Интегрирование функций

Интегрирование функции Гаусса дает гауссов интеграл ошибок. Площадь, получаемая при интегрировании в пределах — со < х < + со, равна единице (рис. 2.1). Если интегрируют в пределах от —иа до + ыа, то находят только часть этой площади. Тогда внутри этих пределов находятся 100-Р % от бесконечного числа результатов измерения. Для единичного результата величина Р одновременно представляет собой вероятность, с которой вследствие случайной ошибки р отклоняется от истинного значения. Для средней величины х из Пр, параллельных определений разброс результатов составит [c.22]

Рис. V- . Сетка для численного интегрирования функции двух переменных тих.

Таким образом, минимальное время пребывания получается путем интегрирования функции 1/Л (с). В соответствии с рис. 15-22 можно построить диаграмму, изображенную на рис. 15-23. Из диаграммы следует, что реакция, которая в каждой точке элемента процесса идет с максимальной скоростью В (с), в трубчатом реакторе (вытеснения) может быть проведена быстрее, чем в конечном ряду реакторов смешения, на что указывает отсутствие отдельных четырехугольников на рис. 15-23. [c.351]

Пятый способ заключается в графическом интегрировании функций кинетического уравнения. Принимается некоторый правдоподобный механизм реакции и для него составляется кинетическое уравнение. Допустим, что оно имеет вид [c.129]

Для вычисления определенного интеграла численным методом необходимо его представить в виде суммы площадей. Чем меньше интервалы разбиения, тем точнее будет вычислена интегральная сумма. Однако при этом значительно увеличивается объем вычислений. Максимальная точность получается при бесконечном числе отрезков разбиения. Однако на практике приходится ограничиваться конечным разбиением интервала интегрирования функции, заранее допуская некоторую погрешность. [c.208]

Рис. 2.1. Интегрирование функции Гаусса в пределах ц ы-ст.

Вычисление кратного интеграла связано с интегрированием функции нескольких переменных, заданной в некоторой области, ограниченной в обш,ем случае криволинейными поверхностями. Существует большое число методов вычисления кратных интегралов, которые обычно аналогичны методам вычисления однократных интегралов. Так же как и для однократного интеграла, кратный интеграл заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек. Отличие заключается в том, что область интегрирования является совокупностью точек п-мерного пространства, где п — кратность интеграла. Например, при вычислении двойного интеграла областью интегрирования будет часть плоскости, ограниченной пределами интегрирования по двум измерениям. При вычислении кратных интегралов используются те же формулы, что были рассмотрены для однократных интегралов, только примененные по каждой из переменных подынтегральной функции. Разнообразие методов объясняется тем, что по тем или иным соображениям по разным переменным могут быть использованы различные формулы [29]. [c.215]

Площадь теплопередающей поверхности конденсатора можно также определить путем графического интегрирования функции 1/<7 = fiQ), как это было показано ранее (см. рис. 6.1). [c.203]

Важной особенностью преобразования Лапласа является возможность интегрирования функций р (Е) и gi ) по произвольному параметру, не за- [c.215]

Непосредственное интегрирование функций. Интегрирование по частям и подстановкой. [c.150]

Найденные в результате интегрирования функции а ф), а ф), ф), (р ф), у(ф) позволяют вычислить зависимости хв ф), ув Ф) на ударной волне и х ф) на характеристике второго семейства Ьс. Первые определяются интегрированием уравнений (6.5), (6.6) по формулам [c.162]

Большой рост производительности труда достигается при улучшении расстановки кадров, совмещении функций и зон обслуживания. Этот процесс происходит постоянно. Он выражается в интегрировании функций рабочих члены технологических бригад осваивали функции ремонтников, пробоотборщиков, прибористов, работники подсобно-вспомогательного хозяйства овладевали вторыми и третьими профессиями. Результатом такой интеграции функций явилось сокращение численности как технологических рабочих, так и работников подсобно-вспомогательного хозяйства, более полная загрузка и лучшее использование рабочего времени. Особенно большие изменения в улучшении расстановки кадров произошли в связи с внедрением Щекинского и Башкирского экспериментов. [c.236]

Здесь F n)—функция распределения напряженных осцилляторов, и(v) — форма нормированной неискаженной полосы поглощения, а п — переменная интегрирования. Функция распределения F(v) может быть получена путем обратного преобразования выражения (8.2) и представлена в виде распределения молекулярных напряжений типа (8.1). [c.231]

Полученный интеграл не выражается через элементарные функции. Поэтому определение средних значений коэффициента охвата пласта фильтрацией можно осуществить только путем численного интегрирования функции (3). [c.63]

Интегрирование функции Гаусса в пределах оо дает гауссов интеграл ошибок (рис. Д. 182) [c.440]

Интегрирование функции (10.6) дает площадь, находящуюся под кривой нормального распределения. Для единичного отклонения величина этой площади показывает вероятность нахождения его в интервале, соответствующем границам интегрирования. Если интеграл имеет границы от — оо до -1- оо, вероятность равна единице, так как охвачена вся генеральная совокупность. Суживание границ интегрирования вызывает уменьшение площади и тем самым вероятности появления отклонения в данном интервале. [c.139]

На рис. 30 видно, что при одних и тех же границах интегрирования площадь под кривой распределения меньше площади под кривой нормального распределения. Увеличением границ интегрирования /-функции, конечно, можно добиться равенства обеих площадей. Следовательно, при одной и той же надежности Р в случае выборочной совокупности необходимо вместо гр пользоваться другой величиной /р, (/р, > 2р), обычно называемой коэффициентом Стьюдента. С увеличением числа определений коэффициент Стьюдента приближается к 2р и при п ОС совпадает с ним [c.141]

Количество затраченного электричества можно найти путем графического интегрирования функции (20.П). Во многих случаях все же удобнее пользоваться химическими кулонометрами, которые включают в цепь последовательно с электролитической ячейкой. Через кулонометр тогда проходит такое же количество электричества, какое проходит через электролитическую ячейку. Если кулонометр содержит, например, раствор нитрата серебра, на катоде его выделяется серебро, по массе которого с помощью формулы (20.7) вычисляют количество электричества <7 Пользуются также водородно-кислородными кулонометрами, в которых протекает электролиз воды. Смесь водорода и кислорода собирают, измеряют объем ее и с помощью формулы (20.8) вычисляют количество электричества. При этом следуег иметь в виду, что г = 4 и =3 [c.280]

При конденсации бинарной смеси по этому уравнению можно определить состав несконденсированного остатка (г/ ) нри заданной степени конденсации . Решение нравой части уравнения обычно осуществляется методом графического интегрирования функции [c.80]

Менее трудоемок приближенный способ интегрирования функции в, (<) по формуле площади трапеции [17] [c.156]

Решение уравнения (9) при помощи ЭЦВМ дает возможность определить температурное поле в межвалковом зазоре при различных начальных и граничных условиях. В соответствии с разработанным методом после определения температурного поля имеются основания для интегрирования функции диссипации по всей зоне деформации, т. е. [c.100]

Подобным образом можно осуществлять и численное интегрирование. Для интегрирования функции в некоторых пределах можно сначала разбить интервал интегрирования на узкие участки, содержащие малое число точек, проинтегрировать в пределах этих участков и полученные значения сложить. Для интегрирования по трем точкам служит формула [c.492]

В результате интегрирования функции р (г) соответственно от [c.298]

Этот факт позволяет утверждать, что использование автоматического выбора шага эффективно в тех случаях, когда на отрезке интегрирования функция резко изменяет значения (см. раздел 5.6.8.) [c.198]

Средним значением х за время от т, до будет такая величина х , произведение которой на —Т2 равно площади, заключенной между кривой, осью абсцисс и ординатами при и х . Величину же заштрихованной площади дает интегрирование функции X — /(т) в пределах от до х . [c.437]

Возможность выполнения условия (2.181) следует из экстремальной зависимости скорости обратимой экзотермической реакции от температуры (рис. 2.75,с). Интегрирование функции [c.156]

Интегрированием функции распределения для одномерных нормированных (единичных) гауссовых распределений [уравнение (3.3)] в пределах — оо, ,. -I- оо получают площадь Г, заключенную между гауссовой кривой и осью абсцисс [c.50]

Кривая распределения для всех возможных значений Г проходит — как отношение двух квадратов — только в первом квадранте между Г = О и Г = оо (рис. 3.16). Эти кривые обладают обратной симметрией, когда Г заменяется на 1/Р и одновременно /1 заменяется на /2. При интегрировании функции распределения в пределах О. . Рр Гр < оо) получают Р — часть всей площади под кривой. Она соответствует вероятности того, что найденное значение Р = лежит между О и Рр. Эти пределы интегрирования Р Р, /г /2) для Р = О, 95 и Р О, 99 в зависимости от числа степеней свободы /1 и /2 даны в табл. А.5 (с. 246). Интерполяцию отсутствующих значений проводят в области за /1 = 24 и /2 = 120, при этом Г задают как функцию 1// (см. пример [7.1]). [c.61]

Второй этап решения задачи Гамакера — интегрирование функции иа(х) по всему объему тела (2). Физический смысл этой процедуры — сложение взаимодействий каждой молекулы тела (7) с телом (2). Технически это удобно сделать, выделив в окрестности ранее выбранной молекулы тела (7) тонкий плоский слой толщиной дх, большая грань которого параллельна границе тела и имеет площадь, равную единице. Соответственно энергия взаимодействия плоского слоя в теле (7) со всем телом (2) ди, = Ма / У,) и х) ск. [c.618]

Ввиду большого количества инертного газа (напри-мер, N2) массовая скорость считается постоянной по всему слою. После графического интегрирования функции 1/(р — Рм)5о пределах от р = 0,0404 до р = 0,0547 ат при длине слоя 0,0838 м для величины ВЕП1 было получено значение 0,00625 м. [c.259]

Однако указанное обстоятельство можно учесть и в методе, использующем формулу (IV,73). Для этого нужно только при интегрировании системы (IV, 16) от г = 0 до < — одновременно вычислять и запоминать в каждой точке интегрирования функций дfJдxJ и гп функций входящих в систему (IV,37) и в фор- [c.124]

Исходя из такого подхода, можно получить методы Рунге—Кутта. Для зтого Л it, у. Л) аппроксимируется функцией f (f, у) в разных точках отрезка интегрирования. Это позволяет избежать вычисления производных и обойтись лишь вычислением функции f(t, у). Такие методы называются явными методами Рунге-Кутта. Если на каждом шаге интегрирования функция f ( у) вычисляется р раз, то метод называют р-этапным явным методом Рунге-Кутта. Эти методы не требуют вычислений производных f (г, у) высших порядков, что является, как правило, трудоемкой процедурой. При использовании этих ми ЮДов не нужно вычислять дополнительные начальные значения, и существует возможность гибко менять шаг интегрирования. [c.134]

Расчет термодинамических функций на основе канонического рас" пределения, таким образом, состоит в следующем по (III.Ill) рассчи тывают статистический интеграл системы — функцию Z (Т, V, N ,. .. . .., Л/к) по (III. 120) находят свободную энергию Гельмгольца как функцию переменных Т, V, N ,. .., N к, пользуясь термодинамическими соотнопшниями, рассчитывают другие функции [формулы (III.143)—(III.148)]. Для расчета статистического интеграла Z необходимо знать функцию Гамильтона системы. Именно через функцию Гамильтона учитываются молекулярные характеристики системы, особенности движения и взаимодействия частиц. Так как зависимость функции ехр (— HIkT) от координат и импульсов для различных систем, вообще говоря, различна, то различны и результаты интегрирования. Функция Z (Т, V, Л/j,. .., Nk) отражает индивидуальные свойства системы. [c.86]

С учетом введенных упрошений показано, что общее количество вещества, адсорбированное на неоднородной поверхности, может быть определено интегрированием функции [c.49]

В рамках рассматриваемой модели в качестве частиц в статистическом ансамбле выбираются не полимерные молекулы, а мономерные звенья, непрореагировавшие функциональные группы и хи-мическне связи. Каждой частице в статистической сумме большого канонического ансамбля соответствует множитель — ее активность (Zj, Zp и Z ), в которую входят химический потенциал и длина тепловой волны, возникающая при интегрировании функции распределения по импульсам частиц. Фактор ехр —Ец/Т), отвечающий энергетическому вкладу каждой связи, включается в активность z последней. Число различных частиц характеризуется вектором N = jV.3, TVr, N ). Первую его компоненту Л з в случаях, не приво- [c.209]

Кроме того, сплайны могут использоваться При числ ом интегрировании функций. В этом случае значв интеграла J им заменяем приближенным значением , где [c.73]

Реализация указанных задач выполняется при помощи ЭЦВМ. При этом нами разработан и осуществлен следующий общий метод решения математической модели (2)—(5) для ряда конкретных задач получение функции диссипации, решение уравнения энергии с учетом полученного вида функции диссипации, т. е. определение температурного поля в первом и втором приближениях и затем интегрирование функции диссипации (при известном температурном поле) по всему рабочему объему машины с целью определения мощности диссипации ( дисс (1), а затем и мощности привода. В этом случае энергосиловые параметры оборудования определяются с учетом неизо-термичности процессов переработки термопластов. При этом температурное поле позволяет не только корректно решить уравнение теплового и энергетического баланса, но и обеспечивает технологически допустимый уровень переработки. [c.98]

В основе метода FRAME С лежит расчет коэффициентов перекрытия, а не измерение их. Преимущество расчета заключается в его гибкости, поскольку ширину и положение каждой интересуемой области можно изменять без необходимости повторных измерений. Наиболее важным является то, что эталонов не требуется. Коэффициенты расчитываются путем формального интегрирования функции Гаусса, которая модифицирована с тем, чтобы учесть эффекты, обусловленные неполным сбором заряда. Одна рентгеновская линия (кото рую мы будем называть аналитической линией) от каждого элемента сосредоточена в определенной области и используется в расчете по ме- [c.128]

Можно поставить вопрос по-другому каково будет общее количество электронного заряда, или какова вероятность обнаружить частицу в определенном, уже не малом, объеме, налример, в шаровом слое на некотором расстоянии от ядра Для ответа на этот вопрос надо провести интегрирование функции v) p в пределах выбранного объема Это интегрирование можно провести в декартовых координатах, но целесообразно для упрощения задачи в частном случае перейти к другим координатам Например, в случае атома выгодно воспользоваться сферическими координатами В этих координатах положение точки А в пространстве характеризуется расстоянием г этой точки от начала координат (в атоме - атомного ядра), углом <р, отсчитываемым от осиде в плоскости ху до отрезка, проведенного от начала координат в точку, являющуюся проекцией точки А на плоскость ху и, наконец, углом 6 между осью г и прямой, проведенной через точку А и начало координат [c.40]

Функция распределения для располагается в первом квадранте в диапазоне от = О до = оо. Ее вид в сильной степени зависит от числа степеней свободы / (рис. 3.17). Для малого числа степеней свободы кривая резко асим-ь етрична, с ростом / асимметрия уменьшается, а при большом числе степеней свободы получается гауссова кривая с // > 0. Интегрирование функции распределения в пределах от О до (Хр < дает часть Р общей площади под [c.61]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.10 , c.376 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.10 , c.376 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов (1964) -- [ c.10 , c.393 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология