Интегрирование Эйлера

Тогда решение задачи. может быть определено в методологическом плане как выбор наилучшего метода интегрирования уравнений типа (65). Если предположить, что для начального значения t концентрации компонентов и величины потоков известны, то при использовании метода интегрирования Эйлера [255] получим [c.58]

Алгоритм (3-42) предусматривает возможность проведения расчета для ряда фракций полидисперсного адсорбента, позволяет учесть изменение гидродинамических, тепло- и массообменных характеристик адсорбента и сушильного агента по длине трубы-сушилки. В предлагаемой методике учитывается стесненность движения высушиваемого адсорбента. Проведением сравнительных расчетов показано существенное влияние на расчет таких факторов, как столкновение и соударение твердых частиц, а также трение твердых частиц о стенки сушилки. По предложенному алгоритму составлена программа для ЭЦВМ, работающих с языками АЛГОЛ-бО и ФОРТРАН. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3-3. Программа для ЭЦВМ реализует расчет по методам численного интегрирования Эйлера. Результатом расчета является высота трубы-сушилки Ь, полученная с учетом полей скоростей газа и твердых частиц, полей температуры и влажности твердых частиц и других параметров, изменяющихся по высоте сушилки. [c.127]

При численном интегрировании уравнения Эйлера, представляющего собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка [c.219]

Интегрирование уравнений (VI-41) или (VI-43) аналитически обычно не удается выполнить- Но имеются простые случаи, когда вид экстремалей может быть найден- Это часто удается осуществить без перехода к уравнению Эйлера, как и в приведенных выше численных методах- Все эти методы носят название прямых. [c.216]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

Для интегрирования системы уравнений (IV, 202), — (IV, 207) используется метод Эйлера с постоянным шагом. Величина шага Дх определяется из условия [c.320]

Интегрирование по методу Эйлера заключается в последовательном применении формулы (12—17) к уравнению (12—8), начиная = 1. При наличии начального условия = для [c.353]

При интегрировании по методу Эйлера полагается, что производная по X от Х) до — постоянная величина, что соответствует кусочно-линейному представлению интегральной кривой на отдельных участках интегрирования. Из формулы (12—12) следует, что для получения решения используется ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости по к, поэтому ошибка на каж- [c.353]

Модифицированный метод Эйлера. В отличие от обычного метода Эйлера, когда для вычисления следующей точки интегральной кривой требуется информация только о предыдущей точке, модификация метода заключается в использовании прогноза поведения интегральной кривой в последующих точках. Модифицированный метод основан на усреднении положения концевой точки отрезка, которым заменяется интегральная кривая. Усреднение производится с учетом тангенса угла наклона в некоторой промежуточной точке, например в точке, отстоящей от начальной на половину шага интегрирования. Порядок построения решения в модифицированном методе Эйлера представлен на рис. 54 и заключается в следующем. Проводится касательная через точ-г/г) с тангенсом угла наклона / х , / ) до пересечения с прямой л = XI /г/2 и в точке пересечения вычисляется производная, равная [c.354]

Таким образом, при использовании модифицированного метода Эйлера на каждом шаге интегрирования необходимо иметь информацию о текущей и предшествующей точках. Поэтому этим методом нельзя воспользоваться на первом шаге интегрирования [c.354]

В зависимости от знака величины А один из корней характеристического уравнения (12—28) оказывается по модулю большим единицы. Поэтому при I оо общее решение неоднородного уравнения и, следовательно, модифицированный метод Эйлера является неустойчивым. Так же как и для простой формулы Эйлера, ошибка может быть уменьшена только за счет уменьшения шага интегрирования. [c.358]

Пример 2. Рассмотрим сравнительную оценку различных формул интегрирования на простейшем примере. Пусть в сосуд объемом V, заполненный жидкостью состава Хд, с постоянной скоростью Р подается жидкость состава ис такой же скоростью выводится жидкость из сосуда. Полагая, что жидкость в сосуде идеально перемешивается, найти зависимость концентрации на выходе сосуда, используя формулы Эйлера и Рунге—Кутта. [c.363]

Из сравнения точного и приближенных решений можно заметить, что формула Эйлера на каждом шаге интегрирования дает завышенное значение функции, в то время как видоизмененные формулы Эйлера заниженные формулы Эйлера наименее устойчивы при увеличении шага интегрирования — в них колебательность решения проявляется уже при Я = 7, а формулы Рунге—Кутта — при Я = 15. [c.364]

Для условий, рассмотренных в примере 1, составим программу интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику тарельчатой ректификационной колонны, используя формулы усовершенствованного метода Эйлера — Коши. [c.368]

При течении газа в тесных каналах между элементами насадки существенную роль играют силы вязкости, что приводит к необходимости применения к процессу движения газа в насадке основных уравнений движения вязкой жидкости Навье—Стокса. Однако прямое интегрирование уравнений Навье—Стокса при столь сложных граничных условиях, какие обусловливает насадочная среда, оказывается невозможным. Поэтому запишем для потока газа уравнения Навье—Стокса в форме уравнений гидродинамики Эйлера, но к действительно существующей массовой силе X прибавим фиктивную массовую силу Х , которая учитывает эффект вязкого трения и называется фиктивной силой сопротивления Жуковского [c.407]

Для интегрирования системы уравнений (5.18) использовался простой интегратор Эйлера с корректором Ньютона. [c.271]

Очень важным аспектом метода дифференциальной гомотопии является стратегия выбора размера щага на стадии интегрирования, где единичный тангенциальный вектор и умножается на размер щага 8 для определения начальной точки у (в точке Л" предсказанной методом Эйлера), корректируемой в по- [c.273]

Дискретизация вектора состояния Хх определяется в результате интегрирования (У.192). Для этого можно, например, использовать методы Эйлера или Рунге—Кутта. [c.232]

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

I После интегрирования ( 6.2 ) методом Эйлере что гре- [c.72]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Такой результат интегрирования является следствием применимости к зависимости объема от давления теоремы Эйлера об однородных функциях первого порядка. [c.241]

Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. [c.32]

Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экстремума функционала. Поэтому полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений функции должны быть проверены на экстремум функционала (см. главу V, стр. 213). [c.32]

При выводе уравнения Эйлера (V, 59) отмечалось, что его решение содержит две произвольные постоянные интегрирования, значения которых должны определяться из граничных условий. [c.214]

Возвращаясь снова к задаче нахождения постоянных интегрирования в общем интеграле уравнения Эйлера (V, 68) при граничных условиях (V, 19) и (V, 20), заметим, что условия трансверсальности, записанные для обоих концов экстремали, дают как раз недостающие два соотношения, которые совместно с системой уравнений (V, 71) и позволяют определить совокупность шести неизвестных величин Сь С2, t(° № № и х№. [c.218]

Отличительной особенностью функционала (V, 44) является то, что в его подынтегральное выражение явным образом не входит независимая переменная t, что, как показано ниже (стр. 225), позволяет даже в общем случае найти первый интеграл [2] уравнения Эйлера и тем самым свести задачу к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка. [c.219]

В алгоритме используется метод интегрирования Эйлера с постоянным шагом, выбираемым с учетом условия OV, 208), в котором минимальное значение постоянной времени Tmin определяется как наименьшее среди постоянных времени всех тарелок [c.321]

В программе для интегрирования ЭЙЛЕР мы должны были три раза писать одну и ту же подынтегральную функцию в трех различных местах программы. Вместо этого в программе ЭЙЛЕР2 была использована так называемая подпрограмма-функция. Математическое выражение, описываемое в подпрограмме-функции, может занимать только одну строку. В принципе подпрограммы используются в аналогичных случаях они являются составными частями программы и могут сколько угодно вызываться на различных участках основной программой или другими подпрограммами. Подпрограммами могут быть и завершенные программы. Объем подпрограмм не ограничен одной строкой или одной математической формулой, как оператор DEF FN. Подпрограмма вызывается оператором [c.174]

Уравнения Эйлера выводят как необходим[)1е условия экстремума функционала. Поэтому нолученные интегрированием системы диф-( )е )еициальных уравнений функции должны быть проверешл иа экстремум функционала (см. главу V, стр. 202). [c.31]

Возвра[цаясь снова к задаче нахождения постоянных интегрирования в общем интеграле уравнения Эйлера (У,68) при граничных условиях (У,19) и (У,20), заметим, что условия трансверсальности, записанные для обоих ко1и ов экстремали, дают как ра недостающие два соотношения, которые совместно с системой уравнений (У,71) и позволяют определить совокугтость шести неизвестных величин С,, С и [c.206]

Чтобы можно было воспользоваться соотношением (У,161) для численного интегрирования уравнения (V, 158), необходимо в начале процесса интегрирования знать значения х (/<0)) и х I- А/). Поскольку для уравнения Эйлера (У,133) граничные условия могут быть заданы в различных точках интервала интегрирования (V,135), величина л (/< > Аг ) должна быть задана для начала интегрирования в известной мере произвольно, после чего становится возможным примене1[ие формулы (У,161) для оиределения значения х на другом конце интервала интегрирования, т. е. величины л (/< ) Результат сравнения найденного значения х (/( ) с заданными условиями (V, 135) служит для коррекции первоначально принятого значення Л (/(0) А ). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между рассчитанным X (/( )) и заданным значениями х (/) на конце интервала интегрирования. [c.220]

Таким образом, в результате вычислений определяется некоторая ломаная линия, линейные отрезки которой имеют угол наклона, вычисляемый через производную в соответствующей точке интегральной кривой. Как следует из рис. 53, с ростом к ломаная линия все дальше отходит от истинного решения. Отсюда же из геометрических представлений легко заметить основной недостаток метода Эйлера если, например, кривая решения выпуклая, то ломаная кривая, вычисляемая на каждом шаге, будет отходить от нее вверх, поскольку для вычисления положения последующей точкп используется производная в предыдущей. Очевидно, чем больше кривизна интегральной кривой и шаг интегрирования, тем значительнее это отклонение. Другим неприятным свойством этого метода является также то, что ошибка интегрирования накапливается, т. е. увеличивается с каждым шагом. [c.353]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции. Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппрокси- [c.280]

В случае, если жидкость является идеальной и несжимаемой (р = onst), задача интегрирования уравнении движения (81) сильно упрощается. На это указал впервые еще Эйлер, чье имя носят уравнения движения (81). Аналитические методы решения уравнений движения идеальной жидкости получили большое развитие, и в настоящее время изучено множество случаев обтекания тел (крылья, решетки крыльев, тела осесимметричной формы, всевозможные каналы и т. п.). Из совокупности работ этого направления образовалось важное направление современной механики — классическая гидродинамика. [c.91]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология