Частица в ящике

Энергия ничем не ограниченного поступательного движения, вообще говоря, не квантуется, т, е. может изменяться непрерывно. Этим данный вид движения отличается от других, имеющих периодический характер, — колебание, вращение и др. Поэтому Q o следует вычислять путем интегрирования, но не суммирования. Мы так и поступим. Однако предварительно покажем, что поступательное движение, ограниченное по своей протяженности, приобретает как бы свойства периодического, и его энергия может принимать только определенные дискретные значения. Рассмотрим простейшую квантовомеханическую задачу — частицу в потенциальном ящике или, как говорят, просто частицу в ящике. Представим себе частицу, например молекулу газа, движущуюся Б прямоугольном ящике с размерами 1х, 1у и 1 . Свойства системы частица — ящик таковы, что потенциальная энергия частицы V х, у, г) внутри ящика постоянна и может быть принята равной нулю. На границах же ящика потенциальная энергия частицы, как считается, возрастает до бесконечности, что означает фактическую невозможность выхода частицы за пределы ящика. [c.221]

Из уравнений (XX 1.2) и (XX 1.3) вытекает еще одно важнейшее свойство микрочастиц, описываемое волновой механикой. Набор значений п начинается с единицы. Если п = О, то это означает лишь, что частицы в ящике нет. Действительно, в этом случае функция гр не может быть нормирована, т. е. удовлетворять условию йх [c.434]

Волновая функция Ч " является функцией переменных х, у, г, / , и ф, и энергия Е содержит как трансляционную энергию атома, так и энергию электрона по отношению к протону. Целью преобразования в новые координаты является возможность разделения переменных. В принципе, это разделение производится тем же способом, как и в описании поведения частицы в ящике. Однако в этом случае алгебраические преобразования несколько более сложны. Как обычно, можно предположить, что общая волновая функция ( /2/-0ф) выражена произведением двух волновых функций, например [c.61]

Наконец, даже приближенная квантовомеханическая оценка энергии электрона может также быть использована для дискредитации протон-электронной модели ядра. Если рассматривать электрон заключенным в ящике ядерных размеров, мол<но получить с хорошим приближением его энергию путем рассмотрения элементарной частицы в ящике. Энергия электрона в одномерном ящике определяется уравнением Е = та ), и после подстановки [c.393]

Легко видеть, что решение волновых уравнения для областей 1 и III то же, что и решение уравнения для частицы в ящике. Для них удобно использовать экспоненциальную форму решения имеющую вид [c.398]

Переходя к следующему уровню организации, необходимо рассмотреть с и с т е м ы, состоящие из центрального ядра и частиц в поле ядра. Это — атомы, привлекающие внимание химиков в гораздо большей степени, чем частицы в ящиках. Однако и в атомах устойчивость есть следствие ограничений, налагаемых на движение частиц. Из элементарного курса химии известно, что энергетические уровни, отвечающие стационарным состояниям атомной системы, дискретны и переходы между ними связаны с излучением или поглощением кванта энергии. Атомы, следовательно, тоже защищены от случайных влияний. Это относится и к еще более организованным системам — молекул и твердых кристаллических тел. Но по мере усложнения систем появляются новые факторы, роль которых незаметна на низших уровнях. Обмен энергией или массой зависит от геометрического соответствия между реагирующими молекулами, от распределения электронной плотности в пределах молекулы, наличия экранирующих групп и т. п. Возникает вопрос, в какой мере можно распространить принцип защиты на сложные системы. Можно ли утверждать, что в таких системах любые, даже слабые внешние возмущения или химические влияния поведут к развитию процесса, итогом которого будет глубокая перестройка системы [c.51]

Согласно квантовой механике для частицы в ящике с ребром I энергия системы, вычисляемая из уравнения Шредингера для одной степени свободы, равна Л2 [c.218]

Квантовая теория, которая в начале XX в. произвела переворот в физике, необходима для понимания химии. Например, спектры, строение периодической системы, конфигурации молекул и их свойства нельзя объяснить без квантовой теории. В первой главе этой части рассмотрено историческое развитие квантовой теории и ее применение к простым модельным системам, включая частицу в ящике, гармонический осциллятор и атом водорода. Однако из-за сложности математических расчетов невозможно провести полное рассмотрение. В следующей главе даны основные представления о симметрии, так как простые молекулы и их волновые функции обладают высокой симметрией. [c.361]

Теперь мы рассмотрим решения уравнения Шредингера для четырех простых систем 1) частица в ящике, 2) гармонический осциллятор, 3) жесткий ротатор и 4) атом водорода. Эти примеры показывают, насколько предсказания квантовой механики отличаются от результатов классической механики. [c.375]

Согласно принципу соответствия Бора, квантовомеханическое рассмотрение в предельном случае, когда квантовые числа велики, должно давать результаты, совпадающие с результатами классической физики. Это можно пояснить на примере частицы в ящике. Уровни энергии частицы, находящейся в ящике довольно больших размеров, расположены так близко друг к другу, что кажутся непрерывными в соответствии с представлениями классической механики. [c.378]

Сравним расчеты среднего положения <.х> и среднеквадратичного положения <.х > частицы в ящике методами квантовой механики и классической механики. Согласно уравнению (12.32), эти средние значения можно вычислить следующим образом [c.378]

Определить вырождение первых трех уровней для частицы в ящике формы куба. [c.403]

В оптическом спектре отражения розового образца NaY наблюдалась-широкая полоса поглощения с максимумом при 5000 А. Поскольку электрон в основном локализован внутри кубического пространства, ограниченного четырьмя ионами натрия, его энергетические уровни можно рассматривать как, уровни частицы в ящике . Если предположить, что наблюдаемое оптическое-. поглощение [c.443]

Частица в ящике и туннельный эффект [c.25]

Таким образом, поступательная энергия свободно движущейся частицы изменяется не непрерывно, а на дискретные величины. Разность энергий между уровнями определяется величиной к /та . Поскольку очень мало, разность энергий имеет заметное значение только при условии, что т и а также очень малы. В действительности для больших частиц уровни настолько близки, что для всех целей энергию частицы в ящике можно считать изменяющейся непрерывно только для таких частиц, как электрон [т очень мало), находящихся в ящике молекулярных или атомных размеров (а, 6 и с очень малы), можно наблюдать квантование энергии. Далее, энергия электрона тем меньше, чем больше размеры ящика. Этот важный результат будет использован позднее (см. стр. 238 и 338). [c.27]

Тем не менее представление о резонансе часто оказывается полезным, поскольку во многих случаях, когда для молекулы можно написать два или более распределения электронов, такая молекула обычно оказывается более стабильной, чем можно было бы ожидать в противном случае. Про такие соединения говорят (с учетом всех сделанных выше оговорок), что они стабилизованы резонансом . Представление о резонансе качественно эквивалентно введению делокализованных молекулярных орбит, и то, что резонансная стабилизация тем больше, чем больше число структур, которые можно написать для молекулы (см., например, стр. 135), лучше всего можно понять в терминах представлений о делокализации. В довольно грубом приближении можно рассматривать делокализованные электроны как частицы в ящике , энергия которых (см. стр. 27) тем ниже, чем больше ящик. Таким образом, можно ожидать, что энергия делокализованных электронов должна быть тем ниже (а молекула тем стабильнее), чем больше область, в которой можн , найти делокализованные электроны. [c.128]

Внутренние электроны, как обычно, в основном локализованы у своих атомов. Поэтому металл можно рассматривать как плотноупакованную структуру из катионов, связанных друг с другом электронным газом. Электронный газ находится в потенциальном поле типа ящика с высокими стенками, так что для отрыва электрона от металла требуется затрата некоторого минимального количества энергии. С помощью такой модели удается разобраться в явлениях термоионной и фотоэлектрической эмиссии (см. рассмотрение частицы в ящике на стр. 27). Электронная теория металлов была развита дальше путем коррелирования дозволенных энергий электронов с различными направлениями в решетке металла, но в настоящей книге этот вопрос не рассматривается. [c.238]

Очевидно, что при плотности жидкого гелия простая модель частицы в ящике является удовлетворительной, поскольку просачивание плотности избыточного электрона из полости мало. Следует, однако, отметить, что для более низких плотностей жидкости модель электрона в ящике становится непригодной, поскольку просачивание заряда из пузырька становится существенным. [c.167]

Из (2.218) функция 2 (1 2) равна среднему числу пар в ящиках 1 и 2 и равна вероятности нахождения пары частиц в ящиках 1 и 2. [c.109]

Вычислите среднее значение импульса частицы в ящике . [c.100]

С одной стороны, она снижает кинетическую энергию в результате сильного ослабления градиента орбитали, параллельного связи (по сравнению со свободным атомом). Этот эффект можно сопоставить с уменьшением кинетической энергии свободной частицы в ящике при увеличении его длины. С другой стороны, она повышает потенциальную энергию в результате накопления электронного заряда в области связи. Оба эффекта раньше традиционно назывались резонансом . Следует отметить, что интерференция не увеличивается монотонно с усилением перекрывания, а даже уменьшается до нуля при 5- 1. Кинетический эффект гораздо сильнее потенциального. [c.277]

Уровни энергии поступательного движения молекулы даются решением волнового уравнения для случая частицы в ящике (раздел 2 гл. V). Если масса молекулы т и если ее движение происходит внутри прямоугольного ящика гранями а, Ь и с и- объемом У = аЬс то уровни эиергии [c.392]

Математическая обработка систем с вырожденными энергетическими состояниями и способы снятия вырождения часто являются важными проблемами. Для частицы в трехмерном ящике вырождение может быть снято использованием ящика, в котором а ф b Ф с. Если ребра ящика а, b и с не будут кратны одной и той же величине, то все энергетические уровни будут невырождены. Таким образом, довольно просто можно получить невырожденные энергетические уровни для частицы в ящике однако для атомов и молекул это далеко не всегда так. [c.58]

Следовательно, п характеризует число полуволн на длине I. Это условие полностью аналогично условию, которое позволяет определить характеристические частоты струны. Квантование является следствием волновых свойств частицы, которые отражаются уравнением Шредингера. Отметим, что п не может равняться нулю. Действительно, в этом случае согласно уравнению (XV. 15) В=0 и )=0. Следовательно, при м=0 частицы в ящике нет и функция ф не может быть пронормирована. Поэтому наименьшее значение энергии частицы в ящике согласно уравнению (XV.16) равно ) = /г /8тР. Эта энергия, которую частица будет иметь при сколь угодно низкой температуре, называется нулевой. Мы видим, что с увеличением массы нулевая энергия, как и все квантовые эффекты, исчезает, а с уменьшением I нулевая энергия в соответствии с вышесказанным возрастает. [c.303]

Интерпретация Борна во.шопой функции дана в тексте. Предположим, ЧТ волновая функция имеет вид (2/L) / siii (n.t/I), как для частицы в ящике длиной L Допустим, что длина ящика равна 10 нм. Какова вероятность нахождения частицы а) между. <=4,95 и 5,05 н.м, 6) между д =К95 и 2.05 пм, ч) между. < = 9,90 и 10,00 пм, г) в правой части яшика н д) в центральной тсетн ящика [c.469]

В физике явления, характеризующиеся периодичностью, часто связывают с волновым уравнением в теории атома соответствующее уравнение называют уравнением Шрёдин-гера. Волновое уравнение имеет дискретные решения в одномерном случае для частицы в ящике с непроницаемы- [c.11]

Нулевая энергия частицы в ящике согласуется с требованиями принципа неопределенности Гейзенберга. Так как Ал а, то Др А/а, где знак означает приблизительное равенство. Таким образом, АЕ= (Ар)У2т к 12та что дает правильный порядок величины. [c.377]

В квантовой механике уровни энергии молекул идеального газа в сосуде с размерами аХЬХс соответствуют уровням, рассчитываемым по уравнению (12.55) для частицы в ящике. Подставляя уравнение для энергии разрешенных квантовых состояний молекулы с массой т в уравнение (17.46), получим [c.535]

Уровни энергии 2Л/я-электронов сопряженной цепи с длиной L можно вычислить приближенно, пользуясь моделью частицы в ящике. В основном состоянии N нижних уровней заполнены полностью, так что поглощение света с максимальной длиной волны у такой молекулы соответствует переходу электрона с уровня N на уровень (Л/ + 1). Используя результат задачи 16, покажите, что эта длина волны равна X = 8тс Ь 1к 2М + 1). Рассчитайте эту длину волны для октатетраена, если длина, соответствующая я-электронам этой молекулы, равна 8,6 А. (Наблюдаемая величина составляет 290 ммк.) [c.406]

Пронормируйте функцию "ф (х) = Л sin х для частицы в ящике . Проверьте ответ на с. 79. [c.100]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология