Инвариантные функции использование

Резюме. Дан обзор основных положений теорий электронных пар, в част ности изложены методы разделенных, независимых и связанных электронных пар. Результаты этих методов не инвариантны к унитарным преобразованиям заполненных орбиталей, сохраняющим неизменной хартри-фоковскую волновую функцию. Использование локализованных (эквивалентных) орбиталей обладает рядом преимуществ перед использованием делокализованных (канонических) орбиталей. В локализованном представлении некоторые энергии парных корреляций близки для родственных молекул. Вклады парных взаимодействий между локализованными парами обычно малы по абсолютной величине и в больщинстве случаев положительны, тогда как соответствующие величины для канонических пар велики по абсолютной величине, обладают разными знаками и в значительной степени компенсируются. Обсуждена взаимосвязь между локализацией, корреляцией и химической связью. [c.165]

Приведенный ниже общий анализ охватывает эти виды граничных условий. Будет рассмотрена также автомодельность с учетом многих других эффектов, которыми пренебрегают при использовании уравнения энергии в простейшей форме (3.3.3) и постулировании предположений о постоянстве и (или) /оо. Далее выписаны полные уравнения и к ним будет применено то же преобразование переменных, что и раньше. Задаются функции 1о х) и /оо(х), (1 х) и Цх), а также инвариантные граничные условия. Уравнения записаны в том же виде, как в монографии Гебхарта [32] [c.84]

В расчетах, основанных на использовании теории возмущений, большую помощь оказывает применение теории групп. На основе теоретико-группового рассмотрения, или учета симметрии, удается показать, что многие интегралы оказываются тождественно равными нулю. Всякое наблюдаемое свойство системы должно быть инвариантным при любом преобразовании симметрии системы. Другими словами, наблюдаемые величины должны быть скалярными, а не векторными, операторными и т. д. С теоретико-групповой точки зрения это означает, что любой интеграл (или любая другая функция, представляющая наблюдаемую величину) должен преобразовываться по полносимметричному неприводимому представлению группы, к которой относится данная система. (Полносимметричное представление является единственным скалярным представлением группы и таким, в котором каждый элемент группы отображается на скаляр, равный + ) Поскольку каждую функцию или оператор, входящие в интеграл, можно отнести к некоторому неприводимому представлению (или к комбинации неприводимых представлений) группы и поскольку известны правила умножения для представлений, нетрудно определить представление, по которому преобразуется любая подынтегральная функция. Если это представление не совпадает с полносимметричным представлением или не содержит его в себе, то нет никакой необходимости проводить вычисление интеграла, так как заведомо известно, что он должен быть равен нулю. В расчетах по теории возмущений на основании такого анализа можно, например, установить, равна ли нулю поправка первого приближения к энергии и какие коэффициенты в разложении первого порядка для волновой функции или в разложении второго порядка для энергии оказываются равными нулю. [c.115]

В последнее время наблюдается достаточно сильная децентрализация отраслевого планирования и управления. Эта тенденция, конечно, не означает полной децентрализации использования водных ресурсов, но вносит ряд дополнительных ограничений, например, на предельный уровень местного и регионального водопотребления, поднимает вопросы долевого участия разных территорий при сооружении и эксплуатации крупных водохозяйственных объектов и т. п. С точки зрения структуры и функций системы моделей здесь существенно то, что остается неизменным иерархический подход к водохозяйственному планированию. Все упоминавшиеся особенности правовых, экономических и иных отношений между территориальными элементами не должны привести к потере каждой отдельной модели и системы в целом своей инвариантности в отношении конкретных приложений. [c.78]

Полезно однако иметь в виду, что и в этих методах все же используются некоторые упрощающие предположения о характере кинетики внутреннего переноса целевого компонента. Так, в методе стандартной функции полагается, что внутренний перенос может быть описан простым диффузионным уравнением с постоянным коэффициентом Строго говоря, такое предположение требует экспериментального подтверждения для каждого конкретного материала. Использование характеристической функции основано на предположении о квазистационарности концентрационных полей внутри частиц относительно изменяющихся внешних условий процесса. Метод кинетической функции в общем случае требует экспериментального подтверждения ее инвариантности относительно внешних параметров процесса растворения. [c.142]

Рассматриваемые здесь зависимости являются важной физической характеристикой полимерных систем. Они определяются их природой, температурой и давлением. Использование различных типов вискозиметров легко позволяет охватить диапазон изменения у в 10 —10 раз, но неоднократно удавалось проводить измерения, когда у изменялось в 10 —10 раз. При этом функция течения всегда должна быть инвариантной относительно способа измерения. [c.147]

Использование функции т) (с) позволяет получить характеристику вязкостных свойств растворов полимеров в каждом данном растворителе в форме, инвариантной относительно концентрации, молеку- [c.212]

Успешное использование функции Т Кщс) для построения инвариантных характеристик концентрационных зависимостей вязкости [c.214]

Несколько более общее использование свойства инвариантности (13) описано в гп. III работы [161 свойство инвариантности также можно установить для суммы в выражении (12) для волновой функции. [c.15]

Sy и Sj. определяются аналогично S ) будут коммутировать друг с другом. Хорошо известная теорема [5] тогда утверждает, что матричные элементы (3.1.9) будут равны нулю, если функции Фх и Фх являются такими собственными функциями операторов спина, которые соответствуют различным собственным значениям (S или М). Этот результат есть следствие симметрии нашего гамильтониана, который остается инвариантным при произвольных поворотах оси квантования спина и собственные функции которого преобразуются специальным образом при этих поворотах (приложение III). Отсюда ясно, что если функции Ф в отдельности и не являются спиновыми собственными функциями, то из них нужно составить линейные комбинации, которые уже будут такими собственными функциями, с тем, чтобы как можно больше матричных элементов обратить в нуль. При использовании новых базисных [c.73]

Точечная группа симметрии кристалла (кристаллический класс) О может не совпадать с точечной группой симметрии решетки Браве Со, являясь ее подгруппой. В этом случае функция /(к) преобразуется по тождественному представлению не точечной группы Со, а группы С, которая либо совпадает с О (если О содержит инверсию), либо является прямым произведением О и инверсии. При этом учтена инвариантность гамильтониана относительно обращения знака времени (см. первую главу), приводящая к тому, что f(k) = [(—к), даже если в точечной группе нет инверсии. Таким образом, как это впервые было отмечено В. П. Смирновым, функции Л (к) и, следовательно, наборы специальных точек будут, вообще говоря, различными для кристаллов, различных классов одной сингонии. Хотя это и не было учтено в [И], построенные точки тем не менее являются специальными для всех кристаллических классов кубической сингонии. Это имеет место потому, что концы векторов, использованных в качестве начальных в [И], лежат на границах неприводимых частей ЗБ. [c.132]

Как мы теперь покажем, при условии инвариантности множества пробных функций относительно преобразования и и при использовании для Н и для одного и того же набора пробных функций оказывается, что [c.107]

Наш анализ всюду основывался на использовании од-ного-единственного множества пробных функций. Однако можно привести весьма веские доводы в пользу того, что подобное требование является неестественным, поскольку Н и — различные гамильтонианы. Для каждого из них более естественно пользоваться разными наборами пробных функций. В конце концов, согласно равенству (3), точные собственные функции различны, а почему бы таковыми не быть и множествам пробных функций Кроме того, как мы увидим, подобным способом можно с легкостью удовлетворить условию инвариантности (17). [c.111]

Допустим, что 4 получается при использовании множества пробных функций, инвариантного по отношению к преобразованию (1). Рассмотрим множество пробных функций 4% где А — произвольное вещественное число. Приведите доводы, показывающие, что А должно равняться нулю. Получите отсюда еще раз соотношение (4). Кроме того, дайте аналогичный вывод равенства (2) из 15, рассматривая множество пробных функций, которое порождается функциями 4 А (а), ст) путем замены в них ст вариационным параметром. [c.136]

Как бы ни отличались организмы по своей физико-химической конструкции, отношения между их биологическими свойствами (такими как перемещение организма, процессы получения и использования пищи, выделительные процессы) остаются всегда одними и теми же, т. е. инвариантны для всех организмов. Однако перечисленные функции у высших организмов по сравнению с такими же функциями у низших включают намного больше элементарных компонент, элементарных процессов. Значит, природа соответствия между процессами или биологическими свойствами высших и низших организмов такова, что одному элементарному процессу у низшего организма соответствует несколько элементарных процессов у высшего [172]. Поскольку такое соответствие называется в математике эпиморфизмом, сам принцип эпиморфного отображения организмов друг на друга был назван принципом биологического эпиморфизма. [c.20]

Типичный пример концентрационно-инвариантной характеристики динамической вязкости показан на рис. 3.14 для растворов полиизобугилена в декалине при изменении содержания полимера в растворе от 3 до 100%. При этом функция /i (с) представлялась как с , где показатель а изменялся от 1 до 3. Там же показана приведенная (концентрационно-инвариантная) характеристика динамического модуля G r, построенная с использованием той же функции /i (с). Приведенный пример свидетельствует о возможности построения концентрационно-инвариантных динамических функций в очень [c.265]

Обобщение линейной теории вязкоупругости на случай больпшх деформаций позволяет рассмотреть вопрос о возможных формах корреляции стационарных и динамических характеристик полимерных систем. Как указывалось в гл. 2, в зависимости от формы примененного дифференциального оператора получаются различные предсказания относительно формы зависимостей т(у) и о (у). Однако при этом функции G (са) и G" (со) оказываются инвариантными к способу описания нелинейных эффектов при установившемся течении. Поэтому применительно к рассматриваемой проблеме корреляции динамических и стационарных характеристик полимерных систем использование дифференциальных операторов сложного строения позволяет модифицировать теоретические предсказания относительно стационарных характеристик, т. е. функций т (у) и а (у), но не влияет на вид функций G (са) и G" (со), которые определяются только выбором значений констант используемой реологической модели. [c.304]

Локализованные функции, вычисленные с использованием свойства инвариантности матрицы плотности, являются в определенном смысле эквивалентными молекулярными орбиталями. Такие локализованные орбитали, разумеется, не локализованы только на каких-то отдельных частях молекулы, наоборот они свидетельствуют о наличии определенной ненулевой плотности электронов практически во всем пространстве молекулы. Следовательно, невозможно изолировать электронные пары так, чтобы каждая из них занимала часть молекулы, определяемую исключительно одним или двумя центрами, что было бы идеальным свойством для трансферабельной (переносимой) орбитали, описывающей, например, какую-либо связь, которая не изменяется при переходе от молекулы к молекуле. Эксперименты по комптоновскому рассеянию рентгеновских лучей [10] убедительно подтверждают локализованность и трансферабельность связей в некоторых молекулах и показывают, что теоретический анализ волновых функций молекул с учетом затронутых вопросов имеет практическое значение. [c.304]

Pa3yMeeT H, вся система уравнений ниже точки перехода выглядит иначе. Это связано с различием поперечных и продольных компонент "ф и появлением многокомпонентных функций Грина (см. гл. IV, 4), а также многополюсников с нечетным числом концов. Схема построения ц исследования уравнений для функций Грина остается той же (если не говорить о необходимости суммирования по компонентам). В эти уравнения в качестве параметра войдет плотность конденсата щ. Уравнения инвариантны относительно масштабных преобразований, если размерность щ равна 2Л . Параметр щ может быть использован вместо х. Это особенно важно по той причине, что функция Грина G p(p) ниже А,-линии стремятся к бесконечности при р- 0. [c.329]

В критической области переходный слой впервые был исследован Вап-дер-Ваальсог,1 [1] термодинамическим методом. Для одночастичной функции распределения зависимость от расстояния до границы раздела была получена в виде гиперболического тангенса. Кан и Хиллиард [2] обобщили этот результат, включив в рассмотрение критические смеси. Аналогичный результат был получен в работах 3, 4], но уже в рамках. статистической механики. При этом. было использовано приближение самосогласованного ноля. В работе [5] одночастичная функция распределения была получена, как и в работах [1, 2], квазитермодинамическим методом, но с использованием уравнения состояния, следующего из теории масштабной инвариантности [6—8]. [c.134]

Таким образом, опубликованные в литературе данные и их систематическая оценка на основе аддитивной теории для относительных величин удерживания позволяет сделать следующие заключения 1) адсорбционные явления оказывают заметное влияние на относительные величины удерживания (относительное время удерживания и индекс удерживания) 2) зависимость относительных величин удержива1шя от содержания фазы на ТН хорошо огшсывается линейными уравнениями типа (11.12) и (11.17). Поэтому представлялось целесообразным рассмотреть возможность использования этих уравнений для получения новых величин удерживания более инвариантных, чем традиционно используемые величины удерживания (относительное время удерживания, индекс Ковача), которые являются функцией отношения приведенных времен удерживания или разности их логарифмов. Отметим, что возможность такого подхода заложена в самих уравнениях (11.12) и (11.17). Действительно, первые члены этих уравнений Vгы = К1/Кы1 или /о, представляют собой функцию не времен удерживания, а констант распределения хроматографируемого соединения и стандарта для системы газ - НЖФ. Поэтому следует ожидать, что эти величины должны быть более помехоустойчивыми относительно изменений экспериментальных условий и не зависеть от адсорбции в хроматографической системе. Использование этих величин, которые были названы инвариантными, должно было бы также суп ественно повысить межлабораторную воспроизводимость величин удерживания. [c.45]

Как отмечалось в 1, полная волновая функция и рассчитанные свойства молекул при использовании точных уравнений ] 10 ЛКАО инвариантны, т. е. не зависят от ортогональных преобразований базисного набора. В необходимой степени эта инвариантность должна сохраняться и в приближенных методах. Рассмотрим, каковы свойства приближения НДП по отношению к нреоб-разованиям типа 1 и 2, введенным в 1. [c.48]

Различные наборы пробных функций для Я и H чаще всего используются скорее неявным, чем явным образом. Пример явного их использования дает нам применение калибровочно инвариантных атомных орбиталей при наличии однородного магнитного поля (обширная библиография содержится в работе [6]). Точнее говоря, их следовало бы называть калибровочно ковариантными атомными орбиталями, поскольку при калибровочном преобразовании (23) они изменяются в полном соответствии с условием (25). Однако соответствующие гипервариальные теоремы (см. 16) выполняются не всегда [7]. Весьма показательный пример неявного использования различных множеств возникает в связи с геометрическими свойствами А , особенно в случае двухатомных молекул. Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторую отдельную молекулу, [c.114]

Приведем несколько очевидных примеров множеств пробных функций, инвариантных по отношению к изменению интересующих нас параметров ст. Во-первых, таковыми являются множества пробных функций в большинстве приблюкений типа Хартри — Фока (НХФ, СНХФ, ОХФ, многоконфигурационные приближения Хартри — Фока и т. д.), поскольку обычно здесь нет никаких априорных ограничений на зависимость спин-орбиталей от возможных параметров ст, подобных заряду ядер, ядерной конфигурации, напряженности внешних полей и т. д. Во-вторых, указанному классу принадлежат множества пробных функций в приближениях типа ССП, если базисные спин-орбитали не зависят от ст, причем обычно это так и происходит для большинства параметров ст, за исключением координат ядер (а также магнитных полей при использовании калибровочно инвариантных атомных орбиталей, упоминавшихся в 13). В-третьих, таковыми же будут линейные пространства, в которых базисный набор не зависит от ст. [c.127]

Однако, как и в случае импульса Р, столь нзош,ренная процедура может и не быть обязательной, потому как зачастую силовые теоремы удовлетворяются просто по сообра кенпям симметрии. Рассмотрим вновь для примера изолированный атом. Поскольку Г меняет свой знак нри инверсии относительно ядра, то, если г 5 будет обладать определенной четностью относительно этой инверсии, величина (4 , Ггр) обратится в нуль. Кроме того, при тех же условиях симметрии, что и для соответствующих импульсных теорем из предыдущего параграфа, имеет место следующее утверждение. Рассмотрим изолированную двухатомную молекулу либо двухатомную молекулу в электрическом поле, симметричном относительно оси, проходящей через ядра (либо атом во внешнем электрическом ноле, обладающем аксиальной симметрией). Тогда будут выполняться силовые теоремы для компонент, перпендикулярных указанной оси. Однако для компонент, направленных но оси, симметрия обычно не помогает, за исключением случая двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами. Поэтому, чтобы удовлетворить силовой теореме вдоль осп, обычно необходимо использование множества пробных функций, явным образом инвариантного относительно трансляции но этой оси. [c.141]

Следовательно, при использовании в случае такого же хмножества пробных функций, как и в случае Н, и при условии его инвариантности по отношению к U унитарная инвариантность ( без всяких ограничений) будет обеспечена. [c.304]

Ниже показано, что отмеченные затруднения могут быть преодолены за счет конкретизации структуры временных иерархий, определяющих релаксацию в реофизически сложных средах. Проведен анализ экспериментальных данных, который показывает, что распределение времен релаксации в этих средах может оказаться масштабно - инвариантным, т.е. иметь фрактальную структуру. Показано, что наличие временной фрактальности позволяет облегчить описание процессов релаксации, приводя на больших временах к универсальным релаксационным функциям достаточно простого вида [224]. Показано также, что в ряде случаев возможно использование реологических моделей, содержащих производные дробного порядка. [c.122]

Инвариантность автокорреляции R At) но глубине потока (рис. 2.7) для z h> 0,15 позволяет сделать вывод о том, что продольный пространственный макромасштаб турбулентности в основной толще потока пропорционален осредненной местной скорости течения. Аналогичный вывод сделал Е. М. Минский [100] на основе анализа экспериментальных данных. Постоянство автокорреляции R At) потока за пределами вязкого подслоя обнаруживается также по экспериментальным данным, полученным Лау-фером [180], Шубауэром и Клебановым [194], Ж. Конт-Белло и др. Инвариантность автокорреляции R At) по глубине потока позволяет получить более надежные данные по продольным макромасштабам турбулентности сопоставлением автокорреляций, осредненных по г/Л. Это повышает надежность и точность вычисления автокорреляционных функций вследствие использования более представительных статистик. [c.53]

Допустимость использования упрощенных процедур здесь оправдана инвариантностью характеристик переноса загрязнений в зоне аэрации по отношению к миграционному процессу в нижерасположенном водоносном горизонте. Исключение составляет малоинтересный для нас класс задач, в которых должно учитываться изменение уровня сравнительно неглубоко залегающих подземных вод, приводящее к заметной трансформации режима влагопереноса. Если же такой обратной связи нет, то выходная концентрационная функция являющаяся решением задачи субвертикального соле-влаго-переноса в ненасыщенной зоне, используется для независимого расчета величины массового потока (f через верхнюю границу (кровлю) водоносного горизонта [c.594]

Основные положения теории — температурная инвариантность характеристических кривых, выражающих зависимость дифференциальной мольной работы адсорбции от заполненного объема адсорбционного пространства и аффинность характеристических кривых для различных паров. На основании уравнения характеристической кривой и методов вычисления мольных объемов адсорбированных веществ н коэффициентов аффинности характеристич1еских кривых получено уравнение адсорбции, описывающее адсорбционные равновесия различных паров в широких интервалах температур и давлений. Термодинамический анализ основных положений теории с использованием полученнсго уравнения адсорбции позволил установить границы применения теории и дать выражения для термодинамических функций — дифференциальной мольной теплоты адсорбции и дифференциальной мольной энтропии адсорбции. Приведены примеры вычислений адсорбционных равновесий и теплот адсорбции на основе минимальной исходной экспериментальной информации. [c.226]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология