Тензоры деформаций малых

Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми (см. п. 4) и потому в выражении (245) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определяется выражением [c.160]

Для того чтобы иметь возможность применять его к тем или иным конкрет-. ным случаям, необходимо иметь выражение для -F как функции от тензора деформации. Для малых деформаций это выражение легко получить, разложив свободную энергию в ряд по степеням б,. . [c.166]

Упругие свойства среды характеризуются модулями упругости, связывающими компоненты тензоров напряжений ст,у и деформаций. Малая частица среды рассматривается как термодинамическая система с макроскопически однородным по объему распределением средних значений физических величин. Процесс деформирования считается достаточно медленным, так что в каждый момент времени успевает установиться состояние термодинамического равновесия. В этом слз ае его можно считать обратимым и [c.29]

Значения щести компоиент малой деформации в принятой системе координат зависят от изменения формы рассматриваемой частицы тела, а также от ориентации этой частицы относительно координатных осей. Три компоненты тензора деформации, называемые главными, не зависят от принятой системы координат. Их обозначают через еь ег и ез, причем 81 82 63. Разности 71 = 62—63, У2 = 63-61, Уз = 61—62 называются главными сдвигами. Главные деформации, а также инварианты тензора деформации не зависят от координатной системы. [c.24]

Чаще всего пластмассовые конструкции работают под воздействием нагрузок, которые в известном приближении можно считать постоянными. В качестве примеров укажем на различного типа напорные трубопроводы, фитинги, товарные емкости, колонные аппараты, подверженные внутреннему постоянному давлению, теплообменники, днища и фланцы напорных емкостей, различные кронштейны и т. д. Под действием постоянной нагрузки развивается ползучесть. Если возникающие при этом деформации малы, например при хрупком разрушении, то значения компонент тензора напряжений допустимо считать постоянными. Поэтому испытания при постоянном напряжении широко применяются. [c.51]

В обобщенной теории деформаций рассматривается отношение расстояния между двумя точками в деформированном состоянии к расстоянию между теми же точками до деформации. Такое рассмотрение,. соответствующим образом представленное, приводит к понятию о тензоре деформаций с шестью независимыми компонентами, переходящему в выражения, данные в разделе 2.4.2 для малых деформаций. [c.35]

В теории малых деформаций компоненты тензора напряжения деформируемого тела определяются из рассмотрения равновесия элементарного объема, выделенного в теле. Когда деформации малы, размеры тела в первом приближении не изменяются вследствие деформации. Таким образом, несущественно, относятся ли компоненты напряжения к элементарному объему в деформированном или в недеформированном теле. Для конечных деформаций это уже не так. Ниже отдается предпочтение определению компонент тензора напряжения по отношению к равновесию элемента объема в деформированном теле, т. е. будут рассматриваться компоненты напряжения в точке, координаты которой в недеформированном состоянии X, у, Z, а после деформации х = х и, у = у -j- V, z = Z V. Чтобы отличить определенные таким образом компоненты напряжения от рассмотренных выше для случая малых деформаций, будут использоваться обозначения Охх, уу и Т. Д. вместо а , а у и т. д. [c.40]

Выше [см. формулу (1.17)1 выражение для изменения объема уу было получено через инварианты тензора больших деформаций. Если деформации малы, то это выражение можно упростить, поскольку квадратичные и кубичные члены в этом случае будут существенно меньше единицы. Поэтому [c.35]

Напряжения как функционал истории деформирования. Вязкоупругий характер реакции среды на внешнее воздействие означает, что напряжения, действующие в малой окрестности некоторой точки среды в данный момент времени, зависят от предыстории деформации соответствующего элементарного объема. Поэтому напряжения Щ1, отнесенные к конвективной (перемещающейся) системе координат X , связанной с данной точкой, в общем случае выражаются как функционал / тензора деформации y , зависящего от времени t [c.104]

Другой способ обобщения интегрального реологического уравнения состояния наследственного типа заключается в использовании различных мер деформации. Этот подход основан на том, что в предельном случае, отвечающем равновесным условиям деформирования, напряжения зависят от тензоров деформации различного строения (см. раздел 6), а в переходных, неустановившихся режимах деформации временные эффекты зависят от вида релаксационной функции, которая может быть определена, исходя из измерений при малых деформациях. [c.106]

Для получения зависимости между тензором деформации и вектором перемещений рассмотрим элементарный параллелепипед, содержащий точку, деформирование окрестности которой изучается. Для малых деформаций связь компонентов тензора деформации с компонентами векторов перемещения записывают в виде уравнений Коши [c.38]

Соотношение (5.7) совпадает с обычным определением тензора деформаций сплошной среды (4.37). При малых деформациях (а линейном приближении) выражение (5.7) переходит в (4.38). Это вполне естественное совпадение поясняет геометрический смысл ИН варианта / (т, п) в длинноволновом пределе. [c.113]

Рассмотрим теперь деформации кристалла, близкие к однородным, когда инвариант I (т, п) непосредственно выражается через тензор деформаций по формуле (5.6). В пределе однородных деформаций все элементы тензора е, являются независимыми. И если мы условимся считать основным механическим состоянием кристалла его недеформированное состояние (все е,/ = 0), то при малых деформациях упругая энергия должна содержать лишь квадратичные по 1к слагаемые. Следовательно, первое слагаемое в (5.8) не дает вклада в упругую энергию однородно деформированного кристалла. Подставим (5.6) в это слагаемое и убедимся, что линейные по однородным деформациям члены в V выпадут, если коэффициенты К (т, п) подчинены еще одному условию [c.114]

Вернемся к формуле (16.18) и обратим внимание на неожиданную зависимость Uy от г вдали от дислокации Uy со Ь п г. Эта зависимость вполне естественна, если рассматривать смещение как потенциал поля деформаций (или напряжений), созданного прямолинейным источником. Однако вектор и имеет простой физический смысл в кристалле с изолированной дислокацией он определяет смещение атома в дислоцированной кристаллической решетке относительно равновесного положения в той же решетке без дислокации. Таким образом, оказывается, что смещения атомов, предельно удаленных от оси прямолинейной дислокации, логарифмически растут с размером кристалла. Хотя относительные смещения соседних атомов (величины которых даются тензором деформаций, пропорциональным 1/г), исчезающе малы при г оо, подобное поведение вектора смещений на больших расстояниях от дислокации вынуждает нас по-новому подойти к понятию кристаллического порядка в дислоцированной решетке. [c.267]

В случае малых деформаций тензор деформации определяется выражением [c.15]

Компоненты тензора деформации вхх и вуу для малой деформации представляют собой относительные изменения линейных размеров вдоль соответствующих осей, поэтому выражение (1.7) сводится к [c.12]

Поскольку матрицы Ртп и Qmn В общем случае представляют собой интегральные операторы, то и эффективные матрицы и также не будут постоянными. Учет этого обстоятельства позволяет развить теорию, в которой средние напряжения представляются в виде разложения в ряд по различным степеням производных от тензора деформаций. Соответствующая теория получила название моментной. Однако для случая, когда неоднородность усредненного упругого поля на расстояниях порядка масштаба корреляций пренебрежимо мала, вторые слагаемые в выражениях (VI. 68) и (VI. 69) будут постоянными, а матрицы и 5 — [c.319]

Деформированное состояние в некоторой точке среды характеризуется симметричным тензором деформации с компонентами Ex, Еу Ez, Yyz 2 bie деформации (деформацию образца с начальной длиной /о называют малой, [c.12]

Теория позволяет предсказать зависимость релаксации напряжения от начального удлинения ах по крайней мере в области малых удлинений. При расчетах следует принять, что релаксационные функции цх и Л2 зависят как от деформации, так и от времени. Таким образом, правильно установленные Ц] и хз должны быть функциями времени и инвариантов некоторого тензора деформации, например В пределах бесконечно малых деформаций х х и [Ха— функции только времени. Это означает, что зависимость релаксационных функций от инвариантов С можно представить в виде степенного разложения. [c.137]

Тензор с компонентами 6ij называется тензором малых деформаций Коши. [c.8]

При малых сдвиговых деформациях (5<1)ац—022 0 и имеется,только одна классическая компонента тензора напряжения простого сдвига 021- Наличие ненулевой разности нормальных напряжений при большом сдвиге приводит к проявлению практически важного эффекта Вейссенберга (рис. 1.10), который используется в известной конструкции дискового экструдера [6]. [c.27]

Информация о вязкоупругих свойствах эластомеров может быть получена также при растяжении образцов. Данные измерений релаксации напряжения при растяжении длительное время используются исследователями для характеристики свойств эластомеров в зависимости от их состава и структуры. При малых деформациях (до К=, 1 или 8=10%) поле тензора напряжений в образце (имеются только нормальные компоненты тензоров) определяется в следующем виде [c.59]

Уравнения движения вязкой жидкости можно применять и к многокомпонентным смесям до тех пор, пока массовые силы действуют одинаково на все компоненты смеси. Такой силой, например, является сила тяжести. Электрическая сила может действовать избирательно на некоторые компоненты, например, на электролит, смешанный с электрически нейтральной жидкостью. Основная причина этого факта состоит в том, что феноменологическое уравнение вязкой жидкости (4.13), определяющее вид тензора напряжений, не зависит от градиентов концентраций компонент. Поскольку уравнение (4.13) тензорное, в которое входят тензоры второго ранга, то если бы такая зависимость и существовала, то только от Vp, Vpy, так как эта комбинация является тензором второго ранга. Однако члены Vp, Vpy имеют второй порядок малости по сравнению с тензором скоростей деформации. Напомним, что закон (4.13) справедлив для малых скоростей деформаций. Следовательно, в этом приближении тензор напряжений не зависит от градиентов концентраций. [c.62]

Будем считать недеформированным состояние тела при отсутствии внешних сил при некоторой заданной температуре ТЕсли тело находится при температуре Т, отличной от То, то даже при отсутствии внешних сил оно будет, вообще говоря, деформировано в связи с наличием теплового расширения. Поэтому в разложение свободной энергии Р (Т) будут входить не только квадратичные, но и линейные по тензору деформации члены. Из компонент тензора 8/ можно составить всего только одну линейную скалярную величину — сумму ец его диагональных компонент. Далее мы будем предполагать, что сопровождающее деформацию изменение Т — Тд температуры мало. Тогда можно считать, что коэффициент при гц в разложении Р (Т) (который должен обращаться в нуль при Т = = Тд) просто пропорционален разности Т — Тд. Таким образом, получим для свободной энергии следующую формулу [заменяющую (270)] [c.167]

Деформированное состояние в некоторой точке среды характеризуется симметричным тензором деформации [107] Те = 8гз1 . В случае малой деформации [деформацию образца с начальной и текущей длинами /о и I называют малой, если (/—/о)//о ( — о)Д] [c.24]

Для установления связи между диэлектрической проницаемостью среды и механическими характеристиками будем исходить из уравнения (4.3). При этом, так же как и для изотропных материалов, будем считать деформации малыми и при неизменном направлении тензора напряжений 0, главные направления тензора деформаций б, также неизменны и совпадают с ак. Исходя из закона Гука [146, с. 22] связь между напряжениями и деформациями устанавливается по следующей зависимости [c.189]

Закон Гука. Для малых деформаций установлено, что тензор деформации является линейной функцией тензора напряжений. Эту связь между двумя тензорами второго ранга выражает закон Гука, который гласит, что деформация упругого тела пропорциональна приложенным к нему силам. [c.62]

Для простоты рассмотрим случай одноосного нематического порядка и деформации в несжимаемой среде, причем описа-Н11.е ведется в лабораторной снстеме отсчета. Тензор параметра порядка тензор деформации являются одноосными и бес-слеловым , н поэтому каждый из них характеризуется только одн Ш числом, которое в первом случае представляет собой параметр порядка 5, а во втором случае — деформацию е (е= = е-г) вдоль оси 2. Малые степени растяжения X, характеризующие отношение новых линейных размеров к старым, связаны с деформацией соотношением = —1 (рис. 2.8). [c.43]

Поскольку мы рассматриваем только бесконечно малые дв формации, членами высших порядков в разложении пренебрв гаем. Так как эти деформации связаны с изменениями ориентации директора, то л ,, вполне уместно назвать тензором деформации искривления (см. [3]). Чтобы определить компоненты этого тензора, выберем локальную правую декартову систему координат, причем так, чтобы вектор п был параллелен оси г в начале координат. Тогда компоненты деформации будут следующие [c.122]

П2.1. Напряженно-деформированное состояние в некоторой точке тела описывается симметричными второго ранга тензорами напряжений с компонентами Зу и деформаций с компонентами е . Для каждого симметричного тензора второго ранга можно выбрать оси координат таким образом, чтобы все составляющие с различающимися индексами г Фу обращались в нуль. Такие оси координат называются главными. В результате приведения тензора напряжений (деформаций) к главным осям ненулевыми остаются только диагональные компоненты Стц, СТ22, СГ33 ( ц, 22, зз) соответствующих тензоров. Обычно эти компоненты нумеруются в порядке убывания Ст1 > Ст2 Стз (8] > 82 > 83). Если около рассматриваемой точки тела выделить бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с гранями, перпендикулярными главным осям тензора напряжений, то на него будут действовать только нормальные напряжения Ст1, Ст2, СТ3. Прямоугольный параллелепипед с гранями, перпендикулярными главным осям тензора деформаций, удлиняется (укорачивается) в направлениях главных осей в отношениях [c.20]

В работе [140] показано заметное различие кривых усталости металлов при одноосном напряженном состоянии и кручении. Мало цикловая долговечность при знакопеременном кручении, выраженная через амплитуду эквивалентной пластической деформации, в несколько раз (более двух) больше, чем при одноосном напряженном состоянии. Различие циклической повреждаемости металла при разных видах циклической деформации видимо связано с тем, что предельная пластичность зависит от степени объемности (жесткости) напряженного состояния, характеризуемого отношением шарового тензора к девиато- [c.32]

Уиомяпем полезную для дальнейшего формулу Чег.аро, которая связывает компоненты вектора перемещений с комиоиептамп тензора малых деформаций [c.9]

Уравнение (2.27) совпадает по форме с уравнением для малых смещений, наложенных на большие упругие деформации. Отличие состоит в том, что тензоры упругой жесткости Су и напряжений Ту являются фунмщями не только упругих, но и пластических деформаций. [c.37]

Выражения компонентов тензора конечной деформации включают слагаемые duldyY, ди дуУ, (5и/%)(йи/й2), (9г /%) ( у/йг) и т. д., являющиеся членами второго порядка, которые могут быть отброшены при малых деформациях. Тогда компоненты тензора конечной деформации переходят в выражения, полученные ранее для малых деформаций (см. 2.4.2), например [c.38]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология