Численные методы решения систем алгебраических уравнений

Численное решение этих уравнений легко осуществляется с помощью АЛГОЛа на ЭЦВМ М-222. Программа для решения составляется по методу решения системы алгебраических уравнений или по методу последовательного исключения неизвестных. Левые части уравнений предварительно вычисляются из N (р) при р = о, р = 3(7,. . . Полиномы Лежандра также определяются по программе для вычисления знакопеременного степенного ряда. [c.103]

Следовательно, расчет реактора сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными а и Т. Для проточного реактора полного перемешивания это будет система алгебраических уравнений. В остальных случаях получается система дифференциальных уравнений. Как правило, для решения необходимо использовать численные или графические методы. Ниже будет рассмотрено несколько примеров расчета неизотермических реакторов. [c.332]

Кинетическое описание ферментативных реакций в нестационарном режиме связано с определенными математическими трудностями. Например, для анализа реакции, протекающей по схеме Михаэлиса — Ментен (схема 5.1), необходимо решить систему дифференциальных и алгебраических уравнений (5.2)—(5.5). Формально-кинетический анализ ферментативных реакций развивается как по пути использования численных методов интегрирования систем дифференциальных уравнений, так и по пути использования аналитических методов. Аналитическое решение имеет определенные преимущества. Поэтому важно указать, что аналитическое решение системы дифференциальных и алгебраических уравнений может быть существенно упрощено, если при использовании определенных условий систему можно трансформировать в линейную систему уравнений. Развитие методов нестационарной кинетики ферментативных реакций идет именно по этому пути. [c.175]

При решении задачи численным методом использовалась прямоугольная сетка с постоянными шагами. Аппроксимирующая система алгебраических уравнений, как обычно в методе сеток, получалась заменой производных в уравнении Чаплыгина центральными разностными формулами второго порядка точности на гладких решениях. Решение алгебраической системы проводилось методом итераций по явной двухслойной схеме Якоби. Интегральное граничное условие на звуковой линии заменялось разностным условием для двух соседних итераций, аппроксимирующим исходное условие в сходящемся итерационном процессе. [c.106]

Система уравнений (4.61) — (4.65) решалась численно методом разбиения всей высоты трубы-сушилки на равные отрезки с дальнейшим определением искомых значений и, 0, у, / и х на каждом участке. Техника решения состояла в замене всех уравнений соотношениями в конечных разностях и в последующем решении получаемой системы алгебраических уравнений на каждом участке методом итераций. [c.134]

Система алгебраических уравнений, составленных из необходимых условий экстремума функции Ф2, оказывается нелинейной и сложной в явном виде относительно температур и расходов она неразрешима. Решение ее с помощью известных численных методов [109] требует значительного объема памяти и времени счета на ЭВМ, что нежелательно для автоматических управляющих систем. Процесс решения намного упрощен и сокращен в результате использования разработанного авторами итерационного алгоритма, который основан на следующих свойствах целевой функции. [c.119]

Решение задач биомеханики для тел сложной формы и неоднородной структуры требует применения численных сеточных методов. Основная идея этой совокупности методов состоит в сведении краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений. Достигается это применением конечно-разностных формул для приближенного представления производных в узлах сетки, покрывающей тело, или использованием метода конечных элементов [2.3. [c.108]

В итоге для численного определения модельной температуры 0(д , г), сопряженной переменной ф(х, т) и приращения Д0(д , г) в каждом временном слое будем иметь соответствующие трех диагональные системы алгебраических уравнений — нелинейные для в и линейные для ф и Дб. Решение этих систем выполняется по методу прогонки (в сочетании с итерациями по коэффициентам при расчете б) Заметим, что численное интегрирование сопряженного уравнения (6.23) выполняется в направлении от т Тт к т = О- Поэтому неявная схема аппроксимации запишется также в перевернутом (по отношению к аппроксимации уравнения теплопроводности) виде. [c.129]

Полученная таким образом замкнутая система дифференциальных, интегральных и алгебраических уравнений при соответствующих начальных условиях и составляет полную математическую модель ДЖР. Подобная система уравнений, как правило, не имеет аналитического решения п должна решаться численными методами. В случае противоточного реактора начальные условия задаются на обоих концах реактора и поэтому речь идет о решении краевой задачи. Эта задача всегда имеет решение [6], так как выполняется условие Липшица [7]. [c.118]

Выше показано, что математические описания химико-технологических процессов представляют собой системы алгебраических или дифференциальных уравнений. Здесь приведем описание некоторых численных методов, позволяющих выполнять расчеты таких систем. Далее рассмотрим существенные для математического моделирования методы исследования таких систем определение чувствительности решения к величинам параметров и, если число возможных решений больше одного, — определение устойчивого решения и па его основе — устойчивого режима работы химико-технологического процесса. [c.141]

На основании требований 4), 6) и 9) проводились приближенные оценки констант скорости тех реакций, которые образуют рассматриваемый механизм процесса, при этом, зная одну константу из группы реакций, всегда можно задать и приближенные величины всех остальных констант, так как внутри групп объединены одинаковые типы реакций. Оцененные таким образом значения констант скорости являлись нулевым приближением при решении обратной кинетической задачи для каждого из четырех механизмов. Решение обратной кинетической задачи проводилось методом оврагов [см. п. 2], минимизировалась сумма квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений концентраций Н2, 0 и НО. При численном решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений принимался принцип квазистационарности по (Н)(О) ,30, в результате чего исходная система сводилась к укороченной системе дифференциальных уравнений и системе нелинейных алгебраических уравнений, которая на [c.170]

Общий шаг итерационного процесса Ньютона для решения такой системы будет состоять из 1) решения каким-либо из численных методов уравнений (10.14) при некоторых начальных условиях р, (0) и параметрах X,- 2) построения и решения системы линейных алгебраических уравне- [c.143]

В работе [127] получены решения этой системы уравнений при трех различных условиях. Решение соответствующих разностных алгебраических уравнений получено с помощью неявного численного метода. Для всех трех рассмотренных случаев предполагалось, что температура стенки постоянна. В качестве первого случая рассмотрена внезапно нагреваемая плоская поверхность, обтекаемая внезапно начинающимся параллельным потоком жидкости. В момент времени -г = О скорость внешнего потока становится равной а температура стенки скачкообразно повышается до постоянной величины > too. Во втором случае вновь рассматривается внезапно начинающийся внешний поток, однако поверхность остается холодной до некоторого момента времени т , а затем ее температура скачкообразно повышается до о и в дальнейшем остается постоянной. В последнем случае рассматривается внешний поток с периодически изменяющейся ненулевой скоростью, обтекающий изотермическую поверхность. Все решения получены при Рг = 0,7. На рис. 10.10.1 представлены результаты расчета теплового потока для внезапно начинающегося внешнего потока с задержкой нагрева стенки. Применяются следующие безразмерные переменные [c.658]

Метод статистической регуляризации. Разработаны методы решения некорректных задач [66—71], которые позволяют подойти к проблеме решения интегрального уравнения (2.25) с обш их позиций, т. е. независимо от вида ядра Р (р, р). При численном решении уравнения (2.25) его обычно сводят к системе линейных алгебраических уравнений [58] [c.35]

Решение той же стационарной задачи диффузии через пленку при нелинейной изотерме может быть в общем случае выполнено численными или графическими методами, так как сводится к решению системы четырех алгебраических уравнений, из которых по крайней мере два нелинейных. [c.108]

Некоторые затруднения могут возникать лишь в системах, в которых различные переменные (концентрации) имеют очень сильно различающиеся масштабы изменения во времени. Примером такого процесса может служить радикальная полимеризация, где характерные масштабы времени изменения концентраций мономера и радикалов обычно отличаются на несколько порядков. Для расчета подобных систем, называемых в вычислительной математике жесткими , можно воспользоваться методом квази-стационарных концентраций Боденштейна — Семенова, приравняв к нулю производные в кинетических уравнениях для концентраций короткоживущих компонентов. Решение получившихся при этом алгебраических уравнений позволяет в принципе выразить их через концентрации долгоживущих компонентов и подставить в соответствуюпще дифференциальные уравнения для этих компонентов. Получившаяся таким образом система меньшего числа уравнений но сравнению с исходной уже не будет жесткой и может быть решена на ЭВМ стандартным способом. Строгое математическое обоснование метода квазистационарных концентраций можно найти в работах [12, 131, а конкретные практические рекомендации по численному решению указанных задач на ЭВМ имеются в монографии [14]. [c.66]

Кинетическая модель — помимо переменных состояния — содержит в себе параметры (константы скорости, константы равновесия элементарных реакций, энергии активации), смысл которых вытекает из детального механизма реакции. Численные значения этих параметров на сегодняшний день не могут быть получены чисто теоретическими расчетами. Для их определения необходимы лабораторные экспериментальные данные по исследованию кинетики на данном катализаторе. На базе этих экспериментов уточняется форма кинетической модели, определяются неизвестные значения параметров — путем приведения в соответствие экспериментальных данных с предполагаемой формой кинетической модели. Содержание, адекватность, предсказательная сила конечного продукта — содержательной кинетической модели — зависит от того дизайна , который применялся при его построении. В настояш,ее время кинетический дизайн или построение адекватной кинетической модели представляет собой самостоятельное научное направление. Оно базируется на искусстве целенаправленного планирования кинетических экспериментов с целью получения информативного массива данных, на правильной оценке погрешности в данных и их коррекции строгими статистическими методами. Определение численных значений параметров — или другими словами параметрическая идентификация — использует необходимый для этой цели арсенал математических, статистических и вычислительных методов. Вычислительные методы решения задач параметрической идентификации существенно зависят от характера экспериментальных данных, полученных либо в проточном реакторе идеального перемешивания, либо в проточном реакторе идеального вытеснения, либо в реакторе закрытого типа и др. Это очевидно, поскольку уравнения математического описания перечисленных типов реакторов относятся к разным классам уравнений математической физики. В одних случаях работа ведется с системой дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями, в других — с системой нелинейных алгебраических уравнений, неявных относительно измеряемых в эксперименте переменных состояния. [c.68]

Процесс многокомпонентной ректификации в общем виде описывается системой дифференциальных и алгебраических уравнений с граничными условиями, заданными алгебраическими уравнениями. Указанная система уравнений не имеет аналитического решения п поэтому решается численными методами. При расчете тарельчатых аппаратов шаг интегрирования удобно выбирать таким, чтобы Т жидк— пара что соответствует расчету по теоретическим тарелкам. Этот метод получил название расчета от тарелки к тарелке . Он широко распространен при расчете бинарной ректификации. Однако при применении этого метода к расчету много- [c.283]

Решение системы уравнений (3.50) может быть осуществлено различными методами точным, приближенным с помощью метода эффективного тела, численным методом, с помощью тепловых схем и т. п. Так как для системы трех линейных алгебраических уравнений получаются обозримые (мало громоздкие) точные решения. [c.178]

Желание повысить вязкостные свойства вычислительных алгоритмов и тем самым расширить область применимости прямых численных методов приводит к неявной схеме аппроксимации уравнения теплопроводности в задаче продолжения температурного поля по данным Коши. В этом случае значения температуры и = 1, т на некотором пространственном слое / находятся одновременно из решения алгебраической системы с входными данными в виде двух временных рядов температур [c.100]

Математически система уравнений (6.67)-(6.74) с граничными условиями (6.75) представляет собой краевую задачу в трехслойной области. Возможный путь решения такой задачи состоит в решении уравнений переноса в отдельных областях с последующим "сшиванием" полученных решений [79]. В разделе 6.4 обсуждаются различные способы решения уравнений Нернста - Планка с дополнительными условиями (6.68), (6.69), пригодные для производного числа сортов ионов. М.И. Пономарев [142, 145] нашел решение задачи в приближении, когда пренебрегается диффузионная составляющая потока в мембране, и используется упрощенное решение уравнений переноса в обедненном диффузионном слое. В этом случае удается получить алгебраическое уравнение относительно эффективного числа переноса одного из противоионов. Ю.В. Карлин [89-91] развил численный конечно-разностный метод решения задачи с использованием явной разностной схемы. Метод позволяет рассмотреть случай трех конкурирующих противоионов и нестационарного режима переноса. [c.297]

На первом этапе решения, когда величина концентраций существенно зависит от выбранных начальных условий, осуществляется численное интегрирювание полной системы дифференциальных уравнений химической кинетики одним из разностных методов с заданной относительной погрешностью интегр>ирования. Этот этап решения заканчивается, когда наиболее реакционноспособные компоненты выходят на квазистационарный режим (эти условия проверяются на каждом шаге интегрирования). На втором этапе решения часть дифференциальных уравнений для наиболее реакционноспособных компонент заменяются алгебраическими и на каждом шаге интегрирования укороченной системы обыкновенных дифференциальных уравнений решается дополнительно система нелинейных алгебраических уравнений. При этом, если условия квазистационарности нарушаются для некоторых компонент, то соответствующие алгебраические уравнения опять заменяются исходными дифференциальными.Действительно, пусть система уравнений химической кинетики представлена в виде [c.133]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Практически решение систем уравнений (1.32) и (1.37) возможни только численными методами на 3BU. Применимы итерационные методы, метод Ньютона - Рафсона и др. Универсальная методика решения системы нелинейных алгебраических уравнений заклвчается в следующем.Система линеаризуется путем логари рования уравнений. Неизвестными становятся lnP и уравнения разлагаются в ряд Тейлора по методу Ньютона. Членами разложения, содержащими производные второго и высших порядков, пренебрегают. Полученная линейная система алгебраических уравнений относитольно lnP может быть решена с помощью стандартных программ для ЭВМ. [c.25]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводатся к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобньш способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показывает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал I = V Л , которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

При этом матрица коэффициентов А - блочная пятидиагональная, а ее элементы являются комбинацией коэффициентов системы алгебраических уравнений, зависящих от случайной функции распределения радиусов пор Р(г). Поэтому эта матрица, вообще говоря, может быть не симметричной и решение полученной системы линейных уравнений (5.1) численными методами, разработанными для симметричных матриц (методом сопряженных градиентов и др.), не представляется возможным - требуется их некоторая модификация. [c.9]

Основным толчком к быстрому развитию методов математического моделирования химических процессов явилось бурное развитие электронной вычислительной техники. Математическое описание химических процессов представляется системой нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Аналитическое их разделение в настоящее время невозможно. И до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) приходилось прибегать к различным упрощениям при составлении математического описания, чтобы полученные уравнения можно было использовать при расчетах. Зачастую эти упрощения приводили к грубым несоответствиям модели и процесса. Развитие ЭВМ позволило избежать этих трудностей, тематическое описание стало более сложным, но более точно описывающим процессы, происходящие в химических аппаратах. Сейчас, имея, с одной стороны, математическое описание почти всех явлений, происходящих в каталитических процессах, и, с другой стороны различные типы ЭВМ и тенденции в их развитии, можно говорить о требованиях, предъявляемых к средствам математическото моделирования. Вопросам выбора средств математического моделирования каталитических процессов посвящен настоящий доклад. Полученные выводы основываются, с одной стороны, анализом уравнений математического описания каталитических процессов о точки зрения их численного решения, и, с другой стороны, опытом работы Института катализа СО АН СССР и других организаций по использованию ЭВМ различного типа при моделировании и расчетах достаточно большого числа каталитических процессов. [c.494]

Обзор 26 расчетных методов был сделан Guffey в 1971 г. [120]. Известные ранее процедуры, как отмечается в этом обзоре, можно было бы разделить на те, в которых предлагались эмпирические корреляционные соотношения для расчета равновесия в тройной и четверной системах, и те, в которых осуществлялось предсказание равновесия в четверной системе, исходя из значений для тройной, или предсказание равновесия в тройной системе, исходя из значений для бинарной системы. Некоторые из процедур попадают в обе категории. Эти категории могут быть в дальнейшем подразделены на алгебраические корреляции и решение уравнений активности численными и другими методами. Решение уравнений активности осуществляется с помощью оптимизационных процедур. Такие процедуры представлены некоторыми авторами при расчете паро-жидкостного равновесия. В работе [121] изложены процедуры вычисления коэффициентов активности с помощью уравнений Ван-Лаара, Маргулеса, Редлиха — Кистера. В работе [122], кроме перечисленных уравнений, используется также уравнение Вильсона для расчета равновесия в неидеальной жидкой фазе. В работе [18] представлен алгоритм расчета жидкой фазы нс помощью уравнения Вильсона. Вычислительные процедуры были использованы также некоторыми авторами для того, чтобы сравнить различные уравнения, связывающие активности в тройных системах. [c.160]

В математическом отношении расчет периодической ректификации многокомпопентной смеси в приближении теоретической тарелки сводится к интегрированию обширной системы обык]к )вениых дифференциальных уравнений. На практике, главным образом, используются два метода численого решения задачи Коши машинные варианты метода Рунге—Кутта [1, 2] и неявный одношаговый конечно-разностный метод, имеющий в основе квадратурную формулу трапеций [3, 4]. В первом случае известные трудности представляет нахождение явного вида прои родной от температуры по времени, кроме того, система уравнений периодической ректификации относится к типу жестки.х систем, для которых методы Рунге—Кутта могут потребовать очень малого шага интегрирования или вообще ие будут работать [5]. Неявный метод более подходит для интегрирования жест.ких систем, но требуег большего объема вычислений иа каждом шаге, поскольку сводит решение нестационарной задачи к последовательному решению нелинейных систем алгебраических уравнений. [c.62]

Учитывая трудности, которые имели место при использовании в начале 70-х гг. маршевых методов параболического типа, Говинданом [90] разработана численная схема, в соответствии с которой уравнения Навье—Стокса рассматриваются как уравнения задачи с начальными данными по продольному направлению. С этой целью пренебрегается влиянием диффузии в указанном направлении, а продольный градиент давления трактуется как известный член типа источника. Полная система взаимосвязанных уравнений решается при помощи неитерациоиного алгоритма на каждом шаге по продольной координате, и, таким образом, решение определяется путем маршевого расчета по пространственным переменным. В [91 ] вычислительная программа и сам метод разработаны главным образом для расчета внутренних течений, аналогичных тем, которые формируются, например, в искривленных каналах. Вместе с тем они являются достаточно общими и пригодны для расчета многих типов внешних течений, в частности, реализующихся в области сопряжения крыла и фюзеляжа. Что касается моделирования турбулентности, то как привлекательная альтернатива полным уравнениям для рейнольдсовых напряжений использовались простая двухслойная алгебраическая модель турбулентной вязкости Болдуина и Ломэкса и (А—е)-модель турбулентности с двумя дополнительными уравнениями, основу которой, в свою очередь, составляет известная модель Джонса и Лондера. [c.78]

Статистика поведения случайной величины, принимающей дискретный спектр значений, описывается системой управляющих или балансных уравнений. Подобные системы широко используются в физических приложених и, в частности, для анализа заселенностей термов атомов и молекул /6, 8, 14/. Уравнение ФП. аписанное в конечных разностях, принимает вид системы управлякипич уравнений. И, наоборот, когда средний квадрат изменения случайной величины больше квадрата характерного расстояния между ее соседними значениями, возможен переход от системы управляющих уравнений к уравнению ФП. Поэтому изложенный выше аппарат построения асимптотических по времени решений уравнения ФП можно применить и в этом случае. При этом следует ожидать, что функции распределения случайных величин с непрерывными и дискретными значениями во многом будут аналогичны друг другу. Известные методы анализа систем балансных уравнений опираю 1сл главным образом на численный счет и "приближение стационарно о стока" /68/, когда рассматриваются алгебраические уравнения для быстрых процессов и дифференциальные уравнения для медленных процессов (например, для заселенности основного состояния). Полученные ниже результаты позволяют существенно упростить этот анализ /51, 52, 69, 70/. [c.62]

В этом Разделе представлен метод моделирования, разработанный В.Е. Селезневым и В.В. Киселевым [2, 6, 115]. Он основан на математической формализации описания установившихся режимов транспортирования природного газа через КЦ (КС) при требовании соблюдения ограничений, обеспечивающих промышленную безопасность КЦ (КС), в виде системы нелинейных алгебраических равенств и неравенств (СНАРН) (или системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) при простых ограничениях на варьируемые переменные). При математической формализации учитываются особенности технологической схемы КС и режимов ее эксплуатации, включая возможность возникновения помпажа в системе группа ЦН - прилегающие ТГ (см. Раздел 4.7). Управляющие параметры безопасных технологических режимов транспортирования газа (например, частоты вращения валов ЦН) автоматически получаются при численном решении задачи поиска внутренней точки множества, описываемого построенной СНАРН (или СНАУ). Если такое решение найти не удается, то делается заключение о возникновении аварийной ситуации. При этом результаты решения позво- [c.240]

Функции, входящие в данные уравнения, определяются численно в результате применения где на каждом шаге итеративного решения системы (2.487). Поэтому искомые распределения газодинамических параметров по подводящим и отводящим ТГ, а также параметры работы ГПА, получаются в процессе решения системы уравнений (2.487) автоматически (см. выше). Численное решение (2.487) проводится известными квазиньютоновскими методами. В первую очередь здесь можно рекомендовать модифицированный метод Бройдена [116] как одно из наиболее удачных обобщений классического метода секущих на случай численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Данный метод может иметь д -сверхлинейную скорость [c.256]