Численное определение интегралов

Для вычисления определенного интеграла численным методом необходимо его представить в виде суммы площадей. Чем меньше интервалы разбиения, тем точнее будет вычислена интегральная сумма. Однако при этом значительно увеличивается объем вычислений. Максимальная точность получается при бесконечном числе отрезков разбиения. Однако на практике приходится ограничиваться конечным разбиением интервала интегрирования функции, заранее допуская некоторую погрешность. [c.208]

Определение интеграла (4) требует знания или численного значения к при его постоянстве в пределах интегрирования, или же зависимости tк = f(x) при его изменении. [c.53]

Применение операторов и функций позволяет создавать документы, вид которых вполне привычен для математиков и тех, кто ее применяет. Это видно из примеров, представленных на рис. 2.13. Здесь показано задание функции Г(х), построение ее графика, вь[числение корней, производной Г(х) в заданной точке и определенного интеграла в заданных пределах. [c.52]

Стоящий в правой части выражения (11.125) определенный интеграл не сводится к квадратурам. Поэтому при необходимости получить его точное значение приходится прибегать к численным методам. Для качественного анализа неизотермического течения представляет интерес использование приближенных методов расчета. [c.118]

Для определения глубины затекания необходимо вычислить входящий в уравнение (VII.5) определенный интеграл. Хотя аналитически это сделать не удается, в каждом конкретном случае этот интеграл может быть вычислен графоаналитическим или непосредственно численным методом. Если же реологические свойства каландруемого полимера близки к свойствам ньютоновской жидкости (и = 1), то входящий в уравнение VII.5 интеграл легко вычисляется. В этом случае глубина затекания определяется выражением [c.387]

В качестве примера рассмотрим универсальный графический метод, который часто используется при однократном вычислении интеграла, не требующем многократного вычисления при каких-либо изменяющихся параметрах. Вычисление базируется на геометрическом смысле определенного интеграла, согласно которому численное значение интеграла равно площади под подынтегральной функцией (рис. 5.12). [c.373]

Возможность вычисления определенного интеграла в решении (8.9) зависит от явного вида корреляционного соотношения Кид = АЯе" из которого находится зависимость Р(г). Интегрирование по радиусу может производиться по интервалам в соответствии с разными режимами обтекания частицы или любыми численными методами. [c.477]

Аналогично тому, как это имело место при рассмотрении периодического процесса растворения, здесь определенный интеграл с переменным нижним пределом для сложной функциональной зависимости (3(1/) находится численными методами, а в некоторых простых, частных случаях интеграл может быть найден аналитически. [c.481]

Таким образом, для нахождения необходимой высоты движущегося слоя адсорбента достаточно вычислить значение определенного интеграла в правой части соотношения (9.31). Поскольку явный вид уравнения изотермы адсорбции, решенного относительно концентрации компонента в газе, т. е. вид функциональной зависимости с а), может быть любым, то численное значение интеграла в (9.31) в общем случае приходится вычислять приближенными методами. При этом переход от переменной а к переменной интегрирования С производится согласно линейному уравнению материального баланса (9.28). [c.533]

Значение общего числа единиц переноса можно приближенно вычислить, не определяя численное значение определенного интеграла. Для этого в координатах а - С графически изображаются уравнение рабочей линии процесса (уравнение материального баланса непрерывного процесса (9.28)) и равновесная зависимость а (С). Затем находится число прямоугольных ступеней между этими линиями, как показано на рис. 9.7. Каждая прямоугольная ступенька соответствует понятию ступени изменения концентрации (см. гл. 5, 6), на которой процесс массообмена должен происходить до достижения равновесного состояния между газом и адсорбентом. Число единиц переноса, соответствующее г-й ступени изменения концентрации, согласно определению равно отношению разности концентраций в газе на входе и выходе из ступени к средней движущей силе процесса в пределах этой ступени n i = См - t)/A i. [c.534]

Восстановить функцию, для которой известно лишь численное значение определенного интеграла от нее, принципиально невозможно. В то же время численные значения 822 могут оказаться очень близкими (уравнение (49)) при очень различном поведении самой функции. Например, они будут близки для функций, показанных на рис. 6, так как большое отталкивание на малых г (кривая 2) будет скомпенсировано большим притяжением на больших г. Далее, различие В22, вычисленных по функциям, представленным на рис. 5, будет определяться вкладом в интеграл (49) от больших г, а различие 82 2, вычисленных по функциям, представленным на рис. 12, — вкладом от интегрирования по малым г, да к тому же еще результат вычисления по кривой 4 рис. 12 окажется близок к результату вычисления по кривой 1 рис. 5. Таким образом, подход к анализу молекулярных свойств с помощью 822 требует привлечения независимых данных (аналогии, интуиции, модели, машинного или физического эксперимента и т.п.). [c.85]

Численные значения интеграла / получены в работах [108, 119, 128] и представлены на графике (рис. 37). Кривые графика являются эталонными и могут быть использованы для определения параметров. Значительно большая детализация по параметру [х, необходимая для перехода к случаю несовершенной скважины, выполнена на графиках интеграла по ( 1.17) (рис. 38—41), кривые которых также являются эталонными. [c.96]

ОТ X, численно равен площади, ограниченной осью абсцисс, частью графика у = (х) и двумя прямыми, параллельными оси ординат и проходящими через точки х = а п х = Ъ. В задачах спектрофотометрического анализа функция у = f (х) представляет собой обычно зависимость оптической плотности (или м. к. э.) от длины волны и чаще всего задается не аналитически, а в виде графика или таблицы. Поэтому наиболее употребительны приближенные методы вычисления определенного интеграла, основанные на его замене конечной суммой. Весь интервал [а, Ъ разбивают на п равных частей и находят значения у , г/а,. . ., Уп-1, Уп-, отвечающие точкам деления Хх, Хз,. . ., х , после чего искомый определенный [c.217]

Численное определение значений Ajv по уравнению (2) было бы чрезвычайно трудной задачей, даже если бы была точно известна величина Ф (к сожалению, она не известна). Основная трудность состоит в необходимости использовать при усреднении многомерный интеграл с большим числом переменных интегрирования— 6Л/ (на каждую молекулу приходится три поступательные и три вращательные степени свободы). Величина N, как это показано в табл. 1Л, даже для очень маленьких кластеров чрезвычайно велика. [c.22]

Энтропию Si можно найти двумя способами [99] путем численного расчета интеграла в выражении (4.2) и путем вычисления So и последующего вычитания его из экспериментально определенной энтропии жидкого металла. [c.73]

Определенный интеграл функции от у в пределах от О до оо равен постоянной величине А, не зависящей от Гмакс- В уравнении (III, 4) подставляем значения ец с учетом (III, 5а) и (III, 7) и выносим численно одинаковый множитель Л за скобку. Получаем [c.42]

При расчете по уравнению (П.57) основным этапом является определение флегмового числа R, необходимого для поддержания постоянного состава дистиллята при изменении состава кубовой смеси. Практически не составляет затруднений вьшолнение расчетов колонны методом от тарелки к тарелке при известном составе пара, покидающем верхнюю тарелку, и фиксированном значении флегмового числа, проводя расчет сверху вниз. Однако если интеграл в уравнении (П.57) находится численно, то, как правило, используются рмулы с равноотстоящими узловыми точками. Поэтому потарелочный расчет колонны должен производиться итерационно, когда при фиксированном значении концентрации определяется соответствующее значение флегмового числа. Такой подход не является единственным, так как существуют методы вычисления определенного интеграла, для которых не требуется разбиения функции на равные интервалы по переменной интегрирования. [c.51]

Обычно возможно только численное решение интегро-дифферен-циальных уравнений кинетики измельчения вида (5.8). Для определения параметров идентификации модели — коэффициентов а,- и Л — необходимы опытные данные по идентифицируемой мельнице в одном режиме измельчения, например, значения остатков на двух контрольных ситах в мельничном продукте / (5 1) иЛ (5к2) - Процедура идентификации состоит в вариантных расчетах преобразования гранулометрического состава известного исходного материала в гранулометрический состав готового с различными а,- и А, по результатам которых следует подобрать их значения, обеспечивающие минимальное рассогласование опытных и расчетных данных по гранулометрическому составу измельченного материала. Эта задача эквивалентна поиску максимума некоторого функционала [c.127]

Для приближенного расчета полезно иметь метод определения интеграла (9.108) без использования трудоемкой процедуры графического интегрирования. Такой упрощенный метод не удается разработать, если отношение L m/G m значительно меньше единицы, поскольку при этом рабочая кривая обращена вогнутостью вверх и может пересекать линию равновесия где-то между и Y , если газ очень концентрирован и требуется тщательное разделение. В подобных случаях необходимо вычерчивать расчетные диаграммы или находить интеграл численными методами. Однако, если отношение 1. то можно применять излагаемую ниже эмпирическую процедуру. [c.480]

Задача сводится к определению численной величины интеграла /. Графическое интегрирование дает значение / 5 0,82я, что приводит к формуле [c.336]

Интеграл определяется численным методом. Таким образом, находится искомая. зависимость между давлением и степенью превращения. Применим уравнение (V, 19) для определения объема реактора [c.150]

Решение интеграла в правой части этого равенства с предварительным определением опытным или расчетным путем значения констант может быть как численным, так и графическим. [c.235]

В литературе описано много различных способов определения значений интеграла (2) графическими или численными методами [c.466]

Полученный интеграл не выражается через элементарные функции. Поэтому определение средних значений коэффициента охвата пласта фильтрацией можно осуществить только путем численного интегрирования функции (3). [c.63]

Если время жизни короткоживущих продуктов, наблюдаемых при помощи импульсного фотолиза, мало и близко по величине к времени светового импульса, то истинная константа скорости гибели промежуточного продукта может быть рассчитана следующим образом. Обозначим через f t) истинную функцию гибели промежуточного продукта, через I(t) — функцию светового импульса, которая называется аппаратной функцией, поскольку она также зависит от характеристик регистрирующей системы. Тогда экспериментально наблюдаемый вид функции определяется через интеграл F [t) = qI t) f t) dt. Вид функции I t) определяется экспериментально легко, но никакого удобного аналитического метода, который позволял бы находить функцию /( ) по экспериментально измеряемым функция.м F[t) и 1(f), не существует. На практике подбирают пробные функции f t), по которым, зная /(f), восстанавливают пробные функции F t) или применяя для этого численное интегрирование или пользуясь программой для ЭВМ. Если характеристической функцией гибели промежуточного продукта является экспонента, для экспериментального определения кинетики затухания можно воспользоваться методом моментов (см. гл. 4). Если все три функции F t), f(t) и /(/) аппроксимируются экспонентами, для расчета истинной константы можно пользоваться следующим простым приближенным соотношением [c.315]

Выражение (1.3.11) является очень удобным для определения наличия установившегося состояния, когда аналитическое решение интеграла не представляется возможным. В этом случае необходимо производить численное интегрирование при различных значениях г[Ь). [c.36]

Указанное выше отталкивание между непосредственно несвязанными электронами можно объяснить и по-другому. Известно, что принцип Паули строго ограничивает число электронов, которые могут находиться в одной и той же области пространства и имеют одинаковые спины. Поэтому, как только два зарядовых облака начинают перекрываться при параллельной ориентации электронных спинов, принцип Паули приводит к повышению энергии системы. Картина такова, как будто электроны вынуждены перейти на более высокие орбитали (ср. с идеей промотирования в корреляционных диаграммах, рассмотренных в разделе 4.7). Таким образом, при слишком сильном сближении зарядовых облаков непосредственно несвязанных электронов энергия отталкивания очень быстро увеличивается. Вполне возможно, что быстрое увеличение энергии отталкивания играет существенную роль при определении равновесных длин связей. Например, по аналогии с Нг представляется вероятным, что обменный интеграл +Jij численно увеличивается при сближении орбиталей г и / однако при этом может быстро возрасти энергия отталкивания, обусловленная близостью одного атома к внутренним оболочкам другого, и тогда в данной точке полная энергия взаимодействия может оказаться минимальной. [c.201]

Для вычисления интеграла в знаменателе выражения (2-7) следует определить в явном виде функции / (ф) и 02 (ф, 0), т. е. решить систему уравнений (1-1) без источников. Не рассматривая методы решения системы (1-1) для конкретных видов струйных течений (см., например, [1, 26, 34]), обратимся непосредственно к обсуждению особенностей развития газовых пламен различных видов. Заметим, что при определении зависимости длины факела от основных параметров численное значение [c.26]

Непосредственное вычисление интеграла в (4.2) может быть проведено с использованием теоретического или экспериментального структурного фактора. Ниже проведен расчет интеграла с использованием теоретических структурных факторов, определенных по модели твердых сфер. В этом случае структурные факторы описываются достаточно хорошо с помощью всего лишь двух параметров — плотности упаковки частиц р, и диаметра твердой сферы т. Как и всякое модельное выражение, структурный фактор не отражает всех наблюдаемых свойств. Следует отметить, что для такой интегральной характеристики металла, как корреляционная энтропия, наиболее существенной является общая форма структурного фактора. Численные расчеты показали, что она в значительной степени определяется первым максимумом функции. [c.73]

Определенне численного значения интеграла от 0° К и до 10—20° К, т. е. для области температур, при которых не удается произвести эксиерименталь-ное определение теплоемкости, выполняется в предиоложенми, что в указанной области теплоемкость меняется пропорционально Т , т. е. Ср = а7 [c.73]

Определенный интеграл в соотношении (2.79) может быть вычислен любым приближенным методом его численные значения в зависимости от единственного параметра А = (ртем )/[(С — Ск)1)э ] представлены на рис. 2.7. [c.121]

Стоящий в правой части выражения (VIII. 121) определенный интеграл не сводится к квадратурам. Поэтому при необходимости получить его точное значение приходится прибегать к численным методам решения. Однако при построении математической модели экструзии нами используется метод ступенчатого расчета, при котором поля температур и давлений последовательно рассчитываются для участков червяка малой длины (например, для участка с длиной равной половине шага червяка). При таком шаге расчета хорошие результаты дает использование приближенного решения. Воспользуемся подстановкой и обозначим [c.272]

Напомним, что физический смысл подынтегрального выражения в соответствует отношению изменения концентращ1и d компонента в газе в пределах от h до h + dh к движуш ей разности концентраций С - С (а) на этой высоте. Определенный интеграл имеет смысл отношения общего изменения концентрации компонента в газе к средней по всей высоте слоя движущей силе процесса (см. гл. 5). Высота единицы переноса есть та высота, на которой происходит изменение концентраций компонента, численно равное средней движущей разности концентраций. Понятие Лз является сугубо кинетическим, поэтому значение высоты единицы переноса обратно пропорционально коэффициенту массообмена Ро и, следовательно, зависит от всех многочисленных параметров, влияющих на скорость массопереноса компонента из газовой фазы в твердую фазу адсорбента. [c.534]

Хв ОТ О до 1. Зная численное значение интеграла, можно подсчитать Рв и сравнить его с опытным значением. Такое сравнение может быть критерием правильности проведенных расчетов, причем расхождение опытного и расчитанного Рв естественно сопоставлять с экспериментаальной ошибкой в определении этой величины. [c.124]

Переменная у в подинтегралыюм выражении является вспомогательной математической величиной. Поскольку определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов, эта переменная исчезает в окончательном решении. Численные значения этого интеграла для самых различных значений верхнего предела приведены в специальных таблицах. Ес.чи верхний предел обращается в бесконечность, [c.609]

Для определения закона изменения ядра коалесценции в области отношений размеров частиц, расположенной между областями определения полученных асимптотик, интеграл в правой части (5.42) был просчитан численно. Результаты вычислений приведены в табл. 5.1. [c.93]

При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бес численное множество фуякцнй, отличающихся друг ог друга постоянным слагаемым. Для того,, чтобы из совокупиоств первообразных функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что задается числовое значение искомой первообразной функции при некотором значении независимого переменного. Это дает возможность найти то числовое значение, которое следует придать произвольному постоянному. [c.40]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология