Линейные уравнения в конечных разностя

Сущность метода Биндера — Шмидта заключается в том, что уравнение неустановившегося потока в частных производных преобразуется в уравнение конечных разностей. Рассмотрим плиту (например, кирпич) толщиной Ь (площадь поперечного сечения Р), через которую осуществляется нестационарный теплоперенос. Следовательно, изменение температуры вдоль толщины плиты Ь будет происходить не линейно, а по какой-либо, также изменяющейся во времени, зависимости (рис. 14-1). Толщину плиты Ь можно представить состоящей [c.296]

Так как точное аналитическое решение большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений, даже если они линейны, представляет значительные трудности и едва ли возможно, если уравнения нелинейны, то должны быть использованы приближенные методы решения. Метод конечных разностей позволяет решить эту задачу. Решение задачи нестационарного режима теплопередачи — это, по существу, выбор начальных значений температуры. Иначе говоря, если известна температура 0 в некотором узле / для момента времени т, то определяется температура 0,- того же узла I, ио для времени т -Ь Ат, где Ат— произвольно принятое при- [c.270]

Метод конечных разностей. Пусть имеется линейное дифференциальное уравнение [c.380]

Линейные уравнения в конечных разностях [c.65]

Как и R случае линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного уравнения в конечных разностях есть сумма общего решения соответствующего неоднородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения. [c.176]

Уравнение (71) есть линейное уравнение в конечных разностях. Вспомогательное уравнение составляет [c.291]

В настоящее время лишь незначительное число нелинейных уравнений в конечных разностях могут быть решены аналитически и они решаются только потому, что могут быть приведены к линейным уравнениям. [c.295]

Равенство (93) есть линейное уравнение в конечных разностях, [c.296]

Решая это линейное уравнение в конечных разностях методом, приведенным в 12, получим [c.301]

Схема циклов нагружения (рис. 4.6) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач — методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и значения местных упругих или упругопластических напряжений или деформаций. По этим распределениям могут быть определены номинальные напряжения или деформации, которые в дальнейшем используют при оценках прочности и ресурса. Вместе с тем следует признать, что для многих режимов и вариантов геометрических форм элементов конструкций такие расчеты чрезвычайно трудоемки, а их точность определяется заданием исходных краевых условий — по усилиям, температурам, физико-механическим свойствам материалов. [c.136]

Современному аналитику часто приходится участвовать в проведении такой важной операции, так математическое моделирование, т. е. представление системы и всех ее подсистем (компонент) в математической форме. Тип модели, которая разрабатывается для представления какой-либо определенной физической системы, зависит от постановки задачи и налагаемых ограничений. После того как сформулирована базисная качественная модель, математические уравнения для модели могут быть выведены из фундаментальных физических принципов или из экспериментов, проводимых с компонентами системы. В общем случае математические уравнения, описывающие систему, могут иметь различную форму это могут быть линейные или нелинейные уравнения, обычные или дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях и другие уравнения. Если информацию предполагается получить из модели, то уравнения, записанные одним из указанных выще способов, необходимо рещить. Однако многие из этих уравнений не имеют аналитического (в математическом смысле) рещения. Вследствие этого рассматриваемая область является именно той областью, где существенную роль играют численные методы ОД при помощи компьютера. Типичные примеры таких методов описаны в литературе [56— 59]. Так, в статье [59] обсуждаются численные методы решения уравнения диффузии — конвекции, описывающего дисперсию в цилиндрической трубке, которая играет важную роль в аналитических методах, основанных на весьма популярной в настоящее время методике анализа в потоке. [c.380]

Если дифференциальные уравнения линейны, исследование сходимости системы уравнений в конечных разностях, которыми они могут быть заменены, не представляет труда. Обычно невозможно проводить исследования, если дифференциальные уравнения (167) являются нелинейными. В этом случае лучше всего использовать методы интегрирования, при которых система уравнений в конечных разностях для линейных дифференциальных уравнений хорошо сходится. При этом мы можем надеяться, что методы приведут к сходимости и в случае нелинейных дифференциальных уравнений. [c.230]

В этом случае не затрагиваются вопросы сходимости уравнений в конечных разностях. В каждом интервале нелинейные уравнения (274) заменяются линейной аппроксимацией (275). В начале каждого интервала уравнение (275) согласуется с (274). Решение уравнений (275) может продолжаться сколь угодно долго, при этом не возникает никаких вопросов по сходимости. Ограничение касается только длины интервала времени его минимальное значение определяется из условий хорошей аппроксимации уравнений (274) уравнениями (275) на всем интервале времени. [c.262]

Задачи о распределении тока решаются аналитически обычно в случаях простой геометрии и в отсутствие поляризации или при линейной зависимости тока от потенциала. Использование некоторых аналитических решений облегчается вычислением интегралов и бесконечных рядов с помощью ЭВМ. В ряде методов, например в методе Вагнера, использующем интегральное уравнение, или при решении в виде бесконечных рядов с неопределенными коэффициентами, необходимо прибегать к численному нахождению распределения тока на электроде или коэффициентов ряда. Такие методы менее трудоемки и дают более точные результаты по сравнению с численным решением уравнения Лапласа методом конечных разностей. [c.385]

Даже довольно сложные и имеющие важное значение в технике химические реакции относятся к категории реакций, для которых уравнение скорости будет линейным. В других случаях уравнение скорости может быть линеаризовано в окрестности рабочей точки, т. е. в области, где необходима количественная информация для построен и я системы автоматического регулирования химической реакции. Для объяснения динамических свойств химических реакций использую г уравнения в конечных разностях, а также численные методы расчета. [c.292]

В пределах изменения концентраций на одной тарелке соответствует линейной равновесной зависимости у = тх, локальная эффективность по всей площади барботажа постоянна объемные расходы жидкой и газовой фаз во времени и по всему поперечному сечению рабочей части тарелки постоянны межтарельчатый унос жидкости не учитывается. Система расчетных уравнений, учитывающая балансы материальных потоков и кинетику процесса массопередачи, определяемую локальной эффективностью (т]оу), решалась методом конечных разностей. Эта система имеет вид [c.350]

В заключение краткого обзора тарелочной теории отметим, что в ряде случаев искусственная замена непрерывного динамического процесса прерывным приводит к тому, что вычисленные характеристики сорбционного процесса не соответствуют наблюдаемым в действительности. В связи с этим была предпринята попытка найти компромиссное решение в рамках этой же теории, а именно, было предложено, оставляя нетронутым предположение о конечном числе элементарных слоев, рассмотреть случай непрерывной подачи раствора в систему [ ]. Анализ такого процесса приводит к дифференциальным соотношениям вместо уравнений в конечных разностях. Для линейной изотермы соответствующее уравнение выведено Глюкауфом [c.303]

Поскольку в уравнение стадии входит (учитывается) одна или несколько молекул исходного вещества или конечного продукта и одна молекула (или часть ее, например радикал, ион и т. д.) промежуточного продукта, то для ребер, примыкающих к одной вершине, промежуточные продукты будут общими. Если в этом случае уравнения стадий по какому-либо циклу графа сложить между собою, принимая стехиометрические числа равными разности чисел прохождений ребра в прямом и обратном направлениях, то промежуточные продукты выпадут из суммы. В результате получим суммарное уравнение скорости реакции, которое можно рассматривать как уравнение, соответствующее маршруту сложной стационарной реакции. Среди множества циклов графа могут быть такие, которые дадут линейно зависимые суммарные реакции. Число линейно независимых циклов, называемых базисными циклами [98], определяется цикломатическим рангом (цикломатическим числом) графа. Обычно механизм сложной реакции изображается плоским графом, для которого цикломатическое число равно числу конечных граней. Края этих граней определяют базисные циклы (базисные маршруты). Очевидно, что базисные маршруты как линейно независимые циклы, образованные конечными гранями, являются минимальными циклами. [c.102]

Очевидно, что, если тепловой эффект лимитирующей стадии химической реакции определяется разностью нулевых колебательных уровней реагирующих связей, для более экзотермического процесса потенциальная кривая конечного продукта будет расположена ниже, чем для менее экзотермического. При этом также снизится и характеризующая энергию активации точка пересечения (см. рис. 1.1). Поэтому между тепловым эффектом (3 и энергией активации химических реакций Е должна существовать некоторая корреляция, которая во многих Случаях описывается линейными эмпирическими уравнениями вида [c.17]

Рассмотрим систему, в которой мембрана разделяет два раствора конечных объемов, и будем считать, что в системе происходит необратимый процесс (сводящийся к двум потокам), который описывается линейными соотношениями. В этом случае поток вещества (или объема) можно связать с изменением сопряженной силы посредством геометрического (или емкостного) фактора. Например, поток объема приводит, очевидно, к изменению разности давлений по разные стороны. мембраны, если резервуары, содержащие растворы, представляют собой вертикальные колонны конечных размеров. Следовательно, поток объема может быть приравнен произведению полон ительного коэффициента (фактора емкости), определяемого геометрией системы, на скорость падения разности давлений [ср. уравнение (125)]. Подобные рассуждения применимы к потоку соли и к величине [c.488]

Аналитическое решение уравнений в конечных разностях (8) и (9) для линейного случая дано Слейчером [4]. Оно может быть представлено в форме [c.176]

Несколько другой подход использован в работе [82], где использован метод кусочно-линейной аппроксимации равновесной зависимости. Этот метод представляет собой модификацию метода конечных разностей и ему присущи все недостатки последнего, а именно, возможность нарушения устойчивости решения при существенной нелинейности равновесной зависимости и необходимость разбиения равновесной линии на очень большое число отрезков. В работе [83] для расчета колонных экстракторов с продольным перемешиванием при нелинейном равновесии использован метод неустановившегося состояния, который является аналогом метода, использованного в работе [84] для расчета реактора, в котором проте сает последовательная реакция. В неустановившемся состоянии уравнения ячеечной модели с обратными потоками имеют вид [c.127]

А. А. Жуховицкий, Я. Л. Забежипский и А. Н. Тихонов [53, 61, 137] разработали теорию динамики неравновесной молекулярной сорбции газов и паров. В качестве изотерм сорбции были взяты уравнения линейной изотермы и изотермы Ленгмюра, в качестве уравнения кинетики сорбции — уравнение диффузионной кинетики сорбции. Для начальных стадий динамической сорбции оказалось невозможным получить точное аналитическое решение задачи. Поэтому динамические кривые распределения для стадии формирования фронта рассчитывали методом конечных разностей. Для стадии параллельного переноса фронта было получено асимптотическое решение в аналитической форме. [c.22]

При решении систем дифференциальных у эавнений (1) и (2) применена неявная разностная схема [2, с. 401. Преобразуя уравнения систем (1) и (2) с помощью этого метода, получим систему линейных уравнений в виде конечных разностей [c.71]

Этот способ решения является основой теории Мартина и Синга. Для ун Гощения решения выведенного илш из уравнения (1) уравнения в конечных разностях Мартин и Синг сделали ряд допущений. Единственное различие между теорией Мартина и Сиига, которую применяют специально для распределительной хроматографии, и теорией Де-Вольта, использующейся при адсорбционной хроматографии, заключается в способе решения уравнения, отражающего условие сохранения количества вещества. Если первые для решения этого уравнепия использовали метод конечных разностей, то последний для этой же цели использовал дифференциальное исчисление. Следует отметить, что теория Мартина и Синга действительна лишь для частного случая, когда функция разделения линейна. [c.50]

Использование режимно-балансовых наблюдений, как опытно-фильтрационных, впервые было обосновано Г. Н. Каменским, а затем получило развитие в ряде работ [5,9] применительно к определению параметров плош адного питания, емкости пластов, а также сопротивления ложа водоемов и водотоков. Для обработки данных таких наблюдений наиболее широко применялся метод конечных разностей, а при простом строении потока (однородный, линейный в плане) использовались аналитические решения дифференциальных уравнений. В настоящее время для развития этого направления характерно широкое применение при обработке данных наблюдений эпигнозного моделирования идентификация геофильтрационной схемы и природных условий обосновывается путем сопоставления натурных и модельных элементов потока. [c.266]

Существует, однако, и другая возможность, используемая в данной работе. Мы можем составить интегральное уравнение для контрольного объема, показанного на рис. 2.4-1. Взятое совместно с допущением относительно характера изменения Ф между узлами сетки, оно дает требуемое уравнение в конечных разностях. Другими словами, уравнение в конечных разностях получается посредством выражения каждого члена исходного дифференциального уравнения в частных производных в виде среднеинтегрального значения в выбранном небольшом контрольном объеме. Достоинством такого приема является то, что в отличие от обычного метода гарантируется удовлетворение уравнения сохранения в любой части пограничного слоя. Мы сделаем допущение о линейной связи Ф и oj между узловыми точками сетки в наиравлении изменения координаты м. В направлении координаты л зависимая переменная изменяется ступенчато. Величины Ф во всем интервале от Хи до Хо, кроме точки Хи, постоянны и равны их значениям в точке Хв это согласуется с ранее упомянутым нашим предположением вычислять члены, содержащие д/да, в точке Хв- Линейный характер изменения в направлении л согласуется с методом Кранка — Николсона. [c.44]

При составлении первого уравнения движения зоны предполагают, что в начальный момент времени = О на колонку длиной Ь вносят в виде очень тонкого слоя конечную массу вещества М и немедленно начинают элюцию так, что подвижная фаза перемещается вдоль колонки с линейной скоростью и, которую условимся называть скоростью элюцпи. Далее рассматривают бесконечно тонкий слой внутри зоны в момент I, когда максимум ее находится на расстоянии X от начала колонки. Для этого слоя составляют дифференциальное уравнение баланса, имея в виду, что скорость из.менения количества вещества в неподвижной и подвижной фазах слоя (суммарно) обусловлена разностью потока вещества на границах слоя в обеих фазах с учетом диффузии. В таком уравнении фигурируют две функции, например концентрации вещества в подвижной фазе (Ст) и неподвижной фазе (С ), и два аргумента, неявно связанные между собой,— X а 1. С помощью второго уравнения, описывающего переход вещества из одной фазы в другую, первое уравнение можно преобразовать так, что оно будет записано только для одной функции, например С . Пнтересуясь формой зоны в тот момент, когда она подходит к концу колонки, можно положить X = Ь. Тогда получается дифференциальное уравнение для = / [1), т. е. описание того, как [c.26]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология