Уравнения эволюции

Если рассматривать случаи (весьма частые в природе), что х (г) есть марковский процесс, то уравнением эволюции будет управляющее уравнение, имеющее общую форму [c.38]

Первое свойство состоит в том, что этот частный вид можно использовать для доказательства приближения к равновесию в разреженном газе, описываемом кинетическим уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана нелинейно, и для доказательства того, что его решения стремятся к равновесным, нужна иная техника. Эта техника основана на выборе Н в виде (5.5.6) другие выпуклые функции в этом случае использовать нельзя . Между прочим, фав-нение Больцмана не является основным кинетическим уравнением для плотности вероятности, а является уравнением эволюции для функции распределения частицы в одночастичном шестимерном фа.зовом пространстве ( и-пространстве ). Однако линеаризованное уравнение Больцмана имеет ту же структуру, что и основное кинетическое уравнение (ср. с. П.5). [c.118]

Приближенного уравнения эволюции тройного коррелятора G(0,t) = [c.13]

Если число частиц дисперсной фазы в индивидуальных реализациях ансамбля со временем не меняется, то уравнение эволюции /У-частичной функции можно записать в виде уравнения сохранения плотности изображающих точек в Л, которое аналогично известному из статистической физики уравнению Лиувилля [c.14]

Главной причиной нелинейных гидродинамических эффектов является взаимодействие возмущений с основным течением. Это способствует появлению вихрей вдоль оси г, вследствие чего течение становится трехмерным. Основные уравнения эволюции завихренности гидродинамических нолей имеют вид [c.54]

Здесь ) — проективный оператор — возмущенная часть оператора Лиувилля, Ь = />о + 1 где — невозмущенная часть этого оператора. Ядро к — чисто детерминистическая динамическая величина, так как оно получено прямым применением проективного оператора к оператору Лиувилля. Уравнение (2.3.5) выведено для специально выбранных начальных условий, а именно при некотором времени С = О матрица плотности диагональна. Такое начальное условие, которое обычно называется допущением начальных случайных фаз, включает в себя утверждение, что фазовые корреляции в момент времени С = О отсутствуют. Если же задать более общие начальные условия, то кинетическое уравнение эволюции элементов матрицы плотности (а также плотности в фазовом пространстве или ее фурье-разложения) не моя ет быть записано в форме (2.3.5). Вероятностный аспект входит в уравнение (2.3.5) только через это начальное условие случайных фаз при некотором времени С = 0. [c.41]

Уравнение вида (3.5.1) при соответствующем изменении наименований входящих в него величин тождественно уравнениям эволюции в различных ситуациях лазерной физики, динамики популяций (или даже Социологии). При исследовании поведения системы, определяемого уравнением (3.5.1), будем предполагать, что оно удовлетворяет требованию структурной устойчивости. Под этим понимается, что малые изменения правой части (3.5.1), вызванные, например, вариацией 6А, параметра X, приводят к решениям, остающимся вблизи решений исходной системы. Нарушение этого требования приводит к образованию новой структуры. Ввиду сложности нелинейной части [c.96]

Сравним это решение с решением макроскопического уравнения эволюции для схемы реакций (3.5.11) [c.101]

Мы видим, что центральная предельная теорема применима только в первых двух случаях, однако не в точке бифуркации. Детерминистическое же уравнение эволюции имеет смысл и в этой точке. Причина этого в том, что уравнение для средних значений, полученное из [c.104]

Это предположение о точном резонансе между инжектируемым полем и резонатором и между этим полем и атомами обеспечивает отсутствие каких-либо дисперсионных эффектов. Используя обычные приближения одномодовой лазерной модели, можно -адиабатически исключить атомные переменные и получить систему уравнений лишь для полного поля в резонаторе (для его амплитуды и фазы). Эта процедура справедлива для добротного резонатора при этом предполагается, что некогерентный распад атомов происходит намного быстрее, чем затухание поля в пустом резонаторе. При этом условии атомы почти мгновенно подстраиваются под поле (атомы подчиняются полю [7.13]) и система описывается лишь переменными поля в резонаторе. Уравнение эволюции для амплитуды поля X задается в виде [7.19] [c.233]

Переходя к пределу е- 0 и исключая У из (7.45), получаем окончательно уравнение эволюции X в форме (7.40) [c.240]

Теперь, исходя из (9.11, 12), мы выведем уравнение эволюции для этой функции. Для этой цели удобно определить следую- [c.329]

Даже если упростить задачу и пренебречь пространственными корреляциями, уравнение эволюции одноточечной функции плотности вероятности (13.17) не так просто решить, используя современные компьютеры. Проблема решения уравнения (13.17) связана с его высокой размерностью. В то время как в уравнениях Навье-Стокса независимыми переменными являются только время и пространственные координаты, в уравнении эволюции функции плотности вероятности (13.17) независимыми переменными являются все скалярные величины и все компоненты скорости. Таким образом, трудности решения системы уравнений Навье-Стокса будут значительно возрастать, когда нужно будет решать ее с добавлением уравнений переноса функции плотности вероятности. [c.234]

Укажем еще одно критическое замечание по поводу рассматриваемого принципа. В то время как энтропия и свободная энергия в термодинамике известны априори, т. е. до рассмотрения неравновесного процесса, функцию Р = РР или Р = —можно найти, только зная уравнения движения (12) или (13). Если же известны уравнения эволюции, то решить вопрос об устойчивости того или иного стационарного состояния можно, применяя обычные методы теории устойчивости движения, анализируя уравнения, а не обращаться к Р. [c.321]

Основное уравнение эволюции ОТ 55 [c.55]

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ОТ [c.55]

Из ОСНОВНОГО уравнения эволюции (21) и условия (22), приняв во внимание монотонно возрастающий характер соответствующих функций, можно получить новое требование [c.57]

Как видим, для построения какого-либо конкретного эволюционного ряда требуется знать скачки удовлетворяющие требованию (22). Но это требование, подобно основному уравнению эволюции (21), отличается слишком большой общностью. Конкретизировать и определить числом скачок б 1э, как и абсолютное значение N1, мы еще не научились. Поэтому принцип минимальности придется далее расшифровать так, чтобы им можно было пользоваться на практике без знания разности 6N э. [c.57]

Как уже говорилось в главе I, в зависимости от того, содержат организмы ординарный илп двойной набор хромосом, правила, по которым определяется генотип потомка, будут резко отличаться. У гаплоидных организмов (с ординарным набором хромосом), как правило, отсутствует половое размножение, организмы размножаются делением, почкованием, спорообразованием и, вследствие этого, могут производить только себе подобных (если исключить случай мутаций). Гаплоидами являются бактерии, водоросли, дрожжи, грибы. Если x (i, т) — численность генотипа возраста т, то уравнения эволюции [c.41]

Полиаллельный аутосомный ген — уравнения эволюции [c.44]

Пусть теперь скрещивание снова определяется формулами (7.1), но плодовитость аддитивна, т. е. функции рождаемости представимы в виде (7.4). Тогда, повторяя те же операции, что и в предыдущем случае, мы получим следующие уравнения эволюции для величин ( ( ) [c.46]

Полученные здесь уравнения эволюции, представляющие собой нелинейные интегральные уравнения, весьма трудны для исследования и мало похожи на широко известные уравнения популяционной генетики Фишера — Холдена — Райта. Поэтому возникает естественный вопрос при каких условиях этп уравнения будут переходить в классические Какие еще типы уравнений, кроме классических, можно получить [c.47]

Уравнения эволюции при специальном выборе демографических функций. I. Глобальная панмиксия, мультипликативная плодовитость [c.47]

Еще одна проблема чрезвычайно усложняет решение и без того сложной системы множества уравнений кинетики коагуляции с переменными коэффициентами 5,у. Это оседание частиц (флокул). Его роль становится тем сильнее, чем дальше заходит процесс коагуляции и чем шире становится спектр размеров флокул за счет увеличения количества ьфупных флокул. Их скорость оседания и заметно больше, чем скорость оседания мелких флокул. Различие в скоростях оседания разных флокул приводит к тому, что гранулометрический состав взвеси меняется не только во времени, но и по высоте к столба коагулирующей взвеси (см. подраздел 3.8). Следует отметить, что уравнение оседания полидисперсной взвеси даже без коагуляции не может быть решено аналитическими методами. Тем более это относится ко всей системе уравнений эволюции взвеси, включающей в себя уравнения коагуляции, уравнения оседания и уравнения материального баланса (сохранения) для всех фракций. Уравнения сохранения выражают тот [c.704]

Совокупность систем, для которых можно ввести непрерывную функцию р , составляет статистический ансамбль. Отдельную систему ансамбля называют его индивидуальной реализацией. Функция р представляет собой многочастичную плотность вероятности, т. е. Pf dA dA ...-dA есть вероятность того, что в заданный момент времени первая частица находится в физически бесконечно малом объеме <М, вторая — в с1А2 и так далее. Эту функцию называют Ж-частичной функцией распределения. Она определяет ансамбль частиц в целом. С помощью 7У-частичной функции осуществляется полное статистико-вероятностное описание ансамбля, состоящего из М частиц. Если число частиц дисперсной фазы в индивидуальных реализациях ансамбля со временем не меняется, то уравнение эволюции Л -частичной функции можно записать в виде уравнения сохранения плотности изображающих точек в А, которое аналогично известному из статистической физики уравнению Лиувилля [c.672]

Пусть — функция состояния микроканоническо-го ансамбля, или пакета, частиц — характеризует значение контролируемых параметров, изменяющихся при перемешивании. Переход к микроканоническому ансамблю частиц приводит к потере информации о макромасштабных флуктуациях функции состояния Изменение функции состояния во времени описывается дифференциально-разностным уравнением эволюции динамической системы, которое представляет собой модифицированное уравнение Колмогорова [109], записанное для независимой переменной (цвет, плотность, влажность) в дискретной форме. Если в аппарате содержится / компонентов, а его объем разделен на М пакетов из к частиц, то функция состояния И(г,],п) соответствует числу у(У [0> ]) частиц г-го компонента (ге О,/]), находящихся в л-м пакете (пе 0,Л/ ). Перемешивание представляет собой обмен частицами между соседними пакетами. Тогда уравнение эволюции системы имеет вид [79] [c.694]

Однако в этих уравнениях эволюция функции распределения частиц по свойствам не рассматривалась, хотя учет полидисперсности при сжигании распыленного топлива позволяет прогнозировать различные ситуации при констру1фовании и проектировании различного эффективного технологического оборудования. [c.446]

Уравнения (16,1.3.9) в общем случае, когда меняется во времени недосыщение, недостаточно для описания процесса растворения. Необходимо учесть также баланс целевого вещества в растворе, т. е. уравнение эволюции для недосыщения. Оно имеет следующий вид [c.448]

Исследование уравнений эволюции функции планформы (4.3), полученных путем разложения по малым амплитудам (ср. ранее упомянутые работы [95-100, 108]), позволило Дженкинсу и Проктору [123] найти критическое значение параметра С, при котором происходит переход от валов к квадратам. Оно зависит от отношения толщины пластин к толщине слоя жидкости и от Р. При очень малых Р (например, характерных для ртути Р = 0,025) критическое ( очень мало и квадраты возможны, лишь если пластины являются практически идеальными теплоизоляторами. Если Р велико, то квадраты возникают даже при сравнимых теплопроводностях пластин и жидкости. [c.78]

Хотя условия неточной калибровки (3.15.10) являются основой развиваемой здесь теории, тот факт, что уравнения эволюции являются калибровочно-инвариантными, позволяет использовать любую калибровку, удобную для их анализа. Если мы наложим псевдолоренцево калибровочное условие [c.84]

Хорошо известно, что большинство опухолевых клеток несут антигены, которые опознаются иммунной системой как чужие. Иммунный ответ на эти антигены осуп] ествляется через иммунные клетки, такие, как Т-лимфоциты. В этой реакции могут принимать участие и другие, не относящиеся непосредственно к иммунной системе клетки (например, макрофаги или клетки-убийцы). Подобные клетки проникают в опухоль и развивают в ней цитотоксическую ) активность, направленную против опухолевых клеток. Динамика этого процесса в целом чрезвычайно сложна и здесь не будет рассматриваться (более детальное обсуждение см. в [7.29, 30, 32 ) ). Мы сконцентрируем внимание на ситуациях, когда иммунную систему можно рассматривать как квазистационарную на больших временных интервалах, значительно превышающих среднее время между последовательными актами размножения опухолевых клеток. Тогда имеет смысл представить цитотоксические реакции между цитотокси-ческими клетками, проникшими в опухоль, и опухолевыми клетками в виде двухступенчатого процесса типа (7.41). Популяция цитотоксических клеток обозначается через У (хищники), X— это популяция-мишень опухолевых клеток (жертвы), Z — численность комплексов, образованных присоединением V к X. Процесс цитолиза (7.41) может быть точно описан уравнениями эволюции (7.42, 43). В табл. 7.1 приведены характерные значения констант = также соответствующие [c.243]

До сих пор мы занимались выводом уравнения эволюции совместной плотности вероятности переходов p(x,i,t л о,/о, 0) для парного процесса. Конечно, прямые уравнения Колмогорова (9.11, 12) справедливы также для безусловной совместной вероятности p(Xyiyt)y как это легко видеть, проинтегрировав по начальным условиям. Однако мы интересуемся в действительности не совместной вероятностью для переменной состояния и флуктуирующего параметра, а плотностью вероятности одной переменной состояния Xt, т. е. функцией p(x,t). Очевидно, [c.329]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология