Система спиновая собственные значения

Ч (Г1,Г2)= ф1(Г2)ф2(Г1), отвечающая тому же самому собственному значению ) + ег, что и функция 1р(г,, Г2). Из этих двух решений для системы двух электронов необходимо в конечном итоге построить функцию, антисимметричную относительно перестановок символов электронов, т.е. меняющую знак при всех нечетных перестановках, в данном случае при транспозиции Р 2- При этом требование антисимметричности должно выполняться только при учете и спиновых индексов электронов (см. детальнее п. <) 5 гл. II). Обозначив поэтому одноэлектронные функции с учетом спинового множителя, т.е. спин-орбитали, через г1) (г , а,), а всю совокупность пространственных переменных и спинового индекса для каждого электрона одной цифрой (например, (г , 01 = 1), получим выражение для антисимметричного решения [c.255]

Рассмотрим спиновые функции трехэлектронной системы а) покажите, что функция а (1) а (2) а (3) является собственной функцией оператора и и определите соответствующие собственные значения б) используя понижающий оператор = ( 1 Ч- 2- Ч- 3-), получите все (2 +1) собственные функции для 8 = 2, в) определите функции с 5= /2- [c.29]

Спин для каждой частицы определяется спиновым квантовым числом 5, входящим в собственное значение оператора 5 . Он присущ как элементарным, так и составным частицам, например ядрам атомов тех или иных элементов. Обычно число 5 также называют спином частицы для электрона х = 1/2, для протона 5 = 1/2, для дейтрона Н 5 = 1, а, например, для ядра атома бора В спин 5 = 3. (Отметим, что для одной частицы используется, как правило, строчная буква х, для системы частиц - прописная буква 5, тогда как спин ядер обычно обозначается буквой I). [c.136]

Расчет относительных интенсивностей. Ранее мы рассчитали энергии переходов с помощью разностей собственных значений соответствующих спиновых систем на основе правил отбора Дтт = 1. Однако при этом мы не обращали внимания на относительные интенсивности линий, т. е. на относительные вероятности переходов. В случае системы Аг мы хотели бы поступить другим образом. Примем вначале в качестве условия, что в общем случае относительные интенсивности пропорциональны квадрату так называемого момента перехода М между рассматриваемыми собственными состояниями и Он определяется по уравнению (V. 18), в котором используется оператор 1х. Применяя уравнение (V. 18) [c.157]

Сначала обсудим случай, когда относительный химический сдвиг VqO намного превышает константу спин-спинового взаимодействия. При этом параметр С достигает значений (1/2) (vo6) и выражение sin 2 0 приближается к нулю. Однако поскольку sin 2 0 = 2 sin 0 os 0, то либо sin 0, либо os 0 должны быть равны нулю. Далее, поскольку sin 0 + os 0 = 1, то если sin 0 = 0, тогда os 0 = 1. Собственные функции и собственные значения в этом предельном случае, называемом системой АХ, имеют следующий вид [c.162]

В этой таблице базисные функции упорядочены по величине собственного значения От/(Х) оператора / (Х). В результате получаем два набора, каждый из которых состоит из четырех функций. Эти наборы содержат мультипликативные функции АВ-части спиновой системы, идентичные функциям изолированных АВ-систем, введенным ранее. [c.178]

Если сравнить эти выражения с решениями для собственных значений и 3 системы АВ (разд. 4.4), то становится совершенно очевидным, что параметры К и М представляют собой эффективные константы спин-спинового взаимодействия симметричного и антисимметричного подспектров аЬ и что два аЬ-подспектра характеризуются эффективной разностью химических сдвигов Voб = I. [c.193]

Задача расчета спектра обычно состоит в определении собственных значений энергии системы (по данным химическим сдвигам и постоянным спин-спинового взаимодействия), в вычислении резонансных частот пере-А ходов между найденными уров- [c.76]

Два других соотношения получают циклической перестановкой индексов X, у, г. Оператор квадрата спинового момента 8 = (5% + + 51) коммутирует с 5 , и 5 , и его собственное значение равно 5 (5 + 1), где 5 — полный спин системы. Теорию спина можно рассмотреть на основе соотношения (1). Прежде всего полезно ввести операторы сдвига [c.320]

Состояние спиновой системы определяется собственными функциями фц, Фц Фр и т. д. оператора Жц- с собственными значениями энергии а, а , р, р и т. д. Полная волновая функция системы [c.76]

Чтобы определить уровни энергии и частоты переходов в такой системе, необходимо найти собственные значения спин-гамильтониана с базисными спиновыми функциями дву электронов Го=1/1 2 ар + ра . 5=1/К2)ар-ра>. Решение этой задачи не представляет принципиальных трудно стей, но оно громоздко и кропотливо. Здесь будут приведены лишь конечные результаты. [c.224]

Теперь очень легко непосредственно проверить, что если спиновые функции 01 и 0 2 являются спиновыми собственными функциями своих электронных групп с собственными значениями Л11=31 и Л12=52, то произведение этих функций будет спиновой собственной функцией полной системы. Это очевидно для оператора г-компоненты спина, так как [c.89]

Полученные результаты показывают, что рассматриваемый электрон ведет себя как квантовомеханическая система, обладающая только спином, причем ее эффективный магнитный момент зависит от взаимной ориентации поля и оси симметрии исследуемого комплекса. Такая фиктивная система описывается некоторым спиновым гамильтонианом, который содержит только спиновые операторы и некоторые числовые параметры значения этих параметров выбираются из того условия, что собственные значения [c.279]

Вопрос о роли спина в теории многоэлектронных систем не нов, он возник уже в конце 1920-х гг. Суть проблемы состояла в том, что гамильтониан такой системы" (например, молекулы) в нерелятивистском приближении не зависит от ее полного спина (5) и, каза лось бы, его собственные значения (т. е.. значения энергии) также не должны зависеть от 5. Между тем, как мы уже видели на примере молекулы водорода, наблюдаемые в действительности значения энёргии существенно зависят от того, в каком спиновом сбг стоянии находится многоэлектронная система. Это противоречие было формально разрешено в принципе антисимметрии, согласно которому, напоминаем, Ы- электронная волновая функция должна быть антисимч метричной относительно перестановки переменных любой пары электронов. При этом в число переменных, наряду с тремя пространственными, скажем, декартовыми, координатами,. обязательно должны входить спиновые переменные (о) электронов. [c.157]

Подобная же система равенств связывает собственные значения спиновых операторов индивидуальных электронов с собственными значениями полного спина. [c.15]

Определим вид собственных функций оператора для одного электрона. Таких функций существует две а(т]) и Р(т]). Область изменений выбранного переменного ц = состоит только из двух точек т = и т] = — /2. Если электрон находится в состоянии а(т]), проекция его спинового момента s г равна /2 (в единицах /г/2л), а значение т) = = l/g невозможно. Поэтому функция а(т]) имеет вид (l/g) = 1 и (—Va) = 0. По аналогичным соображениям получим (1/2) = О, а Р(—1/2) = 1. Если спин s частицы равен единице, = = 1,0, —1, необходимо ввести три спин-функции a(i]), Р(т)), -f(Ti). Значения этих функций существуют только в точках т) =1, т] =0 и т] = —1. Так, например, функция a(ri) будет иметь вид а(1) = 1, а(0) = 0 и а(—1) =0. Так определяются спин-функции для одной частицы. Если система состоит из нескольких частиц, спин-функцию всей системы 5(ti) можно представить с достаточной точностью в виде произведения спин-функций, составляющих систему частиц [c.19]

Если рассматриваемая система или часть ее состоит из тождественных частиц, например электронов, то на функцию Т накладывается существенное дополнительное условие, определяемое свойствами симметрии такой системы. В этом дополнительном условии важную роль играет спин электрона, т. е. его собственный момент количества движения. Поскольку электронный. спин может иметь две проекции на любую фиксированную в пространстве ось, то для характеристики спина вводится специальная спиновая координата, которая может принимать два значения. Таким образом, волновая функция системы электронов зависит от четырех координат каждого электрона (три пространственных и одна спиновая). Упомянутое дополнительное условие, накладываемое на функцию Ч ", состоит в том, что волновая функция системы электронов должна быть обязательно антисимметрична по отношению к перестановке четырех координат любых двух электронов, т. е. меняет знак при этой операции. Если набор координат А -го электрона обозначить через г ,., — спиновая коор- [c.89]

Однако известно, что свойства симметрии собственных функций в общем случае не определяют численных значений собственных величин, т. е. одних свойств симметрии функций недостаточно для установления последовательности соответствующих значений Еп при заданной ядерной конфигурации системы. Тем более свойств симметрии функций Ч " недостаточно для решения вопроса о том, будет ли значение En[R, RzK-ъ), соответствующее данной функции иметь минимум как функция R, ... Rak-b для каких-либо значений 1, RsK-e, т. е. будет ли электронное состояние системы, определяющееся функцией Ч ", устойчиво при заданных ее свойствах симметрии по отношению к парным перестановкам электронов (что эквивалентно заданию спиновых состояний электронов). [c.105]

Единственность гиббсовского состояния — это один аспект отсутствия фазовых переходов в одномерных системах. Другой его аспект проявляется в вещественной аналитичности давления Р, ограниченного на подходящее подпространство взаимодействий. Мы рассмотрели экспоненциально убывающие взаимодействия и установили аналитичность функции Р, показав, что ехр Р является изолированным собственным значением оператора if (здесь мы использовали идею работы Араки [1] по одномерным квантовым спиновым системам см. Синай [4] и Рюэль [5], приложение В). В параграфе 5.28 была введена дзета-функция для подсчета т-периодических точек, взятых со стандартными для статистической механики весами. Она имеет полюс в точке ехр(—Р ), соответствующей собственному значению ехрР " оператора if. Другие свойства систем с экспоненциально убывающими взаимодействиями будут приведены в упражнениях (в частности. [c.124]

Тот факт, что мы можем наблюдать спектр ядерного ма нитного резонанса с отдельными разрешенными линиями, п называет, что энергия спиновой системы в магнитном поле ква, туется. Совершенно аналогично индивидуальному спину спин вая система как целое может находиться только в определеннь состояниях, называемых стационарными или собственными с стояниями. Энергия этих состояний, или собственные значени определяются взаимодействием между ядрами и внешним ма нитным полем Во, а также спин-спиновым взаимодействием яд( между собой. Каждое состояние характеризуется волновой, ю собственной, функцией Р. [c.144]

Частоты ЯМР-сигналов /р соответствуют разностям энepг стационарных состояний спиновой системы. Расчет этих част( предполагает знание собственных значений Ер и [c.144]

Случай системы Лг и вариационный метод. Теперь мы рведем спин-спиновое взаимодействие между ядрами в качестве дополнительного взаимодействия при этом для расчета собственных значений должен быть использован полный гамильтониан (V. 10). Прежде всего следует определить, не являются ли мультипликативные функции ф —подходящими для описания стационарных состояний, т. е. не являются ли они собственными. [c.153]

В случае 4-броманизола (см. выше) эти изменения инте сивностей проявляются как эффект крыш на линиях I и которого не должно наблюдаться, как показывает рис. V. для чистой системы АА ХХ. Впрочем, ошибка, которая возн кает при использовании формализма АА ХХ, еще невелиь При дальнейшем уменьшении относительного химическо сдвига ошибка быстро возрастает, и в конечном счете л должны будем корректно рассчитывать спиновую систему к систему АА ВВ. В этом случае собственные значения тт(ВЕ уже не являются хорошими квантовыми числами рассмотрен схемы V. 2 показывает, что в ходе анализа такой системы I обходимо решить детерминант четвертого порядка. Поэто прямой анализ системы АА ВВ кажется невозможным. Мо но показать, однако, что четыре неизвестных собственных зна [c.200]

Правдоподобное объяснение этого явления — известного как эксперимент по спин-тиклингу — состоит в том, что в результате возмущения состояния и 3 спиновой системы смешиваются при этом становятся возможными два перехода. Новый переход практически соответствует ранее запрещенному двухквантовому переходу Ец Е. Очевидно, что в таком эксперименте должна проявляться связь между энергетическими переходами. Мы будем различать прогрессивно связанные переходы, в которых три собственных значения энергии изменяются в одном направлении (например, /2 и /3), и регрессивно связанные переходы, в которых собственное значение энергии промежуточного состояния больше или меньше энергии начального и конечного состояний (например, f2, f4 или fз). Начальное и конечное состояния прогрессивно связанной пары линий различаются по значению полного спина на две единицы Ашт = 2. Для регрессивно связанной пары Ашт = 0. [c.312]

Для спектров высшего порядка характерно нарушение биномиального распределения интенсивностей линий в мультиплетах, появление дополнительных (комбинационных) линий и, в общем случае, несоответствие расстояний между двумя линиями константам спин-спинового взаимодействия. В этих условиях определение химических сдвигов и КССВ является не тривиальной задачей и требует привлечения либо расчетных методов, либо дополнительных экспериментов. Расчетные методы основаны на определении полной схемы энергетических уровней для данной системы, которым соответствуют собственные значения квантово-механического гамильтониана. На практике предварительный [c.310]

Волновая механика Шредингера дает точное объяснение орбитального углового момента как в одноэлектронных, так и в многоэлектронных системах, но она не способна объяснить явление электронного спина. При формальном подходе обычно задаются искусственным спиновым оператором и уравнением типа шредингеровского (по аналогии с операторами и уравнениями для орбитального углового момента) и затем налагают некоторые ограничения на собственные значения, чтобы они, насколько это возможно, соответствовали экспериментальным данным. Хотя этот метод весьма прост, он требует, однако, пространных пояснений вместо этого ниже приводится ряд правил, достаточных для изучения таких состояний, в которых обычно заинтересованы химики-органики (т. е. молекулярных состояний низкой мультиплетности) и которые могут быть адекватно представлены произведением волновых функций. Правила достаточны для определения разнип л между функциями различной мультиплетности и содержат меньше неопределенности, чем другие более формальные подходы. Проиллюстрируем их применение на примере хорошо известных нам функций Гейтлера — Лондона и молекулярноорбитальной функции для молекулы водорода. [c.37]

Следует отметить, что волновая функция, полученная при решении уравнений (2.50), являясь собственной функцией спинового оператора с собственным значением 7г (р—я), где р м я — число а- и р-электронов, в то же время описывает смесь различных мультиплетов и не соответствует какому-либо определенному значению полного спина электронной системы, т. е. не является собственной функцией оператора 8 . Для устранения этого недостатка Левдиным [44—46] была предложена процедура, позволяющая выделить из Ч -компоненту нужной мультиплетности с помощью операторов проектирования О [c.56]

В такой системе существуют спиновые состояния с волновыми функциями асс, ар, р , рр Ь рвый индекс обозначает спин электрона, второй — срин ядра они соответствуют ориентации спинов вдоль и против поля). Энергии этих состояний являются собственными значениями гамильтониана [c.18]

В общем случае многоэлектронной системы формулы (3.6.6) дают удобный способ построения всех 25+1 спиновых собственных функций данного семейства с фиксированным 5 и М, равным 5, 5—1,.... .., —5 по известной одной такой функции. Так, например, мы можем сосредоточить все внимание на функции 0sлi при М=8. В случае необходимости все другие спиновые функции 0 можно получить из этой функции путем повторного действия оператора З . Практически, однако, этого не нужно делать, так как обычно достаточно рассматривать только функцию с каким-либо одним М, поскольку для бесспинового гамильтониана функции с разными М имеют одну и ту же энергию (для них одинаковы средние значения любого другого бесспинового оператора). В то же время для матричных элементов спиновозависимых операторов существует другой, более простой способ рассмотрения (см. гл. 8). Таким образом. [c.86]

Вариационный метод с приближенной или пробной функцие приводит, таким образом, к двум значениям энергии, одно и которых соответствует дестабилизации, а другое — стабилиза ции системы. Тот факт, что два ядра с одинаковыми частотам взаимодействуют между собой посредством спин-спиновой связк приводит к расщеплению энергетических уровней ег и ез, кото рые в случае / = О к уа—ув оказывались вырожденными (с разд. 4.2). Мы можем утверждать без доказательства, что при ближение вариационного метода достаточно точно, так что по лученные энергии ег и бз являются истинными значениями В и Еъ. Следовательно, диаграмма энергетических уровней в сл> чае системы Аг имеет форму, показанную на рис. V. 2. Собст венные значения ] и Е,,, равные уд+(1/4)/ и —уд+(1/4) соответственно, получаются при подстановке соответствующи мультипликативных функций аа и рр в уравнение (V. 2), та1 как эти функции являются собственными. [c.156]

В отличие от обычного выражения (V. 10) резонансные ча стоты г-х ядер фиксированы относительно частоты поля В Сумма Е (у/211)г В х (О описывает взаимодействие поля Вз с( спиновой системой, которое приводит к смешиванию собствен ных состояний, имеющих различные значения суммарного спи на. По порядку величины это взаимодействие сравнимо со спин спиновым взаимодействием, и поэтому оно входит в операто Гамильтона в отличие от слабого поля В. [c.304]

Эксперименты по магнитному резонансу нечувствительны к когерентностям высокого порядка, в которые вовлечены более двух собственных состояний, так что достаточно рассмотреть только когерентности между парами состояний. Порядком когерентности называется разность магнитных квантовых чисел ДЛ/ = рм. В системе, состоящей из N связанных спинов со спиновым квантовым числом /, порядок когерентности может принимать значения -N(21+ 1),. .., +N(21 + 1). Мы будем различать нульквантовую когерентность (prs = 0), одноквантовую когерентность (prs = 1), которая соответствует наблюдаемой поперечной намагниченности Или одноквантовым комбинационным линиям, и в общем случае P-квантовую когерентность. [c.67]

Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие, то функция будет собственной функцией операторов проекции и квадрата полного спинового момента. Иначе говоря, проекция и квадрат полного спинового момента являются интегралами движения системы электронов. Значения этих величин лежат в основе классификации многоэлектронных состояний молекул — молекулярных термов. [c.28]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология