Распределение случайных ошибок

При отсутствии систематических ошибок, когда число измерений (п) очень велико (стремится к бесконечности), наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически представленное на рис. 12. При построении графика по оси абсцисс откладывают значения определяемой величины (д ), а по оси ординат — соответствующие вероятности получения их при анализе. Из приведенной на рис. 12 кривой видно а) наиболее [c.53]

Рис. 12. Нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок.

Рис. П-8. кривые нормального распределения случайных ошибок для различных значений меры точности Л (/ 1 > / 2 > hз).

Повторяя измерения большое число раз, можно установить закон распределения случайных ошибок. Так, выделив некоторый интервал Ъ—а, заметим, что отношение числа измерений т, в которых ошибка 2 попадает в этот интервал, к общему числу измерений п (т. е. относительная частота попадания в интервал) стремится к постоянному значению при увеличении п. Можно принять, что отношение тга/тг характеризует вероятность Р попадания случайной величины 2 в интервал Ъ—а, и записать это следующим образом [c.11]

Случайные ошибки — ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных грубых и систематических ошибок. При таком определении к случайным факторам, порождающим случайную ошибку, не относят факторы с постоянным действием (систематические ошибки) и факторы с однократным, но очень сильным действием (грубые ошибки). Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в отдельности (при данном уровне техники измерения). При этом распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто. Из симметрии распределения ошибок следует, что истинный результат наблюдения есть математическое ожидание соответствующей случайной величины. Так как из (П.28) Х = а + Х п при отсутствии грубых и систематических ошибок [c.30]

Поскольку доверительные оценки средних значений и дисперсии основаны на гипотезе нормальности закона распределения случайных ошибок, то параллельно с проверкой однородности дисперсии воспроизводимости и предшествуя ей по времени, производят проверку нормальности распределения по критерию соответствия Пирсона у [c.167]

Распределение случайных ошибок [c.5]

Нормальный закон распределения случайных ошибок. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения. К наиболее простым и достаточно точно отражающим действительность, относится нормальный закон распределения, или закон Гаусса [c.313]

Гауссом был найден закон распределения случайных ошибок. Этот закон справедлив почти для любых измерений, в том числе и для количественного спектрального анализа. На рис. 135, а графически показана зависимость числа измерений, в которых встречается та или иная ошибка, от ее величины при достаточно большом числе измерений. [c.226]

Физический смысл закона расиределения ошибок хорошо иллюстрирует оиыт, показанный на рис. 135, б. В вертикально поставленную доску забито большое число тонких стержней. Сверху через узкое отверстие воронки падают одинаковые дробинки. При ударах о стержень дробинка отклонится случайным образом в ту или другую сторону. Дробинки, получившие одинаковое отклонение, собираются вместе, причем распределение числа дробинок в зависимости от их отклонения совпадает с законом распределения случайных ошибок. [c.227]

Установим аналитическое выражение для закона распределения случайных ошибок измерений. Обозначим через < р вероятность того, что ошибка измерения заключена между х н х + 11х [c.450]

В качестве характеристики метода измерений выбирается не величина возможных ошибок, а частота повторения ошибок одинаковой величины. При достаточно большом числе измерений распределение случайных ошибок подчиняется гауссовскому закону распределения Р ], согласно которому число измерений с ошибкой в интервале от е — Зе до г 4- Зг определяется формулой [c.159]

Рис. 66. Закон распределения случайных ошибок.

Случайные ошибки направлены как в большую, так и меньшую сторону, они связаны с разбросом измеряемых показаний от средней величины. Обычно полностью исключить эти ошибки нельзя, так как любую величину абсолютно точно измерить в большинстве случаев невозможно, всегда допускается определенная погрешность. Распределение случайных ошибок соответствует кривой нормального распределения вероятностей, из которых следует, что положительные и отрицательные отклонения равновероятны и что меньшие отклонения встречаются значительно чаще, чем большие. [c.213]

При оценке предельной чувствительности метода необходимо прежде всего условиться о выборе количественного критерия, характеризующего предельные возможности измерения аналитического сигнала. В современной измерительной технике в качестве предельно малой величины измеряемого сигнала выбирается сигнал, величина которого в два или три раза превышает среднюю квадратичную ошибку измерений а. Согласно представлениям статистики при нормальном распределении случайных ошибок вероятность появления флуктуаций сигнала, больших 2а, составляет 0,0455. Таким образом, лишь в 5 случаях из 100 сигналы, большие 2а, могут быть отнесены за счет ошибок измерений, в остальных 95 случаях появление сигналов больше 2а связано с существованием внешних причин, вызывающих изменение сигнала (в нашем конкретном случае —это присутствие в пробе определяемого элемента). Итак, при выборе в качестве критерия предельной чувствительности аналитического сигнала, равного удвоенной квадратичной ошибке измерения, достоверность наличия в пробе определяемого элемента составляет 95,5%. При выборе в качестве критерия предела чувствительности уровня сигнала, равного За, достоверность обнаружения увеличивается до 99,7 /о- Выбор критерия является в известной степени произвольным и в зависимости от конкретной аналитической задачи может меняться в пределах от 2а до За. По-видимому, рациональной величиной критерия во многих случаях является уровень сигнала, равный 2а. [c.233]

При отсутствии систематических ошибок наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически [c.56]

Среднее (среднее арифметическое) значение случайной величины. Пусть х , х ... х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой а. На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое [c.25]

На основании закона нормального распределения случайных ошибок показано, что арифметическое среднее х из результатов всех измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины и определяется по формуле [c.611]

Случайные ошибки количественного химического анализа и сами результаты анализа, как правило, распределены по нормальному закону, хотя, строго говоря, аттестация конкретных аналитических методов требует экспериментального доказательства этого положения. Некоторые способы оценки характера распределения случайных ошибок химического анализа будут обсуждены дальше ( 5 этой главы). [c.66]

Рис. 1-1. Нормальный закон распределения случайных ошибок.

На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при измерениях одинаковой точности среднее арифметическое значение является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины. Среднее арифметическое значение х рассчитывают по формуле [c.299]

Такой вид аппроксимации называется методом наименьших квадратов. Этот метод чрезвычайно широко применяется в практике обработки опытных данных. Кроме приведенных положительных сторон он обладает еще одним важным свойством — связью с нормальным законом распределения случайных ошибок. Этот вопрос достаточно широко освещен в литературе по статистике. [c.207]

Многочисленные экспериментальные наблюдения показали, что распределение случайных ошибок химического анализа ближе всего подходит к кривой распределения Гаусса. Например, если построить график зависимости частоты появления каждого отклонения от среднего сотни измерений pH одной и той же пробы от величины отклонения, получилась бы кривая, приближающаяся к изображенной на рис. 4-3, г. [c.68]

На рис. 7 приведена кривая распределения случайных ошибок, построенная по очень большому количеству параллельных определений. Ее называют кривой нормального распределения ошибок или кривой Гаусса. Она характерна для большинства конкретных аналитических методик. [c.19]

Если распределение случайных ошибок для обоих методов близко к нормальному, сопоставление выборочных дисперсий сводится к нахождению отношения большей дисперсии к меньшей. В случае правильности предположения, что генеральные дисперсии у обоих методов одинаковы, это отношение распределено как Р — Фишера. В связи с этим при [c.281]

Вообще следует отметить, что согласно закону нормального распределения случайных ошибок Гаусса, выражающимся кривой (рис. 105), малые отклонения от среднего значения результата более вероятны, чем большие. На кривой нормального распределения случайных ошибок по оси абсцисс отложены значения вправо х- -(Р, а влево х — сР, а по оси ординат доверительная вероятность каждого из значений результата. Этот график наглядно показывает, что нахождение истинного результата а внутри участка оси, отмеченного стрелкой - - более вероятно, чем вне его. [c.305]

Для задач, которые возникают на практике, закон распределения случайных ошибок не известен и, строго говоря, он должен изменяться прн переходе от одного случая к другому. Экспериментальное установление этого закона в каждом случае в принципе хотя и возможно, но требует проведения очень большого количества измерений. Поэтому практически поступают иначе. Оказывается, что часто эмпирическое распределение хорошо аппроксимируется, т. е. приближенно выражается, так называемым нормальным распределением случайных о ш и б о к. [c.391]

При отсутствии система -тических ошибок наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически представленное на рис. 12. При построении графика по оси абсцисс откладывают значения определяемой величины (х), а по оси ординат— соответствующие вероятности получения их при анализе. Из приведенной на рис. 12 [c.57]

Программа I - Контроль . Программа осуществляет контроль и исключение фубых ошибок эксперимента, усреднение замеров по времени, проверку гипотезы о нормальности распределения случайных ошибок, автоматическое прекращение опроса датчиков по однородности дисперсии воспроизводимости. [c.164]

Случайные отклонения при малом числе опытов. На практике экспериментатор выполняет не бесконечно большое число опытов, а довольно малое (2—10), и имеет дело не с генеральной, а с выборочной совокупностью вариант (см. табл. 7.3). При этом распределение случайных ошибок подчиняется уже не закону Гаусса, а /-распределению, имеющему ту же форму, что и кривая Гаусса, но с большей величиной а. При этом /-критерий (или иначе ко- эффициент Стьюдента — Фише- "щ ра) зависит от доверительной е вероятности (Р) и числа опытов минус 1 (р = п.—1). Последнее представляет собой число степе- ней свободы и вводится тогда, когда неизвестно истинное значе- ние, а рассчитывается среднее X, поэтому при расчете дисперсии выборочной совокупности (5 ) в знаменателе ставится л—1. [c.135]

Математически можно показать, что при очень большом числе определений (я->оо), когда распределение случайных ошибок строго следует Гауссовой кривей, 68% отдельных определений отличаются от действительного значения на величину, меньшую стандартного откловения, т. е. X/ = X 5 . В интервал X 25 попадает 95% определений, а в интервал X 2,5SJ— 99% из них. На практике, однако, вероятность того, что определение находится в интервале X 23 меньше 95% по двум причинам. С одной стороны, аналитик проводит конечное, а то и очень ограни1 енное число определений, а, с другой стороны. Гауссово распределение справедливо только при отсутствии систематических ошибок, которых при анализе нельзя избежать полностью. Поэтому нельзя быть уверенным в том, что среднее арифметическое измерений истинно приближается к действительному значению. Тем не менее, благодаря статистической обработке можно определить, какова вероятность того, что действительное значение лежит в определенном интервале, т. е. найти доверительный интервал, в котором находится искомая величина с определенной статистической вероятностью. Доверительный интервал ,1 можно определить по зависимости [c.455]

Распределение случайных ошибок измерения. Пусть производится измерение некоторой величины. Разность х — а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникаюш,ие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически действуюш,их факторов (например, неисправности приборов, завышаюш,их при каждом измерении показания приборов), приводяш,их к систематическим ошибкам, то МО случайных ошибок равно нулю. [c.288]

Тем не менее, хотя нормальное распределение и является самым распространенным среди иных других, проверка нормальности распределения результатов и случайных ошибок — непременное условие полноценной аттестации аналитических методик. Аналитик-исследователь, предлагающий новую методику количественного определения, обязан аттестовать ее, указав на то, в какой мере характер распределения случайных ошибок данной методики близок к нормальному распределению. Оценка такого рода проводится путем вычисления особых параметров выборочной совокупности результатов анализа, но-сяших наЗ Ванле асимметрии (А) и эксцесса ( ), [c.72]

Из теории ошибок известно, что плотность распределения случайных ошибок зависит от их величины и выражается формулой Г аусса [c.255]

Рис. 4-3. Теоретическое распределение случайных ошибок, возникающих за счет а) 4 погрешностей, б) 10 погрешностей, в) очень больтпого числа погрешностей.

Справочник химика 21

Химия и химическая технология