общий случай можно проанализировать аналогично. [c.163]

Задача оптимизации глобальной схемы будет иметь вид (VI, 27). Поскольку в этом случае все переменные являются непрерывными, для решения могут быть использованы хорошо разработанные численные методы нелинейного программирования (см. гл. III, IV). Ясно, что в результате решения могут быть получены нецелочисленные значения а , принимающие любые значения в интервале (VI, 26). Если условия задачи допускают любые значения структурных параметров в интервале (VI, 26), то полученный результат будет решением первоначальной задачи (VI, 5). При этом, если какие-либо структурные параметры при k = k ,. . kj/, s = 1, примут нецелые значения, то на /-том выходе -го блока необходимо поставить делитель потока, а на входных потоках блоков. . ., кр смесители. В дальнейшем этот метод будем называть методом структурных параметров (МСП). Рассмотренный подход выглядит очень заманчивым, поскольку позволяет сводить многомерную комбинаторную задачу к задаче нелинейного программирования. Особенности этой задачи состоят в следующем [c.204]

Для простоты изложения будем считать, что каждый блок имеет один входной и один выходной поток и воспользуемся обозначениями (1,5). Излагаемый подход будет комбинацией метода ветвей и границ и МСП, который будет использоваться для получения нижних оценок, поскольку переход от дискретных переменных и непрерывным позволяет применять численные методы нелинейного программирования. Общая схема метода ветвей и границ для всех четырех случаев совпадает с описанной выше. Для каждого отдельного случая опишем правило ветвления, правило определения нижней оценки и правило окончания процедуры [132—134]. [c.206]

Как обычно, структурные параметры являются непрерывными переменными, удовлетворяющими соотношениям (1, 7), (VI, 26). Давая структурным параметрам определенные значения, можно из глобальной получить любую заданную ТС (без рециклов), а после проведения оптимизации глобальной схемы, получить схему ТС, наилучшую из всех возможных. Поскольку в глобальной схеме все поисковые переменные (структурные и технологические) непрерывны, для ее оптимизации могут быть использованы численные методы нелинейного программирования. После решения задачи оптимизации глобальной схемы ТС будут получены какие-то значения структурных параметров (вообще говоря, нецелые). Однако, если условия задачи разрешают разветвления потоков, это не страшно если структурные параметры, соответствующие какому-либо потоку, окажутся нецелыми, на нем надо ставить делитель потоков. Если же разветвление потоков не разрешается, необходимо потребовать целочисленность структурных параметров. В этом случае, также как и при использовании обычной глобальной схемы, [c.223]

Метод Монте-Карло является по существу математическим экспериментом. В ряде случаев он состоит в конструировании искусственного случайного процесса таким образом, чтобы среднее значение случайной переменной соответствовало решению системы интегродифференциальных уравнений. Кроме того, он может заключаться также в сведении исходного вероятностного физического процесса к модели, допускающей практическую реализацию на ЭВМ [64]. Важнейшим преимуществом метода Монте-Карло перед аналитическими и другими численными методами является возможность построения моделей, обходящих серьезные, часто непреодолимые трудности, стоящие в ряде задач перед аналитическими методами. Метод Монте-Карло может привести к успеху даже в таких случаях, когда отсутствует возможность формулировки соответствующих уравнений. [c.201]

Численные методы решения задач оптимизации. Начнем со случая, когда из уравнений состояния можно выразить переменную состояния ( фазовую переменную) через управление и тем самым свести задачу к задаче математического программирования (для управления используем ниже более привычное обозначение гг) [c.283]

Проанализируем стационарный процесс теплопередачи в полу-бесконечном твердом теле. Сравним результаты решения этой задачи, полученные как для постоянных, так и для переменных значений теплофизических свойств в каждой фазе. И, наконец, рассмотрим задачу, учитывающую наличие фазового перехода (теплофизические свойства считаются постоянными). Эти результаты, полезные сами по себе, помогут продемонстрировать влияние свойств материала на сложность применяемого математического аппарата. Действительно, решение задачи плавления (или отверждения) при переменных теплофизических свойствах и фазовых переходах делает необходимым, как это показано в разд. 9,4, применение численных методов. [c.259]

Функция N1 (х, у) определяется формой элемента, расположением узлов, числом членов в полиноме. Разумеется, задача опять состоит в вычислении значений и,-. Это достигается применением какого-либо из известных численных методов, например вариационного метода, метода аппроксимирующих функций, метода Галер-кина, метода Монте-Карло и др. Используя граничные условия, получают ряд линейных (или нелинейных) алгебраических уравнений, в которые входят узловые значения переменных К как неизвестные величины. [c.597]

Методы численного решения задач теплопроводности и диффузии в неподвижных средах (включая и случай переменных свойств среды) в настоян ее время хорошо разработаны и довольно широко применяются они освещены в ряде учебных пособий. Эти методы рассмотрены ниже лишь на модельном уровне вопросы, связанные с их применением в реальных задачах теплопроводности и диффузии, не затрагиваются. Эти же численные методы могут быть применены в тех часто встречающихся случаях, когда тепло- и массообмен не оказывает влияния на движение жидкой и газообразной сред, а само движение среды является известным. [c.9]

Поскольку при решении конкретных задач независимые переменные могут иметь самый различный физический смысл (например, температура, давление, концентрация и т. д.) и соответственно разные единицы измерения, при решении оптимальных задач численными методами целесообразно оперировать с их безразмерными нормализованными значениями. Обычно для нормализации применяется возможный диапазон изменения значений независимых переменных, который всегда может быть установлен, исходя из физической сущности решаемой задачи. [c.477]

Численные методы расчета процессов ректификации и абсорбции различаются выбором независимых переменных, способом решения общей системы уравнений и способом сходимости. [c.154]

Одним из самых важных вопросов, относящихся к векторам и матрицам цепи и вообще к математическому описанию и методам расчета потокораспределения, является их рациональная декомпозиция (разложение, расщепление) на части с выделением тех или иных групп переменных и блоков в матрицах. Именно с этим прежде всего и связаны такие теоретически и практически важные вопросы, как строгое математическое описание преобразований основных переменных к контурным или узловым величинам, сокращение размерности задач о потокораспределении и анализ общих свойств их решений, получение замечательных соотношений между матрицами и векторами, учет специфических особенностей сетевых задач при применении численных методов линейной и нелинейной алгебры и др. [c.55]

Сформулированные выше задачи являются сложными задачами нелинейного программирования, которые в случае многоконтурных ТПС, рассматриваемых как г.ц. с переменными параметрами, не имеют еще эффективных численных методов для своего решения. В связи с этим и возникает идея об использовании здесь математических моделей и алгоритмов, разработанных для решения комплекса задач оптимального проектирования разветвленных и многоконтурных систем, описанных в предьщущих главах данного раздела книги. [c.240]

Сравнение результатов, полученных из этих выражений, с результатами автомодельного решения показывает, что при Рг да 1 расхождение порядка 5 %. Потоки массы, количества движения и тепловой энергии в пограничном слое можно получить также, интегрируя соответствующим образом профили (3.13.3). Аналогичный расчет в автомодельной постановке требует знания численных величин соответствующих интегралов в автомодельных переменных. Но часто эти интегралы в таблицах не приводятся, и для их определения требуется решать автомодельные уравнения численными методами. [c.165]

В работе [127] получены решения этой системы уравнений при трех различных условиях. Решение соответствующих разностных алгебраических уравнений получено с помощью неявного численного метода. Для всех трех рассмотренных случаев предполагалось, что температура стенки постоянна. В качестве первого случая рассмотрена внезапно нагреваемая плоская поверхность, обтекаемая внезапно начинающимся параллельным потоком жидкости. В момент времени -г = О скорость внешнего потока становится равной а температура стенки скачкообразно повышается до постоянной величины > too. Во втором случае вновь рассматривается внезапно начинающийся внешний поток, однако поверхность остается холодной до некоторого момента времени т , а затем ее температура скачкообразно повышается до о и в дальнейшем остается постоянной. В последнем случае рассматривается внешний поток с периодически изменяющейся ненулевой скоростью, обтекающий изотермическую поверхность. Все решения получены при Рг = 0,7. На рис. 10.10.1 представлены результаты расчета теплового потока для внезапно начинающегося внешнего потока с задержкой нагрева стенки. Применяются следующие безразмерные переменные [c.658]

Уравнения были преобразованы путем введения безразмерных переменных е и тр. По методикам, указанным выше, система уравнений с безразмерными переменными была решена численными методами на ЭВМ. Значения коэффициентов тепло- и массообмена определяли путем сопоставления результатов одного из опытов с теоретическим решением. Полученные значения были использованы в дальнейших расчетах. Авторы установили полную адекватность адиабатической модели, если коэффициенты уравнений кинетики определялись в реальном эксперименте. [c.234]

Хотя условие равновесия можно записать в форме MnnHMy ма О (или F) или в форме закона действующих масс, не следует думать, что эти формы принципиально различаются. В обоих случаях используют одни и те же общие соотношения химической термодинамики и термодинамические функции веществ Но метод минимизации О (или F) формулируется таким образом, что он непосредственно подготовлен для использования процедуры нахождения решения численным методом на ЭВМ путем поиска минимума функции многих переменных и программируется так, что не требует последовательного выполнения этапов А — Г традиционного подхода. [c.113]

Рассмотрение почти всех физических задач проведено применительно к реактору без отражателя. Это дает возможность использовать при решении метод ра.зделения переменных и иозволяет изучать кинетику независимо от геометрических особенностей системы. Кроме того, иредполагается, что изменения реактивности возникают в результате возмущений, которые вводятся равномерно но всему реактору. Изменения в потоке (мощности, температуре) вследствие локальных изменений в системе лучше рассматривать численными методами или применяя теорию возмущений. [c.401]

Для решения первых четырех задач были разработаны методы, основанные на использовании численных методов нелинейного программирования (поисковых методов) [И, 12] и методов теории оптимального управления — вариационного исчисления [15], динамического программирования [16], принципа максимума Понт-рягина [17], дискретного принципа максимума [18]. Пятая задача принципиально отличается от первых трех тем, что в ней наряду с непрерывными искомыми переменными имеются целочисленные переменные. Отсюда для ее решения необходимо применять методы [c.23]

Начнем с квадратичных методов, основанных на использовании градиента минимизируемой функции. Очень важное значение в случае задач большой размерности приобретает проблема расчета производных целевой функции. Применение для этой цели разностей малонриемлемо вследствие больших вычислительных затрат и неточности расчета производных. Численные эксперименты но сравнению ряда методов переменной метрики с разностным вычислением производных [143] на нескольких тестовых примерах показали, что при ге >> 20 более эффективными становятся методы нулевого порядка. Кроме того, неточность расчета производных, присуш,ая разностному методу, лгожет значительно исказить направления поиска, а следовательно, и понизить эффективность методов. [c.260]

Численные методы имеют дело с ограниченным набором чисел, поэтому целесообразно разбить пространство на конечное число неперекрывающихся областей, обычно называемых ячейками, и каждой из зависимых переменных приписать внутри каждой ячейки одно значение. [c.35]

Переменные физические свойства (Рп>1). Рассмотрим влияние изменений вязкости с температурой на процессы теплообмена, т. е. задачу, в которой Рп 1. Для задачи зтого типа (28), (29) надо решать совместно вследствие того, что они связаны через изменения вязкости и скорости. Решение этих уравршний обычно получают с помощью численных методов для каждого интересующего случая. Чтобы проиллюстрировать конечное влияние т] (Т) на Ыи, приведем результаты, полученные в [16], для теплообмена степенной жидкости, текущей в трубе с постоянной температурой стенки (см, рис. 3). [c.333]

Значения частных производных, фигурирующих в уравнениях Ньютона — Рафсоиа, находятся численным методом. Допустим, что все переменные имеют постоянные, взятые при предыдущем [c.328]

X — суммарное количество тепловой энергии, необходимое для нагрева твердой фазы от начальной температуры Т о до температуры Т 1 и плавления при этой температуре. Сандстром и Юнг [32] решили эту систему уравнений численным методом, заменив уравнения в частных производных уравнениями в обыкновенных производных на основе методов теории подобия. Пирсон [34] использовал аналогичный подход и получил ряд аналитических решений для более простых спучаев. Он использовал безразмерные переменные, которые полезны, как это будет далее показано, при физической интерпретации результатов [c.285]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени нри неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при i оо нестационарного-решения при стационарных (не зависяхцих от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Достоинства численных методов, однако, не стоит преувеличивать. Эти методы в принципе ие могут дать общих аналитических зависимостей. Расчет по методу Монте-Карло состоит в том, что, задавшись определенным потенциалом взаимодействия, мы получаем численные значения макроскопических характеристик при заданных условиях. Если используется канонический ансамбль, то заданы параметры Т, V, Л/ и расчет дает точку иа диаграмме зависимости интересующего нас параметра М от переменных Т и V/N. Проведя вычисления для различных условий, мы можем построить изотермы и изохоры или всю поверхность М (Т, V/N). Но для системы с другим потенциалом взаимодействия все расчеты потребуется начать заново. В этом смысле метод Монте-Карло является аналогом экспериментальных методов, которые требуют постановки отдельного эксперимента для каждой системы при заданных условиях. Поэтому метод Монте-Карло можно назать методом численного эксперимента. [c.395]

Чтобы количественный анализ динамики объемного привода был достоверным, необходимо учитывать зависимость коэффициентов уравнений (2.159) от переменных величин. В этом случае дифференциальные уравнения будут нелинейными и для их -решения используют численные методы интегрироьв-ния [17]. Эти методы трудоемки и требуют применения ЭВМ. Разработаны программы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на основе неяоных методов Рунге-Кутта, Адамса и др., которые обеспечивают автоматический выбор временного шага и порядка метода. [c.150]

Интегральными называют уравнения, содержащие искомую функцию под знаком интеграла. Метод интегральных уравнений - один из наиболее эффективных численных методов решения задач по расчету потенциала и тока при контактной коррозии и электрохимической защите металлов. Он позволяет перейти от решени(=1 рассмотренных граничных задач при любых (в том числе и переменных по поверхности) значениях без-размериого параметра поляризации к в граничных условиях (1.25) к решению интегрального уравнения вида [c.264]

В ряде случаев возможно создание математической модели процесса, т. е. упрощенной системы уравнений, реализуемой средствами современной математики. Такая модель, отличаясь в силу сделанных допущений как от самого исследуемого процесса, так и от его общего математического описания (общих дифференциальных уравнений двухфазного потока), позволяет в то же время вскрыть ряд глубоких закономерностей процесса кроме того, при математическом моделировании возможны неограниченное расширение диапазонов изменения определяющих величин и исследование независимого влияния отдельных факторов. Применение численных методов и использование ЭВМ позволяют во многих случаях су щественпо снизить количество ограничений математической модели, повысить её общность и увеличить ценность результатов. Нри создании и реализации математических моделей весьма важно использовать обобщенные переменные, построенные на основе критериев подобия. [c.79]

Уравнение (286) записано при условии, что константы скорости прямой и обратной реакции одинаковы и равны величине к. Это приводит к тому, что, когда система переходит в равновесие, доля релаксаторов и нерелаксаторов становится одинаковой и равной 0,5. Уравнение (286) интегр1фуется до конца только в отдельных частных случаях, например, при я = 2 В общем случае, когда п является дробной величиной, интегрирование можно произвести только численными методами. С целью нахождения зависимости степени превращения а от времени t в работе [44] применили численный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. По найденным значениям величин а, юторые были рассчитаны при различном малом шаге по t, огфеде-лялись с помощью ЭВМ значения интеграла от переменной части ядра [c.302]

Для решения полученных уравнений используются различные численные методы. При этом нестационарные начальные решения должны сходиться к решению для установившегося режима в пределах заданных требований к сходимости. В методе фиктивной нестационарности [166] к вектору в уравнении (14.5.2) добавляется переменное нестационарное слагаемое. Следовательно, для этого уравнения также может быть использовано последовательное перемещение по оси времени. При этом дополнительный нестационарный член по мере приближения к стационарному состоянию стремится к нулю, в результате чего уравнение (14.5.2) оказывается выполненным. Таким образом, указанный метод не позволяет рассчитывать реальные нестационарные режимы, обеспечивая лишь более быстрое получение численных результатов при расчете стационарного состояния. Дальнейшие подробности этого метода, а также других численных подходов, позволяющих рассчитывать трехмерные естественноконвективные течения, содержатся в работах [104, 128]. [c.297]

Полученные уравнения (6) и (7) содержат связанные друг с другом три переменные ptps, г и 4- Решая эти уравнения при помощи ЭВМ численным методом, можно, например, для заданного равновесного относительного давления определить толщину адсорбционного слоя tg и радиус пор г, при которых будет происходить опорожнение поры в результате капиллярного испарения. [c.105]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология