Энергия электрона в потенциальном ящике

Для металлов поверхностную энергию вычисляют совсем иначе, так как основной вклад здесь обусловлен электронами проводимости. Используя приближение частицы в потенциальном ящике для электронной энергии, можно рассчитать поверхностную энергию как разность между энергиями электронов в ящике с потенциальными стенками и в бесконечной среде с однородной электронной плотностью. Можно принять, что центры положительных ионов равномерно распределены по всему объему и по поверхностному слою или, более строго, что центры ионов равномерно распределены в виде точечных зарядов по поверхности. Последнее приближение приводит к периодическому изменению электронной плотности на поверхности и к вкладу в поверхностную энергию дополнительного члена, связанного с поверхностными диполями. [c.181]

В результате выхода электронов в вакуум у поверхности раздела возникает двойной слой, в котором сосредоточен поверхностный потенциал (рис. 3, б) потенциальная энергия электронов на дне потенциального ящика изменяется при этом от и до и, а уровень Ферми, от которого отсчитывается работа выхода электрона и к которому относится реальный потенциал электрона [c.25]

Волновая функция электрона, находящегося в таком потенциальной ящике, как мы знаем, представляет собой систему стоячих волн, длина которых X изменяется пропорционально удвоенной ширине потенциального ящика а и обратно пропорционально порядковому номеру уровня их энергии п [c.92]

Если движущийся электрон может находиться в ограниченном объеме, когда все три пространственные координаты могут изменяться в некоторых пределах, за которыми потенциальная энергия возрастает до бесконечности (трехмерный потенциальный ящик), то уравнение Шредингера распадается на три отдельных уравнения, соответствующих каждой пространственной координате. Кинетическая энергия электрона, обусловленная его движением вдоль каждой координатной оси, выражается соотношениями вида (1.20), в которые входят квантовые числа п , Пу и п.2. Волновая функция электрона в трехмерном потенциальном ящике определяется тремя квантовыми числами, а полная кинетическая энергия равна [c.16]

Рис. 1.1. Энергия электрона в одномерном потенциальном ящике

Рассмотрим другую задачу. Пусть электрон, потенциальную энергию которого примем за нуль, движется по окружности с радиусом г (рис. 1.2). Положение электрона характеризуется лишь одной координатой, представляющей расстояние х, пройденное электроном по окружности, поэтому уравнение Шредингера имеет такой же вид, как и для одномерного потенциального ящика [см. уравнение (1.17)]. [c.17]

Имеющие возможность свободно перемещаться по металлу электроны образуют электронный газ. Вблизи атомов потенциальная энергия электронов минимальна. Она возрастает при удалении от атома, но при приближении к другому атому снова падает. Обычно рассматривают некоторую среднюю потенциальную энергию электронов внутри металла-ящика (рис. 153). Из принципа Паули вытекает следствие, согласно которому в этом потенциальном ящике даже при температуре абсолютного нуля электроны заполняют все уровни до некоторого предельного уровня, получившего название уровня Ферми (рис. 153). Кинетическая энергия на уровне Ферми может быть рассчитана по формуле [c.280]

Чтобы подробно рассмотреть поведение электронов в металле, необходимо знать их распределение по энергиям. Представление об этом дает решение задачи о движении частицы в одномерном потенциальном ящике. Ящик прямоугольной формы (рис. П1.31, а) с бесконечно высокими стенками, и частица не может существовать вне ящика. Это означает, что при движении частица отражается, когда приходит в соприкосновение со стенками ящика, а в любом месте внутри ящика ее энергия равна нулю. Решение уравнения Шредингера для такой системы приводит к следующему выражению для энергии [c.200]

Выше (стр. 176) указывалось, что движение электрона в системе делокализованных я-связей может быть рассмотрено с помощью модели одномерного потенциального ящика. Однако это не всегда дает правильные результаты, так как данная модель очень грубая. Кроме того, она определяет лишь уровни энергий электронов и не позволяет судить [c.193]

Энергия электрона в одномерном потенциальном ящике выражается соот ношением Е == (п к )1 %т а ). В указанных соединениях число делокализован ных я-электронов равно 2т, эти электроны займут т первых энергетических [c.299]

I/ — мольный объем электронного газа). Давление электронного газа при Т = О К, как показывает формула, очень большое. Электроны удерживаются в металле, несмотря на их очень высокую среднюю кинетическую энергию и большое давление, лишь потому, что стенки потенциального ящика, в котором они движутся, очень высоки. [c.191]

Пусть в Некотором объеме V находится N электронов. Какой энергией они обладают Эта задача возникает при рассмотрении самой грубой модели металла — модели потенциального ящика. Известно, что атомы в металле теряют свои валентные электроны, которые образуют так называемый электронный газ. На каждый электрон действует поле всех положительных ионов и остальных электронов. В результате для удаления электрона из металла надо затратить некоторую работу. Следовательно, внутри металла для электрона создается некоторая потенциальная яма. В грубом приближении можно пренебречь периодичностью поля, приняв, что потенциальная энергия в металле постоянна и не зависит от координат. Важно знать величину кинетической энергии электронов, движущихся в таком потенциальном ящике . Наиболее яркой особенностью этой энергии является то, что ее значение велико даже при абсолютном нуле (нулевая энергия электронов). Если бы все электроны имели энергию, равную нулю, то был бы нарушен принцип Паули, поскольку все электроны оказались бы в одной ячейке. Таким образом, следуя этому принципу, электроны вынуждены подниматься в области фазового пространства, характеризующегося большими значениями энергии. Определим наибольшее значение импульса (рт), которым будут обладать электроны металла. Объем занятого электронами фазового пространства равен 4л/3р V. Этот объем должен равняться произведению числа занятых ячеек (N 2) на объем ячейки, т. е. (4/3) лр У=Ык 12. [c.173]

В этой модели задача многих электронов приближенно сводится к задаче одного электрона. Каждый электрон движется в поле остальных электронов и ядер. Это ноле представляется в виде некоторой постоянной потенциальной энергии внутри металла. Мы рассмотрим простейший случай, приняв эту энергию бесконечно большой, и, следовательно, будем пренебрегать вероятностью выхода электрона из ящика. [c.553]

Мы видели, что решение уравнения Шредингера приводит к ряду дискретных уровней энергий, расстояние между которыми падает с увеличением размера потенциального ящика. Поэтому для металла достаточно большого объема можно считать, что спектр энергии электронов сколь угодно близок к непрерывному. Согласно принципу Паули, на каждом уровне могут находиться два электрона с противоположными спинами. [c.637]

Как и в одномерном потенциальном ящике, электрон может иметь лишь дискретный ряд допустимых энергии определяемых целыми значениями квантовых чисел Отметим, что количество квантовых чисел равно числу степеней свободы частицы При по явлении дополнительных степеней свободы энергия частицы опре [c.16]

Выше была рассмотрена одна частица в потенциальном ящике или один электрон около ядра (атом водорода) Представим теперь, что, как это и бывает в сложных атомах, около ядра находятся несколько электронов Могут ли они вге или хотя бы значительная их часть обладать одной и той же энергией или, что то же самое, находиться на одном и том же уровне энергии [c.48]

Напомним, что уже решение простейшей (рассмотренной в га 1) задачи о частице в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками (имитация частицы, находящейся в локализованной области пространства, например, электрона в атоме водорода) приводит к заключению не только о том, что энергия такой частицы принимает ряд дискретных значений, но и о том, что она не может обладать нулевой энергией, т е покоиться Значит, необходимость использования пары канонических переменных проявляется во всех возможных случаях Но и это еще не самое главное Как в классической, так и в квантовой механике большую роль играют так называемые перестановочные выражения, т е, например, комбинации такого рода [c.81]

Каждому значению п соответствует собственное значение Е (общая энергия электрона) Если постулируется модель потенциального ящика (наличие значительной потенциальной стены только по краям системы, т е при д = Оил = Да внутри ящика потенциальные барьеры практически отсутствуют), то Е представляет собой в основном кинетическую энергию (из уравнения де Бройля (6) и соотношения (15)) [c.38]

Внутренние электроны, как обычно, в основном локализованы у своих атомов. Поэтому металл можно рассматривать как плотноупакованную структуру из катионов, связанных друг с другом электронным газом. Электронный газ находится в потенциальном поле типа ящика с высокими стенками, так что для отрыва электрона от металла требуется затрата некоторого минимального количества энергии. С помощью такой модели удается разобраться в явлениях термоионной и фотоэлектрической эмиссии (см. рассмотрение частицы в ящике на стр. 27). Электронная теория металлов была развита дальше путем коррелирования дозволенных энергий электронов с различными направлениями в решетке металла, но в настоящей книге этот вопрос не рассматривается. [c.238]

В модифицированной (квантовой) модели свободного электрона энергия электрона дается выражением (2.7), но дозволенные значения к. определяются уравнением (2.6). Каждому допустимому значению к соответствуют два электронных состояния с антипараллельными спинами. Этот результат аналогичен решению элементарной задачи квантовой механики о частице в потенциальном ящике. Суммированием по всем возможным значениям п можно определить число дозволенных состояний как функцию энергии. Заполнение состояний электронами показано на рис. 14 (заштрихованный участок). Каждому значению к, согласно принципу Паули, соответствуют два электрона (со спинами - ). Заполнение электронами начинается с самых низших [c.35]

Покажите, что решение задачи об электроне в потенциальном ящике, имеющем форму куба со стороной I, приводит к тем же результатам (квантование энергии), что и решение с помощью уравнения бегущей волны [см. (2.4)—(2.7)1. В этом случае волновые функции будут иметь такой же вид, как и для стоячей волны. [c.49]

На рис. 4 изображена диаграмма потенциа.льной энергии электронов в потенциальном ящике, представляющем металл. Пред-по.лагается, что потенциал внутри металла везде постоянен и электроны можно описать как частицы в потенциальном ящике. Электроны группируются в пары в соответствии с принципом [c.175]

Самая простая ситуация, в которой электрон привязан к определенной области, имеется в задаче о потенциальном ящике (рис. 1,7). В пределах х = 0 и х = а электрон движется в области, где потенциальная энергия равна нулю, тогда как за этими пределами потенциальная энергия бесконечна. Поэтому вне ящика волновое уравнение (1.96) превращается в [c.18]

Из предыдущего следует, что система с одним электроном в одномерном потенциальном ящике может иметь только такие значения полной энергии, которые определяются уравнением (1.256), причем каждое значение задается конкретной величиной квантового числа п. Аналогичным образом было найдено, что атомные орбитали, полученные рещением волнового уравнения для атома водорода [уравнение (1.21)], соответствуют только [c.23]

Эту величину называют собственным значением. В данном рассуждении мы пренебрегли потенциальной энергией. Это допустимо в предположении, что движущийся электрон встречает значительные потенциальные стены лишь по краям системы, в то время как внутри образованного таким образом потенциального ящика потенциальные барьеры низки. При этих условиях общая энергия электрона весьма близка к его кинетической энергии (ср. также стр. 42 и далее). [c.21]

Модель потенциального ящика можно успешно применить к бензолу и с ее помощью легко вычислить спектральные переходы, однако затруднительно представить эту модель наглядно в плоскости рисунка. Соответствующие шести углеродным атомам шесть энергетических уровней легко получить, если учесть, что волновая функция каждого уровня с более высокой энергией имеет на один узел больше, чем предшествующая. Это показано на рис. 2.6. Каждый из энергетических уровней фг и фз соответствует двум вырожденным (обладающим равной энергией) волновым функциям, которые различаются положением узловых плоскостей. Молекула стабильна, так как все шесть я-электронов можно разместить на связывающих орбиталях. [c.29]

Энергия электрона в одномерном потенциальном ящике выражаете соотношением [c.301]

Поскольку все энергетические уровни, для которых лет, заполнены при сообщении молекуле энергии будет происходить переход электрона, нахо дящегося на уровне, где ге = т, на следующий уросень, для которого п = т + 1, Молекула будет поглощать кванты, соответствующие энергии данного перехода, Е = Ет+ —Ет- Длина волны излучения Я, отвечающая этой энергии, может быть подсчитана с помощью соотношений Я = V = (сД). Размер потенциального ящика а равен длине цепи атомов, вдоль которой может двигаться электрон. Если считать, что расстояние между атомами углерода в полиметиновой [c.299]

Применяя решения задачи о частице в потенциальном ящике к описанию молекулярных я-орбиталей линейного полиена, следует связать длину молекулы 5 с числом атомов углерода в полиене. Если длина связи углерод — углерод равна и имеется п двойных связей, то расстояние между первым и последним атомами углерода вдоль зигзагообразной цепи равно (2л—1)с1. Но это есть расстояние между первым и последним ядрами, и разумно предположить, что нулевой потенциал простирается еще на половину длины связи, так что эффективная длина молекулы равна 5 2nd. Эта простая модель фактически оказывается очень эффективной для предсказания длины волны первой полосы поглощения полиена, обусловленной возбуждением электрона на наинизшую незаполненную орбиталь (ср. с табл. 9.1), В случае, например, бутадиена, который имеет четыре я-элек-трона, наивысшая заполненная орбиталь — это 2, а наинизшая незаполненная — фз. Разность энергий между указанными уровнями можно получить из выражения (10.10) с учетом того, что 5 — 4с [c.226]

Из этого уравнения видно что энергия электрона дискретна, т е существует ряд допустимых значений энергии отличающихся друг от друга на определенные интервалы кванты энергии Проме жуточные значения энергии невозможны так как величина п долж на быть обязательно целой В соответствии с различными значе ниями квантового числа п электрон обладает энергией отвечаю щей определенному уровню энергии (рис 1 1) Исключение значе ния п = 0 соответствует невозможности обращения энергии элект рона в нуль Этот результат является общим и для более сложных квантовых систем, энергия которых даже при абсолютном нуле температуры не обращается в нуль, а имеет некоторое нулевое значение Существование нулевой энергии частиц находящихся в ограниченной области пространства согласуется с корпускуляр но волновой природой микрочастиц и соотношениями (1 3) При к = О обращается в нуль импульс частиц а следовательно, и его неопределенность Поэтому условия (1 3) для частиц локализо ванных в ограниченном пространстве, становятся невыполнимы Если движущийся электрон может находиться в ограниченном объеме когда все три пространственные координаты могут изме няться в некоторых пределах, за которыми потенциальная энергия возрастает до бесконечности (трехмерный потенциальный ящик), то уравнение Шредингера распадается на три отдельных уравне ния, соответствующих каждой пространственной координате Ки нетическая энергия электрона, обусловленная его движением вдоль каждой координатной оси выражается соотношениями вида (1 20) в которые входят квантовые числа п, Пу и п.2 Вол новая функция электрона в трехмерном потенциальном ящике определяется тремя квантовыми числами а полная кинетическая энергия равна [c.16]

Электроны, находящиеся между ядрами и притягивающие эти ядра, находятся в некоторой локализованной области пространства, размер которой приближенно равен расстоянию между ядрами Учитывая результаты решения задачи о частице в потенциальном ящике, в грубом приближении их кинетичес энергию можно принять обратно пропорциональной квадрату расстояния между ядрами Кроме того, элекгроны обладают потенциальной энергией притяжения к ядрам По аналогии с законом Кулона предположим, что эта энергия обратно пропорциональна расстоянию между ядрами. Таким образом, для полной энергии электрона, находящегося в поле двух ядер, получаем [c.65]

В последнем разделе предыдущего параграфа было показано, что энергия электрона в одномерном потенциальном ящике квантована, т. с. образует дискретный ряд значений, характеризуемый целочисленным числом п, называемым квантовым числом. При этом нужно обратить внимание, что получаемое решение во многом аналогично решению волнового уравнения для колеблющейся струны, закрепленной по концам. Это решение храктеризуется, таким образом, одним параметром — квап- [c.189]

Чтобы продемонстрировать влияние замыкания кольца на энергию делокализоваиных электронов, рассмотрим соединения СцНь вышеназванного типа, в котором атомы углерода образуют линейную цепочку длины I (например, а = 6, гексатриен СеНа). Движение делокализоваиных электронов (тг-электронов) в такой молекулярной системе может быть в первом приближении описано движением электрона в одномерном потенциальном ящике длиной I [128]. Длина волны Де-Бройля Л для свободно движущегося электрона дается соотношением [c.182]

Иногда говорят, что причиной образования молекулы является понижение кинетической энергии электронов вследствие увеличения пространства, в котором могут двигаться электроны. Разумеется, если вычислить кинетическую энергию частицы в потенциальном ящике определенного размера, то обнаружится понижение энергии с увеличением ящика. Однако такой подход слишком упрощен, чтобы его можно было применять к молекулам, поскольку вследствие притяжения со стороны двух ядер электрон в концентрируется в эффективном объеме, который в действительности меньше, чем в свободном атоме. В результате происходит уменьшение длины дебройлевской волны, т. е. в силу соотношения %= 1р увеличиваются импульс р и кинетическая энергия электрона. Последняя увеличивается на 20%, что составляет меньше трети изменения потенциальной энергии. Таким образом, именно изменение потенциальной энергии электрона имеет главное значение. С помощью точной волновой функиии, пользуясь теоремой вириала, можно показать, что при равновесном" межъядерном расстоянии абсолютное изменение потенциальной энергии в два раза превышает изменение кинетической энергии . [c.99]

В бутадиене, как и в этилене, С-атомы благодаря а-связям настолько приближены друг к другу, что создаются условия для перекрывания р-орбиталей и образования л-связей. Для бокового перекрывания здесь нет заранее заданного направления, а наоборот, имеется вероятность более или менее равномерного перекрывания во всех местах. С волномеханической точки зрения это соответствует образованию единой сопряженной волны, охватывающей всю электронную систему. С помощью метода потенци ального ящика — особенно простого варианта метода молекулярных орбиталей — можно получить следующую картину. Электроны могут передвигаться по углеродной цепи почти без затраты энергии, поскольку между отдельными углеродными атомами имеются лишь низкие потенциальные барьеры. Выходу электронов за пределы системы препятствуют очень высокие потенциальные карьеры. Они могут быть преодолены лишь при подводе энергии, равной потенциалу ионизации (рис. 1.13, а). Поэтому изменение энергии вдоль углеродной цепи можно упрощенно представить себе в виде ящика длиной Ь прочные стенки ящика препятствуют выходу электрона, тогда как нри движении электрона внутри ящика потенциальная энергия остается равной нулю (рис. 1.13, б). Дело обстоит так, как будто бы внутри ящика находятся молекулы идеального газа. Поэтому употребляет выражение электронный [c.42]

Необходимая энергия и соответственно длина волны поглощаемого света во многих слзтааях могут быть довольно точно рассчитаны с помощью примитивной модели потенциального ящика . Для этого в формуле (1.18) квантовое число п выражают через число л-электронов N высшее занятое состояние имеет тогда п = [c.47]

Данный вид решения, показывающий существование для мик- рочастицы строго определенного набора разрешенных значений энергии, характерен не только для движения в потенциальном ящике аналогичный результат получается при рассмотрении любой задачи, где микрочастицы удерживаются действием сил в определенной области пространства (см. стр. 39). Таким образом, квантовая механика объясняет наличие у электронов в атомах и молекулах дискретных энергетических уровней (о которых свидетельствуют спектры) и дает возможность вычислить теоретически эти значения энергий. [c.35]

Выше (стр. 185) указывалось, что движение электрона в системе иелокализованных я-связей может быть рассмотрено с помощью модели одномерного потенциального ящика. Однако это не всегда дает правильные результаты, так как данная модель очень грубая. Кроме того, она определяет лишь уровни энергии электронов и не позволяет судить о распределении электронной плотности в молекулах и прочности связи между теми или иным атомами. Поэтому такое рассмотрение имеет лишь ограниченное применение. Метод Хюккеля несравненно более продуктивен. [c.202]