Марковские процессы. Уравнение Фоккера — Планка

Составные марковские процессы 190 Глава 8. Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена 195 [c.3]

Если Al <0, то стационарное решение (8.1.4) гауссово. Действительно, в этом случае с помощью сдвига и изменения масштаба переменной у уравнение (8.1.5) можно свести к (4.3.20) и таким образом прийти к выводу, что стационарный марковский процесс, определяемый линейным уравнением Фоккера — Планка, является процессом Орнштейна — Уленбека. При Лх О стационарного распределения вероятности не существует. [c.196]

Мы ввели уравнение Фоккера — Планка как частный вид основного кинетического уравнения. Однако в основном его используют для приближенного описания произвольного марковского процесса [c.197]

Это — искомое кинетическое уравнение Больцмана. Таким образом, на основании общего уравнения для марковских процессов можно получить частный вид кинетического уравнения. Ранее на основании уравнения Смолуховского было выведено уравнение Фоккера — Планка. Последнее может быть получено и из кинетического уравнения Больцмана путем разложения интегрального оператора уравнения (1.89) по дифференциальным операторам и ограничения лишь дифференциальными операторами до второго порядка. При этом мы получаем явный вид для коэффициентов А и В уравнения Фоккера — [c.25]

Второй путь — использовать систему кинетических уравнений для каждого типа капель, состоящих из определенного числа молекул. Так как обычно даже в маленькой капле достаточно много молекул, размер капли вполне допустимо рассматривать непрерывной изменяющейся переменной марковского процесса и использовать поэтому уравнение Фоккера — Планка. [c.109]

Если эволюция такой системы является марковским процессом (т. е. процессом без памяти ), то она описывается уравнением Фоккера — Планка, которое, в известном смысле, является уравнением непрерывности для плотности мно- [c.6]

Уравнение Фоккера-Планка, определяющее эволюцию плотности вероятности перехода марковского процесса Х имеет вид [c.69]

Континуальный марковский процесс называют диффузион-н ы м, если отличны от нуля только первые два коэффициента Kq. Для диффузионного марковского процесса (1.7.43) сводится к обычному уравнению Фоккера—Планка [c.33]

Если диффузионный марковский процесс многокомпонентный т. е. в каждый момент времени состояние системы описывается целым набором величин xi (i) , уравнение Фоккера—Планка имеет вид [c.34]

Уравнение (3.3.3) однозначно определяет стохастический процесс X ( ), t 0. Это — марковский процесс, и вероятность перехода Р (х, Их , о) (из значения х при в интервал х + йх при I) подчиняется уравнению Фоккера—Планка. [c.86]

В гл. 1, разд. 7 рассмотрены системы стохастических дифференциальных уравнений, в которые линейно входят случайные дельта-коррелированные по времени функции с заданными вероятностными свойствами. Мы отмечали, что решения подобных уравнений Ланжевена определяют некоторый диффузионный марковский процесс, и привели уравнение Фоккера—Планка, отвечающее этому процессу. В отличие от обсуждавшихся нами ранее уравнение (4.4.13) является стохастическим дифференциальным уравнением в частных производных. Тем не менее упомянутые результаты могут быть непосредственно обобщены и на случай таких уравнений . [c.124]

Стохастическое дифференциальное уравнение (4.4.13), (4.4.14) задает диффузионный марковский процесс ц (г, 1), Функционал W ([г (г)], t) для этого процесса, который определяет, какова вероятность тех или иных реализаций поля т](г) в момент 1, подчиняется уравнению Фоккера—Планка [c.124]

ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИИ ПЕРЕНОСА НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА И ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [c.259]

Связь уравнения Фоккера — Планка с основными уравнениями (в частности, с уравнением Паули), которые используются при описании марковских процессов, обсуждается в разделе 6.3. При этом показано, что в том случае, когда плотность переходов является гауссовой величиной, основное кинетическое уравнение сводится к уравнению Фоккера — Планка. [c.260]

Существует, однако, широкий класс марковских процессов, для описания которых уравнение Фоккера — Планка непригодно, и для нахождения функций распределения f %, х) соответствующих макросистем необходимо использовать более общее уравнение [c.306]

Элементы теории марковских процессов. Обобщенное уравнение Фоккера — Планка 275 [c.396]

Все граничные члены обращаются в нуль, так как функция ь у) тождественно равна нулю вне некоторого ограниченного интервала. Прямое уравнение (4.45) следует из выведенного нами соотношения, если учесть, что v y)—произвольная функция. Этб эволюционное уравнение для р у,1 х,8), как и обратное уравнение Колмогорова, линейно по плотности вероятности перехода в отличие от уравнения Колмогорова — Чепмена, из которого выводятся оба этих уравнения. В математической литературе оно получило название прямого уравнения Колмогорова, так как вариация в нем берется относительно будущего состояния у и временного аргумента 1. В физической литературе за ним закрепилось название уравнение Фоккера—Планка (УФП). ОУК и УФП показывают, что марковский диффузионный процесс действительно полностью определяется двумя первыми дифференциальными моментами ОУК и УФП являются дифференциальными уравнениями в частных производных для плотностей вероятностей перехода с коэффициентами, зависящими от дрейфа и диффузии Следовательно, плотность вероятности перехода как решение ОУК или УФП полностью и однозначно определяется двумя первыми дифференциальными моментами при определенных условиях регулярности на / и Именно это удивительное свойство делает понятие диффузионного процесса столь мощным. [c.109]

Выражение (3.2.7) — интегродифференциальное стохастическое уравнение. Благодаря интегральному члену случайный процесс у(Ь) имеет теперь память , т. е. не является марковским. Поэтому (3.2.7) нельзя непосредственно сопоставить уравнение Фоккера—Планка. Однако такое уравнение можно получить для плотности вероятности, сглаженной по временам порядка 1> / у. Можно показать, что для этой функции распределения Р у,1) уравнение Фоккера—Планка примет вид [c.194]

Принцип марковости. Марковские процессы, или, образно говоря, процессы с короткой памятью, описываются в классической физике уравнениями Фоккера Планка (цепи Маркова-системой управляющих или балансных уравнений) /1 3/. В нерелятивистской квантовой механике марковские процессы описываются уравнениями Шредингера /4/. Эти уравнения играют фундаментальную роль в физической кинетике. [c.6]

Все это дает основу для анализа проблем кинетики с общих позиций. Соответствуя принципу сглаживания, метод оказался весьма удобным для решения конкретных кинетических задач. Знакопеременный ряд (3) характеризуется быстрой сходимостью, и для каждого приближения может быть легко получена оценка точности. В большом классе задач оказалось достаточным учитывать первое приближение в (3), и там, где раньше были необходимы компьютерные расчеты, стало возможным получать результаты в аналитическом виде. Заметим также, что в соответствии с принципом иерархии характерных времен каждое приближение в (3), имеет свой временной интервал. И, наконец, в центре анализа находится уравнение Фоккера-Планка (и также балансные уравнения), описывающие марковские процессы. [c.9]

В настоящей главе рассмотрены основы универсального подхода к анализу кинетических уравнений. Строится аппарат, включающий интегральный метод КФР и метод функций Грина, задаются алгоритмы расчетов и находятся конкретные решения. Основным объектом анализа служат уравнение Фоккера-Планка (ФП), описывающее марковские процессы, и система управляющих или балансных уравнений для описания марковских цепей. [c.10]

Кинетическое поведение физической системы, способной быстро забывать предысторию своего развития, описывается уравнением Фоккера-Планка (ФП). В данном разделе представлен вывод уравнения ФП на основе простейших понятий теории случайных марковских процессов /5,7/. [c.13]

Итак, имеется три больших класса марковских процессов для вероятностей, амплитуд вероятностей и процессов со скачками, описываемых соответственно уравнениями Фоккера-Планка, Шредингера и их псевдодифференциальными аналогами. Для первого из них метод КФР детально развит и реализован с целью решения целого ряда физически интересных проблем. Для квантовых [c.281]

Для рассматриваемой здесь фазовой ошибки системы высокого порядка положение усложняется еше из-за нелинейности системы. Ниже будет определен векторный марковский процесс и соответствующее уравнение Фоккера—Планка для системы второго порядка, которая имеет большое значение, и будут приведены соответствующие выводы для системы п-то порядка, которые получаются путем очевидного обобщения. Дифференциальное уравнение для системы фазовой автоподстройки второго порядка (4.1), при передаточной функции фильтра (см. 2.4) вида [c.136]

Из (4.73) следует, что процесс [г/о (О, (01 является векторным (двумерным) марковским. Остается только вычислить коэффициенты (4.65) и подставить их в уравнение Фоккера — Планка (4.64) при п — 2. Рассуждая так же, как и в случае системы первого порядка ( 4.3), получим [c.137]

Допущение (7.10) автоматически включает в себя утверждение, что стохастический процесс, описываемый с помощью д, есть марковский процесс. Это сильное допущение лишь приближенно выполняется во многих приложениях, однако вероятности переходов / /(д д ) обычно имеют прямую физическую интерпретацию в терминах микроскопических величин - сечения столкновений, квантовомеханические матричные элементы. Отметим, что имеются случаи, когда управляющее уравнение (7.12) выполняется, а приближения Ланжевена и Фоккера-Планка не приводят к правильным результатам. [c.176]

В данном разделе будет показано, что уравнения типа Фоккера — Планка могут быть использованы и при изучении гораздо более широкого класса макросистем, а именно макросистем, в которых процессы изменения наблюдаемых величин х, во времени являются марковскими. [c.276]

В предположении, что случайное воздействие (т), вызванное стесненностью движения частиц, представляет собой дельта-коррелированную функцию времени с нулевым средним значением, можно заключить, что для описания случайного движения частицы по радиусу гидроциклона можно использовать математический аппарат простого марковского процесса. Последний может быть характеризован одномерной плотностью вероятности (т, г). Величина Х (т, г), которая по смыслу определяет концентрацию твердых частиц в момент т в сечении г, находится с помощью решения уравнения Колмогорова—Фоккера—Планка [c.168]

Уравнение (2.25) однозначно определяет стохастический процессх(г), f> 0. Это марковский процесс, и вероятность перехода P(x,t xQ, to) (из значения хд при fo в интервал х,х+с/хпри t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка [c.45]

Рассмотрим теперь основные черты этой немарковской приближенной процедуры. Для явного нахождения по крайней мере стационарного решения для приближенного оператора эволюции последний должен обладать определенными свойствами. Наиболее удобным был бы случай, когда этот оператор соответствовал оператору типа Фоккера — Планка, т. е. содержал бы производные первого и второго порядка с неотрицательными коэффициентами при дхх- Это представляется удобным по двум причинам. Во-первых, это гарантирует положительность стационарного решения, которое можно тогда интерпретировать как плотность вероятности. Во-вторых, форма этого оператора известна явно, поскольку она задается также формулой (6.15) с подходящими граничными условиями. Оба этих достоинства в общем случае теряются, если в операторе фигурируют производные третьего и более высоких порядков. В таком случае оказывается невозможным не только гарантировать положительность решения, но и получить его в явном виде. Отметим, что оператор эволюции типа Фоккера — Планка совместим с немарковским характером процесса как это отмечалось Ханги и др. [4.4]. Этот оператор описывает временную эволюцию лишь одновременной плотности вероятностей р(х, а не плотности вероятностей переходов. Как подчеркивалось в гл. 4, это свойство, т. е. то, что р(х, 1) подчиняется уравнению типа Фоккера— Планка, не означает, что процесс обязательно обладает какими-либо марковскими свойствами. В последующем мы будем употреблять названия оператор Фоккера — Планка и уравнение Фоккера — Планка только для диффузионных процессов. Добавление же слова типа ( типа оператора. .. ) мы будем производить при обозначении оператора или уравнения эволю- [c.291]

Изучение структуры зародышей и их взаимодействий приводит к становлению теории кластеров [105, 106]. Широким фронтом ведутся работы по нестационарной и неизотермической теории зародышеобразования, обзор дан в работе [107]. Развиваются статистические подходы на основе математической теории случайных процессов — пуассоновских [108], марковских [109], привод5шщх к описанию зародышеобразования уравнениями типа Фоккера — Планка [107, 108], [c.826]

Следовательно, наблюдаемое в реальных однородных системах образование зародышей можно объяснить только флуктуациями, приводяш ими систему в термодинамически невыгодное состояние. Поэтому для описания кинетики этого процесса приходится использовать либо вероятностные методы теории случайных процессов, либо статистико-механический подход. В классической феноменологической теории пуклеации, ведущей свое начало от работ Гиббса, Беккера, Деринга и изложенной в монографии Я. И. Френкеля [1], рост зародыша рассматривался как случайный марковский процесс. При этом для функции распределения зародышей по размерам было получено кинетическое уравнение типа Фоккера — Планка, обычно именуемое уравнением Беккера [c.147]

Величина характеризует все прочие систематические воздействия на кристаллы данного размера. Чтобы показать правомерность использования уравнения (3.2.7), рассмотрим коллектив кристаллов, каждый из которых может либо увеличиваться в объеме вследствие ларастания его граней, либо оставаться неизменным, либо умень-итаться случайным образом. В таком коллективе укрупнение отдель-лого кристалла можно описывать, принимая, что рост является марковским процессом. Тогда, не учитывая дискретности процесса роста, можно охарактеризовать вероятность со появления кристалла, который увеличил свой объем от У до уравнением Планка — Фоккера [6, с. 95] [c.51]