Разностные сетки

Метод интегральных тождеств. Опишем метод построения разностных уравнений на основе интегральных тождеств, которым удовлетворяет точное решение дифференциального уравнения. Впервые метод интегрального тождества был предложен Г. И. Марчуком [1, 3] для численного решения диффузионного уравнения с разрывными коэффициентами. В работе [7] дан более общий метод построения интегральных тождеств, использующий вспомогательные дифференциальные операторы, которые допускают обращение в явном виде на каждом интервале разностной сетки и учитывают те или иные особенности дифференциального оператора исходной задачи. Частный случай такого подхода применялся в [10] при построении схем высокого порядка точности для одномерного уравнения теплопроводности. [c.145]

Пусть на отрезке [О, 1] задана разностная сетка 0 = Хо< [c.145]

Так как интервал (х.-,, хЛ был выбран произвольно, то будем считать, что построения (3)—(8) выполнены для всех 1 = 1, и равенства (7), (8) выписаны для всех интервалов разностной сетки. Выпишем также условия неразрывности потока в узлах сетки [c.146]

Пусть тождества (8), (9) либо (14) построены, тогда для построения разностных уравнений нужно заменить входящие в них интегралы теми или иными приближенными выражениями. Для этого можно воспользоваться какими-либо из известных квадратурных формул с узлами квадратур, совпадающими с узлами разностной сетки. Если для построения разностных уравнений использовать тождества (10) либо (14), то квадратурные формулы следует строить так, чтобы они не содержали в явном виде производных от решения. В противном случае число неизвестных будет больше числа уравнений. От этого ограничения можно избавиться, если для построения разностных уравнений применять тождества (8). В этом случае приближенные выражения для интегралов могут содержать в явном виде производные от решения в узлах разностной сетки, причем ограничения на максимальный порядок производных определяются только гладкостью исходных данных задачи (1), (2). Производные выше первого порядка выражаются с помощью уравнения (1), продифференцированного нужное число раз, через решение и его первые производные в тех же узлах сетки. В результате вместо (8) получим систему из приближенных равенств, зависящих от Зга + 1 неизвестных [c.148]

Разрешив полученные уравнения попарно относительно производных Uxi, = 1, га, и подставив полученные выражения в равенства (9) и граничные условия (2), получим систему из га + 1 уравнения, содержащую в качестве неизвестных только значения приближенного решения в узлах разностной сетки. [c.148]

Разностные схемы для дифференциальных уравнений с малым параметром. Нахождение приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной с помощью традиционных конечно-разностных схем требует выбора шага разностной сетки намного меньше величины малого параметра. Это затрудняет их практическое использование и ставит вопрос о построении специальных разностных схем, погрешность которых на фиксированной сетке не возрастает при стремлении малого параметра к нулю. Вопрос о построении таких разностных схем рассматривался в работах [5—9]. В этом разделе построение специальных разностных схем проводится методом, изложенным выше, а также пспользуются результаты работы [7]. [c.154]

Пусть pix), qix), fix) — ограниченные кусочно-непрерывные функции, имеющие ограниченные первые производные внутри своих интервалов непрерывности. Выберем разностную сетку [c.154]

Теорема 7. Пусть разностная сетка такова, что [c.158]

Метод нестационарных сеток. Для приближенного решения нестационарной краевой задачи в заданной области Q = QX X 10, Г], Й<=Л , конечно-разностными методами необходимо в Q построить разностную сетку. Зададим для этого произвольное разбиение отрезка [О, Т узлами /с = О, N, и для каждого построим в й сетку по пространственным переменным 2л. Совокупность всех узлов лт = 1 3л, образует сетку в Q. Сетку Qh будем называть нестационарной (НС), если 2 2 хотя бы для одного к < N. Другой способ построения НС состоит во введении подвижной системы координат, в которой берется стационарная сетка. Такие сетки будем называть подвижными (НС). НС появляются естественным образом при стремлении сократить вычислительную работу, требующуюся для нахождения приближенного решения с нужной точностью, путем минимизации числа узлов разностной сетки. Различного вида НС рассматривались в работах [11—20]. В [И, 12] для приближенного решения уравнения теплопроводности построены оптимальные НС с увеличением шага по пространству в два раза при переходе с А-го времен- [c.158]

Зададим в < = [О, 1] X [О, Т] разностную сетку [c.160]

Область промежуточных чисел Рейнольдса. Для течений, характеризующихся промежуточными значениями числа Рейнольдса, обычно возможны только экспериментальные исследования, позволяющие установить некоторые эмпирические соотношения. В настоящее время в связи с бурным развитием вычислительной техники существует тенденция ко все большей замене экспериментов численными расчетами. Основные усилия направлены на решение так называемых усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса (см. 2.2.1) с использованием более или менее детальных моделей турбулентности. Конечной целью является численное решение полных временных уравнений Навье — Стокса, включая прямое численное моделирование крупномасштабных турбулентных вихрей. При этом модельное описание остается необходимым только для мелких вихрей, размер которых меньше шага разностной сетки. Предполагая, что существующие тенденции развития вычислительной техники сохранятся и в будущем, можно заключить, что к 1990 г. станут реальными расчеты течений с учетом турбулентных вихрей на сетке, состоящей из 10 —10 узлов [12]. [c.136]

Если в уравнении (4.341) 2 = 0, оператор Л/— тождественный, узлы разностной сетки точно попадают на границу 3 области Q, то задаче (4.341) —(4.344) ставится в соответствие приближен- [c.246]

Для плоской заготовки, матрицы, прижимного кольца и цилиндрической части пуансона (схема разбиения сечений заготовки и деталей оснастки на конечно-разностную сетку приведена на рис. 1) используется дифференциальное уравнение нестационарной теплопро- [c.280]

Рис. 1. Конечно-разностная сетка сечений заготовки и деталей оснастки 1 — заготовка, 2 — пуансон, 3 — прижимное кольцо, 4 — матрица

Основная идея метода конечных разностей заключается в том, что в рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного аргумента, вводится дискретная модель среды, описываемая функциями дискретного аргумента, определенными на конечном множестве точек. Это множество точек называется разностной сеткой. Отдельные точки называются узлами сетки. Функции дискретного аргумента, определенные на сетке, называются се-точными функциями. [c.268]

Рпс. 6. 10. Среднее число Нуссельта на стационарном режиме в зависимости от числа узлов разностной сетки при различных способах расчета граничного условпя для вихря (задача о тепловой гравитационной конвекции в замкнутой квадратной области), Сг = Ю , Рг = 1 7 — формула (6.5.7),, 2 — формулы (6.5.11), [c.215]

Аг+1) Значение коэффициента перемежаемости на (к + 1)-й итерации находится затем из условия нормировки /о = 1. Во всех проведенных расчетах для сходимости процесса использовалась нижняя релаксация с параметром, равным 0,01. Итерации заканчивались, когда значение суммы модулей разностей значений функции / во всех узлах разностной сетки на проведенной и предьщущей итерации, поделенное на число внутренних узлов разностной сетки (т.е. на (/ - 1) (У — 2)), становилось меньше заданного малого числа (равного 10 ). [c.128]

С помощью соотношения (4.13) решены четыре примера, рассмотренные в работе [27], дпя исходных данных а = 0,4,1п(2а/А)= -3,352, а также параметров ( 1,1 ), равных (1 0,15), (1 0,17), (0,75 0,1), (0,35 0,06). С учетом симметрии разностная сетка включала под штампом дня половины области шесть шагов вдоль оси х, которые уменьшались в геометрической прогрессии к угловой точке штампа, а всего 19 шагов вдоль х и [c.151]

Как видно из представленных выше данных, уточненный анализ температурных напряжений дает сушественно большие значения, чем по теории оболочек. Поэтому в зонах, примыкающих к внутренним и наружным поверхностям, может возникать упругопластическое деформирование. Для анализа напряжений в этих зонах могут быть в первом приближении использованы соотношения 2. Приведенные здесь результаты могут быть использованы также для выбора размеров конечных элементов или сгущения разностной сетки в осевом направлении около стыка разнородных материалов и в радиальном направлении около поверхностей соединяемых разнородных элементов. [c.216]

О - номер временного слоя 1 - номер узла разностной сетки по координате х = 1 1Н = [c.60]

J. Важным этапом в решении нашей задачи является приведение исследуемого уравнения к выражению в конечных разностях. В отличие от обычных задач теории теплопроводности, в нашем случае границы рассматриваемой области перемещаются с течением времени. Поэтому необходимо ввести разностную сетку, растягивающуюся по мере перемещения фронта кристаллизации. [c.71]

Использование подробной конечно-разностной сетки позволило не только вполне корректно предсказать развитие вторичных течений, но и обнаружить существование мелкомасштабного вихря, расположенного в окрестности ребра [c.119]

Послойный метод характеристик. В классической схеме метода характеристик узлы разностной сетки определяются в процессе численного решения как точки пересечения характеристик. Основное преимущество этой схемы состоит в том, что использование сетки такого типа позволяет максимально учитывать структуру течения, в частности, рассчитывать волны разрежения, выделять линии слабых разрывов, определять области возникновения висячих ударных волн. [c.77]

Тогда после вынесения коэффициентов разложения за знак интеграла получим в правых частях равенств интегралы, ддвисящие только от известных функций. В этом случае для вычисления интегралов можно применять квадратурные формулы высокого порядка точности с произвольным числом квадратурных узлов, которые могут и не совпадать с узлами разностной сетки. Это позволяет более точно учесть особенности правой части и коэф фициентов уравнения (1). Заметим, что первый подход можно рассматривать фактически как частный случай второго. В этом легко убедиться, если для приближения функции и х), стоящей под знаком интеграла, применять интерполяционные сплайны Эрмита с узлами интерполяции, совпадающими с узлами разностной сеткп. [c.149]

Предположим, что в уравнении (23) pix) = 1 и функции д(х), fix) имеют такую гладкость, что внутри каждого интервала разностной сетки их можно приблизить локальными полиномалш q ix), f ix) степени = О, 1,. .., с точностью 0 hi ) соответственно. Пусть L0 = E — qO x), и функции YIi x), Y iIx), (х) — ах [c.157]

Для разностной аннроксимацпи конвективных членов системы (8) — (10) используется несимметричная разностная схема первого порядка точности, ориентпрованная против потока [2]. Согласно этому подходу, информация в ячейку передается только от ячеек, расположенных выше по потоку от данной, и, наоборот, информация от ячейки передается только ячейкам, расположенным ниже но потоку. При изменении знака скорости, например вблизи узла, схема модифицируется в соответствии с законами сохранения в каждой ячейке. Разностные соотношения для диффузионных членов строятся следуюш им образом оператор Лапласа интегрируется по площади ячейки, соответствующей выбранной разностной сетке, и полученные в итоге однократные интегралы вычисляются по формуле трапецией, а нормальные к контуру производные заменяются центральными разностями. Источниковые члены аппроксимируются аналогичным образом. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений для искомых функций в узлах сетки. Она замыкается граничными условиями в конечно-разностном виде. Полученная алгебраическая система уравнений решается методом последовательных смещений Гаусса — Зейделя. Анироксима-ция строится на неравномерной сетке, которая сгущается в области больших градиентов. Использовались разностные сетки 21 X 21 и 31 X 31. Изменение числа линий сетки практически не сказывалось на результатах решения. Выход из итерационного процесса осуществлялся при выполнении условия [c.59]

Применительно к процессу кальцинахдш, сечения КСП и слоя соды разбиваем на конечно-разностную сетку, приведенную на рисунке. [c.71]

Ii 111 = In (1 + т]/а), где а — параметр, изменяя который, можно сгущать расчетные точки вблизи стенки. При таких двух преобразованиях число арифметических операций для вычисления решения в каждой точке естественно увеличивается, но при этом представляется возможным вести расчет в переменных (51, i]i) с постоянным шагом разностной сетки поперек пограничного слоя и постоянным числом узлов на каждом разностном слое gi = onst. [c.139]

Одномерные аппроксимации. Область непрерыв-иого изменения аргумента заменим разностной сеткой с координатами Ж , Введем обозначения f xi, ) = fi, где = 0, 1, 2,. .., N—1-, п = 0, 1, 2,. .К. Узлы пространственной разностной сетки в общем случае будут располагаться произвольно. Локальный прострапственный шаг сетки будет при этом определяться разностью между координатами двух соседних узлов /1 = Дж< = х,+, — х,-. Временная разностная сетка вводится в общем мдё следующим образом Хп = 1п+1 — 1 ] нри этом 1к= 2 п- На [c.181]

Аналогичные выраакения можно Записать для bk,i. Здесь использовано разложение сетопной функции в ряд только в одном направлении. Будем предполагать разностную сетку в этом паправлении равномерной. [c.189]

На рис. 6.1, а показаны линии ф = onst стационарного ноля течения в квадратной выемке при Re = 300, полученные нри решении нестационарной задачи методом установления. Начальные данные имели вид (6.6.2), использована равномерная разностная сетка с числом узлов п = 20, т = П. Из рис. 6.1, а видно, что течение пмеет циркуляционный характер его интенсивность, определяемая по плотности расположения линий тока, наибольшая в верхней части области, где жидкость вовлекается в движение дви кущейся крышкой за счет сил трения. В связи с. увлечением жидкости крышкой движение несимметрично центр вихря, в котором значение функции тока максимально, смещен по направлению движения, т. е. в сторону [c.195]

Анализ и распечатка оглавления файла последовательного доступа Интерполяция значений полей па другую разностную сетку Оперативная обработка и печать ипформации в процессе счета Расчет шагов неравномерной сетки [c.283]

Величины шагов разбиения конечно-разностной сетки ДГг Гг —Гг ь Дфг = ф —фг ь Л2 = 2 —2 l Не МОГуТ бЫТЬ выбраны (произвольно, а определяются из условия постоянства скорости звука во всех точках исследуемой области (если моделируемое поле изотропно). Это условие можно записать в виде равенств [c.41]

Электрическая модель строится согласно системе аналогий, при которой величинам давлений Рг(0 в узловых точках конечно-разностной сетки соответствуют потенциалы Ui t) в узловых точках модели. В этом случае потенциалы узловых точек должны быть связаны соогношениями, идентичными уравнениям (3) [c.42]

Рассматривались три случая осесимметричного нагружения торцев цилиндра касательной нагрузкой, распределенной по закону, изображенному на рис. 3,8 (кривая 1), и направленной к оси цилиндра Рг (х) = ( с) < равномерной нормальной сжимающей нагрузкой ( ) = Ю МПа и совместным действием той и другой нагрузки. Упругие поля напряжений находились вариационно-разностным методом на упомянутой выше разностной сетке. Ввиду симметрии напряженного состояния относительно середины длины вьзделенной части цилиндра компоненты тензора напряжений на наружной поверхности бьши определены в двадцати точках, соответствующих узлам сетки дпя О < 5 < /, В рассматриваемых случаях отличными от нуля компонентами являются осевые и кольцевые а в напряжения. [c.72]

Для расчёта используется сильно неравномерная по радиусу и высоте ГЦ разностная сетка со сгущением узлов в областях пограничных слоёв вблизи торцов, диафрагм, боковой поверхности, а также в окрестностях газозаборников. [c.205]

Задача решалась на равномерной двумерной конечно-разностной сетке с применением схемы ТВД для газа и Мак-Кормака для частиц [93-95]. Расчетная область расширялась по мере распространения по смеси прошедшей УВ или инициированной ДВ, включая участок невозмущенного течения. В задаче на распространение уже сформированной детонационной волны в установившемся режиме расчетная область ограничивалась зоной равновесного течения в продуктах детонации, превышающей более чем на порядок зоны релаксации. Тогда на левой границе области ставились мягкие граничные условия (нулевые значения вторых производных параметров смеси). [c.270]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология