Примеры решения уравнения Шредингера

Решение уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика. Решения уравнения Шредингера в задачах, встречающихся в теории атома и молекулы, являются весьма сложными они не могут быть получены в этой книге. Однако, чтобы понять характер рассматриваемых ниже,результатов квантовомеханического изучения атома, стоит разобрать решение уравнения Шредингера на более простых примерах. Поэтому мы решим его для некоторых воображаемых систем. [c.29]

Рассмотрим особенности метода МО ЛКАО на примере молекулярного иона Нг —самой простой из двухатомных молекул, содержащей один-единственный электрон. Для нее выполнено точное решение уравнения Шредингера. Оно дает значения и совпадающие с опытом. Это показывает, что принципиально уравнение Шредингера применимо для описания поведения электрона не только в атомах, но и в молекулах. [c.62]

Рассмотрим особенности решения уравнения Шредингера на примере наиболее простых частных случаев. [c.14]

Для водородоподобных атомов, даже если не учитывать возмущения, вносимого электронами на состояние рассматриваемого электрона, общее выражение решения уравнения Шредингера довольно сложно. Однако для собственных функций с небольшими значениями п, I, и т эти выражения имеют сравнительно простой вид. В табл. 24 приведены некоторые из этих выражений для водородоподобного атома с зарядом ядра 2е (е — абсолютная величина заряда электрона, Z — атомный номер химического элемента). В таблице приняты следующие обозначения ао — радиус первой боровской орбиты для атома водорода, равный к 1те = 0,529 А р = 2г/ао, т. е. р есть расстояние электрона от атомного ядра, выраженное в единицах яо/2. Примеры атомных орбиталей показаны на рис. 227. [c.191]

Химическая связь, как показали в свое время на примере молекулы водорода Гейтлер и Лондон, образуется за счет увеличения (но сравнению с невзаимодействующими атомами водорода, находянщмися на том же расстоянии, что и в молекуле) электронной плотности между атомами. Это увеличение в расчетах по методу МО учитывается с помощью так называемых интегралов перекрывания. Электроны в основном состоянии молекулы занимают орбитали с наи-низшей энергией. На каждой орбитали может находиться по два электрона с нротивополоншыми спинами. Здесь к этой общеизвестной школьной модели добавляется одна тонкость. Вследствие электростатического взаимодействия электроны отталкиваются, в результате чего даже два электрона, находящиеся на одной и той же молекулярной орбитали, имеют тенденцию двигаться по возможности на большем удалении друг от друга. Решение уравнения Шредингера для атома водорода облегчается тем, что единственный электрон 1 этого атома обладает сферической симметрией. В атоме гелия атомная орбиталь вследствие взаимного отталкивания двух электронов 1 уже не обладает сферической симметрией, и с этим связаны трудности в расчетах распределения электронной плотности в атоме гелия. Энергия корреляции движения электронов может достигать примерно 20% общей электронной энергии молекулы и в расчетах учитывается с помощью интегралов электрошого отталкивания . Кроме того, в молекуле существует еще конфигурационное взаимодействие — взаимодействие между самими молекулярными орбиталями. Волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, аналогична по своей записи уравнению для волновой функции, приведенному в 1 этой главы, однако вместо <рг волновых функций атомных орбиталей в ее выражение входят Ф, — волновые функции атомных или молекулярных конфигураций . Под конфигурацией понимается способ распределения электронов по атомным (в атоме) или молекулярным орбиталям (в молекуле). Поясним это понятие на простом примере атома лития, имеющего 1 и электрона. В зависимости от того, находится ли атом в основном или в возбужденном состоянии, электроны по-разному располагаются на двух орбиталях 1 22х и 1 2 2. Таким образом, полная волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, для атома лития будет иметь вид [c.91]

Чтобы понять квантово-механическое объяснение строения атома, следует рассмотреть решение уравнения Шредингера на простых примерах. [c.220]

Для многоэлектронных структур, как и для многоэлектронных атомов, точное решение уравнения Шредингера (см. 3.4) не найдено и в связи с этим применяют приближенные решения. Приближенное решение уравнения Шредингера на примере образования молекулы водорода На впервые выполнено в работе В. Гейтлера и Ф. Лондона в 1927 г. Ими использован метод расчета двухэлектронного атома гелия, развитый Гейзенбергом. [c.97]

Межатомное расстояние является одной из наиболее важных молекулярных констант наряду с энергией связи Е и силовой константой k. Между этими тремя характеристиками химической связи существует тесная взаимозависимость, которая обусловлена тем, что равновесная конфигурация ядер в молекуле возникает в результате баланса сил притяжения и отталкивания. Поскольку не удается получить в общей форме решение уравнения Шредингера для многоатомных молекул, то усилия исследователей концентрируются на поиске различных эмпирических соотношений между Е, г и k. Приведем несколько наиболее простых примеров [c.141]

Наконец, еще один пример, который был фактически рассмотрен выше если потенциал для квантовой системы явно от времени не зависит, то волновую функцию, являющуюся решением уравнения Шредингера, можно записать в виде произведения двух сомножителей, из которых один зависит только от времени, а другой (функция ф) - только от пространственных переменных. Сомножитель является решением стационарного уравнения Шредингера [c.47]

В качестве примера рассмотрим распадный процесс из 4.6 в терминах основного кинетического уравнения. Вероятность распада у за единичное время является свойством радиоактивных ядер или возбужденных атомов и в принципе может быть рассчитана путем решения уравнения Шредингера для этой системы. Чтобы найти эволюцию на больших временах набора излучателей, запишем вероятность Р(п, t) того, что имеется п излучателей, выживших к моменту времени t. Вероятность перехода от п к п за короткое время At дается выражением [c.103]

Теперь мы рассмотрим решения уравнения Шредингера для четырех простых систем 1) частица в ящике, 2) гармонический осциллятор, 3) жесткий ротатор и 4) атом водорода. Эти примеры показывают, насколько предсказания квантовой механики отличаются от результатов классической механики. [c.375]

Рассмотрение вращательного движения показывает, с какими трудностями приходится сталкиваться при решении уравнения Шредингера или вычислении суммы по состояниям даже в относительно простом случае механического взаимодействия. Кроме этого, на примере заторможенного вращения показано, что теплоемкость системы с постоянным числом эффективных степеней свободы может уменьшаться с увеличением температуры после прохождения через максимум даже в том случае, когда система имеет бесконечное число возбужденных энергетических состояний (см. разд. П1.6). [c.43]

Статистический характер квантовой механики удобно пояснить на примере атома водорода, состоящего из одного единственного электрона, движущегося вокруг сравнительно тяжелого ядра. Классическая физика, дополненная квантовыми условиями Бора, позволяет точно вычислить те. дозволенные орбиты, на которых электрон может находиться, и точно найти скорость электрона на каждой из них и в каждой точке (эти орбиты имеют форму эллипсов, близких к кругам). Эта точность однако оказывается призрачной. Согласно квантовой механике электрон может находиться в любой заданный момент в любой части пространства вокруг ядра, так как в согласии со сказанным выше, величина ф во всем пространстве конечна и непрерывна. Однако вероятность встретить электрон различна для разных мест,- Она измеряется квадратом амплитуды который в разных местах имеет очень различные величины. Решение уравнения Шредингера для данного случая показывает, что максимумы т. е. вероятностей, лежат на кривых, отвечающих орбитам Бора. Последние таким образом отвечают не единственно возможным положениям электрона, а лишь наиболее вероятным. [c.73]

В 2.3 показано, что при условии совершенно свободного выбора пробных функций уравнение Шредингера имеет смысл уравнения Эйлера вариационной задачи. Но на примере вариационного расчета энергии основного состояния атома Li мы убедились, что для получения правильных аппроксимаций решений уравнения Шредингера, верно описывающих физическую реальность, пробные функции нельзя выбирать совершенно произвольно, необходимо учитывать ограничения, налагаемые запретом Паули. Природа, так сказать, не терпит свободного варьирования, она предпочитает варьирование с ограничениями. Пробные функции Хартри—Фока для одноэлектронных орбиталей, строящиеся с учетом принципа Паули и других ограничений, позволяют создать модели молекул, отражающие реальную действительность. [c.54]

Энергия связи находится при решении волнового уравнения Шредингера. В качестве примера рассмотрим молекулу водорода. Чтобы вычислить энергию связи двух атомов молекулы На, нужно определить их потенциальную энергию [/(Я) как функцию расстояния между центрами атомов. Эта энергия складывается из энергии кулоновского отталкивания ядер и энергии электронов Е(Я), которая зависит от расстояния между ядрами и поэтому входит в потенциальную энергию взаимодействия двух атомов. Искомая энергия равна [c.123]

Уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие вышеперечисленным условиям не при всех значениях постоянной Е, а только при некоторых ее значениях, которые назы ваются собственными. Каждому собственному значению эне ГИИ Еп соответствует собственная волновая функция x pnix, у, z). В качестве примера решим уравнение Шредингера для простейшего случая движения свободного электрона в одномерном потенциальном ящике длиной L с бесконечными стенками [c.22]

Мы начнем изложение с рассмотрения несложной задачи, на примере которой можно проиллюстрировать методы нахождения точных решений уравнения Шредингера для простых систем и в то же время показать, почему для других систем получить точные решения не удается. Рассмотрим, атом водорода — систему, состоящую из двух частиц, протона и электрона, движущихся под действием взаимного кулоновского притяжения. Для простоты примем, что атом закреплен так, что протон жестко фиксирован в начале нашей системы координат впоследствии мы рассмотрим уточнения, которые необходимо ввести для учета свободного движения атома (см. рис. 2.1). [c.41]

Существует бесконечное число решений уравнения Шредингера, но, как было показано в гл. 3, следует ограничиться теми, которые удовлетворяют требованиям конечности, непрерывности и однозначности. Действие этих ограничений можно проиллюстрировать, рассмотрев одно возможное решение волнового уравнения, которое зависит только от угла ф. Примером такого решения будет функция [c.39]

Атом гелия — простейший пример многоэлектронного атома, для которого невозможно получить точное решение уравнения Шредингера. На примере атома гелия можно испытать методы, применяемые для получения приближенных решений этого уравнения. Будет видно также, что в этом случае удается получить результаты, точность которых совпадает по крайней мере с точностью эксперимента. [c.172]

В предыдущих двух параграфах вариационный метод рассматривался нами как математическое средство приближенного решения уравнения Шредингера пример, приведенный в виде упражнения 2.1, ясно показал, что если пространство пробных функций содержит точные решения, то вариационный метод позволяет их найти. Имея в виду это обстоятельство, рассмотрим следующие две задачи (задачи А и Б). [c.38]

Рассмотрим на примере трехэлектронной системы ограничения на решения уравнения Шредингера, вытекающие из инвариантности гамильтониана относительно перестановок электронов. Применяя к данному случаю соображения, изложенные в 4.2,. заключаем, что решения уравнения [c.91]

В простых случаях, и с разумно выбраной пробной собственной функцией, результаты вариационного метода тождественны с результатами, полученными путем решения уравнения Шредингера. В качестве примера рассмотрим гармонический осциллятор, для которого оператор Гамильтона имеет вид [c.133]

Пусть адиабатический потенциал г Qi, Ск) нелинейной симметричной молекулы, являющийся формальным решением электронного уравнения Шредингера, имеет несколько пересекающихся в точке ветвей. (Для примера, на рис. 24 представлен случай двукратного вырождения, т. е. когда двум электронным состояниям Ф[ и Фг нелинейной симметричной молекулы отвечают в точке С одинаковые значения г , т. е. имеет место пересечение ветвей адиабатического потенциала). Тогда в этой точке потенциал не имеет минимума. Иными словами, для нелинейной симметричной многоатомной системы в случае электронного вырождения всегда найдутся такие ядерные смещения, для которых (дг дQ)Qo ф 0. [c.112]

Пример 4. В органической химии используется метод определения энергетических уровней молекулярных орбит, в основе которого лежит решение волнового уравнения Шредингера [37] [c.279]

Главной задачей химика, как я ее себе представляю, — пишет Гаммет, — является умение предвидеть и управлять ходом реакции (там же). Но не уравнение Шредингера, ставшее воплощением теоретического ключа ко всем проблемам химии , считает он отправным пунктом решения этой задачи. Квантово-механические методы расчета молекул предоставили химикам большие возможности объяснения реакционной способности веществ. Но это не означает, что они решили все проблемы химии. Гаммет иронизирует по поводу чрезмерного преклонения даже перед такой точной теорией, как теория молекулярных орбиталей. Если кто-нибудь начнет искать эффект, который подобная теория считает невозможным, то мало будет шансов в пользу благоприятного исхода. К счастью, среди ученых... встречаются люди, предполагающие заключать пари против шансов... Я думаю, что в науке мы должны всячески поддерживать людей, решившихся на риск при подобных неравных шансах [32, с. 12]. Вместе с тем, он предостерегает против поддержки тех, кто игнорирует наилучшие из известных примеров точных теорий , каковыми он называет в первую очередь термодинамические теории, а вслед за ними математические обобщения кинетических исследований. С теоретической точки зрения, — говорит Гаммет, — кинетические исследования представляют собой инструмент, необходимый для превращения расплывчатых качественных представлений, которыми так богата химия, в систематические количественные зависимости [32, с. 76]. [c.155]

Атом водорода —простейший из всех, которые изучает химия. Решение уравнения Шредингера для него позволило определить стационарные состояния атома, рассчитать его спектр и распределение электронного заряда внутри атома и обьяснить на основе этого его химическое поведение. Обобщение получеггных выводов в сочетании с некоторыми добавочными принципами позволило понять физическую сущность периодического закона и объяснить химические свойства элементов. Поэтому знакомство с химическими системами начинаем с атома водорода и водородоподобных атомов (одноэлектронных атомов с зарядом ядра 4-Ze). Примером водородоподобных систем служат ионы Не , Li +, Ве - и т. д. [c.16]

В качестве второго примера рассмотрим осциллятор. В гл. Vni эта задача решалась приближенно. Точное решение может быть получено на основе уравнения Шредингера. Так как в осцилляторе U=kx l2, то это уравнение принимает следующий вид [c.303]

Рассмотрим особенности метода МО ЛКАО на примере молекулярного иона Нз , самой простой из двухатомньЬс молекул. Молекула Нз — молекулярный ион водорода образуется в разрядных трубках, наполненных водородом, в низкотемпературной плазме. Это устойчивая с физической точки зрения частица. Исследование спектра позволило определить ее основные параметры межъядерное расстояние гДН/) = = 1,0610" ° м (1,06 А) и энергию диссоциации /)о(Н2 )=255,96 кДж (2,65 эВ). Молекула Н парамагнитна. Так как молекула Н содержит один-единственный электрон, волновая функция и дозволенные энергетические уровни (энергетический спектр) могут быть найдены при решении уравнения Шредингера. Точное решение достаточно сложное, чтобы его приводить здесь, дает значения г, и Д, совпадающие с опытом. Это показывает, что принципиально уравнение Шредингера применимо для описания поведения электрона не только в атомах, но и в молекулах. [c.92]

Предшествующие главы были в основном посвящены изучению стационарных задач, по крайней мере в тех случаях, когда разбирались конкретные примеры. Ниже будут коротко обсуждены те наиболее существенные аспекты, которые присущи задачам, требующим решения нестационарного (временного) уравнения Шредингера. [c.174]

Решение уравнения (П.41) позволяет определить С], Сг,. .. при которых энергия системы минимальна. В этом случае функция г 5мол, представленная суммой (П.40), наиболее близка к истинной волновой функции, являющейся решением уравнения Шредингера (П.8). Примеры такого подхода рассматриваются в специальной литературе. [c.81]

В качестве примера решения уравнения Шредингера рассмотрим задачу об электроне, заключенном в прямоугольную потенциальную яму с шириной а и бесконечной глубиной (рис. 2.1.). Хотя для этого случая вычисления очень просты, результаты их иллюстрируют некоторые важные свойства квантовомеханических систем квантование энергии, наличие квантовых чисел и так называемой нулевой энергии. Эта задача о частице в потенциальном яш ике является основох приближения свободных электронов в методе молекулярных орбиталей, которое обсуждается в гл. 15. [c.27]

Теория Гориути — Поляни содержит допущение, согласно которому распределение электронов адиабатически следует за изменением положения тяжелых частиц. Таким образом, приведенные на рис. 150, а кривые следует называть не потенциальными кривыми, а электронными термами. Понятие электронного терма включает в себя потенциальную энергию медленных (тяжелых) частиц и полную энергию электронов. Различие между электронным термом и истинной потенциальной кривой проще всего проиллюстрировать на примере иона в газовой фазе, где два протона, находящиеся на расстоянии Я друг от друга, связаны единственным электроном. Истинная потенциальная энергия этой системы и=еУЫгаН (во— диэлектрическая проницаемость вакуума) и ее зависимость от показана кривой 1 на рис. 151. Полная энергия электрона в системе На+ также зависит от Эта зависимость, рассчитанная на основе решения уравнения Шредингера, представлена кривой 2 на рис. 151. Кривая 3 на рис. 151 отражает зависимость элект- [c.278]

Какая структура преобладает Две формы конкурируют между собой. При образовании структуры с углом 90° не затрачивается энергии промотирования, но при этом связи более слабые, так как они образуются из негибридизованных р-орбиталей. Чтобы получить линейную структуру, требуется затратить энергию промотирования, но образуются более сильные связи, поскольку в области связывания перекрывание увеличено. Конфликт разрешается тем, что. молекула принимает форму с промежуточным значением угла между связями, меньшим, чем ШО" , ио большим, чем 90°. Экспериментальная величина 104,45° согласуется с этим, а детальный количественный расчет полпого баланса всех витов энергии (г. е. точное численное решение уравнения Шредингера для НгО) приводит к точно такой же величине, В приведенном ниже примере [c.532]

Лучше всего это проиллюстрировать на конкретном примере. Возьмем атом водорода в низшем (основном) состоянии. Для этого случая решение уравнения Шредингера приводит к волной функции вида 14 = (1/мо ) ехр(-гЛзо), где ао=0.5Ъ А - раднус Бора, г - расстояние от центра ядра. С помощью этого уравнения можно рассчитать, что вероятность (пропорциональная найти электрон внутри небольшой сферы объемом 1 им (около 1/100 объема атома) в точке, отстоящей на 0.5 А от ядра, составляет 15% от вероятности найти электрон у самого ядра, а вероятность найти электрон иа расстоянии 1 мм от ядра столь мала (десять в стенеин -(10 )), что ею можно полностью пренебречь. Однако конечная вероятность найти электрон даже в 1 км от ядра не равна нулю. [c.8]

Коэфициент прохождения для поверхности, где имеют место колебательные переходы, может быть рассчитан на примере канала с вертикальными параллельными стенками, который делает поворот на 90°. Здесь, как и в случае, когда мы имели дело с прямым параболическим каналом, необходимо соединить решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей, показанных на фиг. 37. Если ширина канала / и начало координат находятся на внешнем угле, тогда для х I, 0 у 1 имеется входящая волна, движущаяся налево, на которую накладывается ряд отраженных волн, дви1 ающихся направо, так что волновая функция имеет вид [c.431]

Раз уж мы удостоверились, что квантовая механика объясняет свойства атомов и молекул, то нам подобает приспособить ход наших рассуждений к этой модели. Атом водорода —это пример, из которого можно получить наибольшее количество информации, ибо для него возможно точное решение уравнения Шредингера. Ни для какой другой системы из атомов (или молекул), включающей два или более электрона, точного решения нет, хотя можно ввести приближения, которые позволят подойти очень близко к истинным решениям. Такие многоэлектронные атомы будут рассмотрены в гл. 2, когда можно будет воспользоваться всемиТпреимуществами четкого понимания строения атома водорода. [c.35]

Лишь в случае немногих задач, помимо относящихся к стационарн[,1М состояниям, отыскивается полное решение уравнения Шредингера, зависящего от времени. Однако есть простой и поучительный пример такой методи- и, с которым мы познакомимся, прежде чем перейдем к рассмотрению более часто применяемых методов. [c.397]

Молекулярный ион водорода представляет собой простейший пример молекулы, так как он обладает единственным связывающим электроном. Этот ион образуется в электрическом разряде в атмосфере водорода, и его свойства хорошо известны из спектроскопических исследований. Равновесное межъядерное расстояние составляет 1,06 А, а энергия диссоциации равна 2,78 эВ, или 64,10 ккал/моль. Уровни энергии и электронные плотности молекулярного иона водорода можно рассчитать с любой желаемой степенью точности, потому что в этом случае уравнение Шредингера имеет точное решение. Координаты трех рассматриваемых частиц указаны на рис. 14.1. В приближении Борна —Оп-пенгеймера оператор Гамильтона записывается как [c.427]