Частные производные свойства

Как и ньютоновские уравнения движения, уравнение движения электрона не имеет вывода все они являются последовательными математическими описаниями определенных явлений природы. Однако для электрона окончательная форма уравнения довольно сложна. Эю обусловливается, по-видимому, тем, что в нем отражается сочетание ряда различных сторон явления. Окончательное уравнение должно отражать волновой характер электрона и вероятностный характер наших измерений. Это вынуждает нас воспользоваться волновым уравнением и попытаться придать ему корпускулярный характер с помощью соотношения де Бройля. Для учета волновых свойств электрона в нашем уравнении воспользуемся общим уравнением волнового движения в частных производных (2-7) или в более простой форме (2-7а). [c.48]

При необходимости вычисления частных производных свойства Е по глубине реакции Для других условий проведения процесса можно поступить следующим образом. Используя функции (3.9.1) и (3.9.2), представим полный дифференциал свойства Е в виде [c.178]

Для процессов гетерогенного катализа необходимым условием устойчивости является соблюдение неравенства XV,67) на каждом этапе теплоотвода а) внутри зерен катализатора к наружной поверхности б) от наружной поверхности зерен к потоку реакционной смеси в) от слоя катализатора к охлаждающему веществу. Условия устойчивости для этапов б и в для модели слоя идеального смешения удалось найти, используя хорошо разработанный первый метод Ляпунова. Анализ устойчивости решений этапа а этим методом проводить нельзя, поскольку стационарные состояния описываются ун<е не алгебраическими уравнениями, а дифференциальными нелинейными уравнениями второго порядка. Соответственно отклонения от стационарного состояния характеризуются не обыкновенными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Как указывалось выше, общих методов анализа числа и свойств решений таких уравнений не существует. [c.514]

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

Поскольку рассматриваются динамические свойства системы, математическим аппаратом, необходимым для теоретического описания отклика системы на возмущения, должны быть обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения в частных производных. Вследствие того что для динамических [c.109]

Частные производные, входящие в уравнение (I, 9), связаны с определенными важными свойствами фаз. Так, коэффициент термического расширения тела определяется соотношением [c.38]

Частными производными четырех функций при данном, характерном для каждой из них наборе независимых переменных являются основные параметры состояния системы р, V, Т и 5. Отсюда вытекает важное свойство этих функций через каждую из этих функций и ее производные можно выразить в явной форме любое термодинамическое свойство системы . [c.123]

Величины 14, V , и , 5,-, и Я,-являются парциальными величинами . Парциальными величинами называются частные производные от экстенсивного свойства фазы (объем, изобарный потенциал, энтропия и др.) по массе компонента при постоянных давлении, температуре и массах остальных компонентов . Так, химический потенциал (х, есть парциальный изобарный потенциал О/. [c.175]

Парциально-молярная величина есть частная производная экстенсивного свойства по числу молей компонента при постоянных температуре, давлении и числе молей второго компонента [c.449]

Рассмотрим процесс адсорбции в неподвижном слое сорбента. Из-за накопления сорбата на поверхности сорбента свойства последнего постоянно меняются и процесс в целом нестационарен. Поскольку концентрация сорбата меняется по длине слоя сорбента, уравнения баланса можно записать только для элементарного объема за элементарное время для неподвижной и подвижной фаз. В общем случае получим четыре уравнения в частных производных материального баланса по сорбату и теплового баланса для каждой из фаз. [c.88]

Преобразование Лапласа позволяет перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Кроме того, производные т] (р) по р при р О обладают следующими интересными свойствами [c.114]

Методы предсказания свойств азеотропов в тройных системах разработаны значительно хуже, чем для бинарных систем. Термодинамические условия образования тройных азеотропов подробно исследованы Хаазе [94] здесь.же рассмотрен лишь приближенный метод предсказания свойств азеотропов в трехкомпонентных системах. Из общих термодинамических положений следует, что возможность образования и характер азеотропа в тройной системе определяются значениями частных производных коэффициентов относительной летучести двух компонентов Б азеотропной точке 8 и е , выражаемых уравнениями [c.93]

Ранее было показано [см. (11,119)], что использование матриц Я, в квадратичных алгоритмах оптимизации со значением параметра р О связано с обращением матрицы вторых производных минимизируемой квадратичной функции. Так как матрица вторых частных производных вместе со своей обратной является симметричной, в алгоритмах минимизации целесообразно использовать симметричные Я,-. Свойство симметричности матриц Я будет предполагаться в этом параграфе. [c.74]

Так как системы с распределенными параметрами отличаются от систем с сосредоточенными параметрами зависимостью от пространственных переменных, использовать для них обычные фазовые плоскости нельзя. В гл. VI было отмечено, что элемент потока ( поршень ) трубчатого реактора идеального вытеснения может рассматриваться как микрореактор периодического типа, перемещаю-Ш.ИЙСЯ вдоль оси трубы. Ванг [1968 г. (а)] показал, что это свойство модели трубчатого реактора идеального вытеснения не ограничивается стационарным состоянием, а служит основой для создания фазовой плоскости специального вида, удобной для использования при определении областей устойчивости. Обсуждаемое здесь преобразование формально получается путем сведения системы дис ерен-циальных уравнений в частных производных (1,7) к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений [c.188]

Если для принятия решения невозможно использовать ни один из известных показателей Y , то необходимо ввести некий критерий оценки, который будет учитывать все многообразие свойств. Данный критерий может быть определен как свертка единичных показателей Г= У2, Уз,. ..У ). Если взять полный дифференци ш данной функции, то частные производные являются весовыми коэффициентами показателей У, [c.150]

Среди термодинамических функций, к числу которых может относиться любая функция состояния и число которых, вообще говоря, неограниченно велико, следует выделить характеристические функции, которые, как уже указывалось, обладают тем свойством, что при определенном выборе параметров состояния частные производные характеристической функции по параметрам равны одному из параметров состояния. Очевидно, что число характеристических функций невелико. [c.132]

Функция называется характеристической, если с помощью этой функции и ее частных производных можно определить все термодинамические свойства системы в данном состоянии. [c.95]

Получается так, что для системы, находящейся в условиях постоянной энтропии и постоянного объема, с помощью внутренней энергии и ее частных производных действительно можно определить все остальные термодинамические величины, а следовательно, и свойства системы. Поэтому внутренняя энергия в условиях постоянных 5 и К является характеристической функцией. [c.97]

Частные производные от экстенсивных свойств (V, О, 5 и др.) по л,- при постоянстве р, Т, Хк, п, называются парциальными величинами. В зависимости от единиц, в которых выражается масса компонента, различают мольные и удельные парциальные величины. Таким образом, ц является парциальной мольной энергией Гиббса. [c.102]

Учитывая уравнение (39.5) и свойства гармонических функций, записанных в комплексной форме (см. 12), вместо дифференциального уравнения с частными производными (39.3) получаем обычное уравнение 2-го порядка относительно фазора бс [c.197]

Для определения производной (д 1п ИдТ). необходимо изучить зависимость перенапряжения от плотности тока при различных температурах (рис. 134). Фиксируя постоянное значение т], можно найти зависимость 1п I от температуры, а следовательно, и А. Установим зависимость между величинами И и Л. Исходя из общих свойств частных производных, находим [c.249]

Обозначим частную производную любого экстенсивного свойства системы F по числу молей п, -го компонента при постоянных значениях р, Т vi всех остальных п. . символом ijj [c.133]

Пользуясь свойством частных производных функций, имеющей полный дифференциал, можно записать [c.145]

Согласно свойству полного дифференциала частные производные от 5 по р и от V по Г равны между собой. Отсюда [c.9]

Характеристической функцией называется функция состояния, посредством которой (и частных производных разных порядков ее по соответствуюш,им ей переменным) могут быть наиболее просто и притом в явном виде выражены все термодинамические свойства системы. [c.110]

Для вычисления энтальпии, теплоемкости и других свойств необходимо располагать значениями (дУ/дТ)р и других частных производных. Точное их определение непосредственным дифференцированием вследствие незначительной кривизны соответствующих [c.156]

Пусть Ф — экстенсивное свойство раствора. Оно есть функция двух физических параметров состояния, в качестве которых в теории растворов всегда используют р и Т, н чисел молей обоих компонентов П и П2. Парциальными молярными величинами, характеризующими долю от общего свойства, приходящуюся на 1 моль каждого из компонентов, называются частные производные [c.163]

Уравнение Шредингера — дифференциальное уравнение в частных производных и может иметь множество решений. Однако физический смысл имеют лишь те Ч -функции (так называемые собственные функции), которые удовлетворяют ряду условий. Во-первых, эти функции должны быть непрерывными, конечными, однозначными и обращаться в нуль на бесконечном расстоянии. Наложение перечисленных условий называется нормированием -функции . Во-вторых, собственным -функциям соответствуют не любые, а только дискретные значения полной энергии Е. Как дискретные значения энергии, так и вид собственных Т-функций определяются совокупностью квантовых чисел п, I, т, которые хотя и не содержатся в самом уравнении Шредингера, но вводятся в него при решении. Таким образом, квантование энергии естественно и неизбежно вытекает из коренных свойств материальных объектов и не нуждается в особом постулировании, которое было сделано И. Бором при разработке планетарной модели атома. [c.10]

Характеристические функции. Функции, частные производных которых по- соответствующим отобранным параметрам состояния в явной форме выражают другие параметры состояния и термодинамические свойства системы, называются характеристическими. Нетрудно убедиться, что характеристическими функциями являются термодинамические потенциалы [c.106]

Термодинамический вид химического потенциала можно найти на основе свойств йО как полного дифференциала. В соответствии с этим свойством, если 0=ЦТ, р, Пи П2, . ..), то полный дифференциал этой функции с10 равен сумме произведений частных производных О по каждой из переменных при постоянстве всех остальных на полный дифференциал этой переменной, т. е. [c.160]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Теперь путем деления правой и левой частей уравнения (3.9.10) на приращение нетрудно получить частную производную свойства Е для любых условий сопряжения закрытой системы с окружающей средой. При этом она будет выражаться через все или некоторые частные производные данного свойства по его исходным аргумен- [c.178]

Частные производные дС/дт от экстенсивного свойства по числу молей компопонтов прп постоянных р ш Т называются парциальными молярными величинами и обозначаются Сг. [c.29]

В практических целях приходится искать упрощенный метод, позволяющий описать систему уравнениями, аналогичными уравнениям механики сплошных сред для однофазной жидкости, т. е. ограниченнылг числом дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями. Изучению этого вопроса посвящено значительное число работ, в большинстве которых рассматривается зависимость между реологическими характеристиками суспензии и свойствами твердых [c.74]

Рассмотрим канал ленточно-поточного типа, образованный пластинами с горизонтальными гофрами с углом при их вершине у = 90° продольное сечение канала представлено на рис. 7.4. Процесс стационарного конвективного теплообмена при ламинарном течении жидкости в таком канале описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, включающих уравнения Навье - Стокса, неразрывности и энергии. Допустим, что физические свойства жидкости не зависят от температуры (и = onst, а = onst, р = onst). Тогда для вынужденного двухмерного движения потока несжимаемой жидкости эта система уравнений имеет вид [c.352]

По способу реализации модели могут быть знаковыми и реальными. Знаковые модели являются математическими описаниями процессов. Основой для построения таких моделей и операций над ними служат различные разделы математики (дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных для характеристики непрерывных моделей, теория гра4юв для описания сложных реакций и т. д.) Выбор математического аппарата играет значительную роль для наиболее полного выражения свойств изучаемой сложной химической системы. [c.461]

Р. Заключение. Вьнне энтальпия, температура и состав жидкостей считались зависящими от одеюй пространственной переменной. В реальных теплообменниках свойства жидкости меняются в двух или трех направлениях в пространстве, а при каждом отклонении от стационарного состояния требуется еще учет временного фактора. Таким образом, для реального анализа теплообменников необходимо использовать дифференциальные уравнения в частных производных. Этот вопрос рассмотрен в 1.2.7. [c.28]

Так как практически У сопз , то в уравнении (3.11) член рАУ можно отбросить как близкий к нулю. Исходя из свойств частных производных полного дифференциала, имеем [c.66]

В частном случае, если свойства системы аддитивны, то отрезки АВ и А В представляют соответствующие свойства чистых компонентов. Покажем, что в общем случае от эезки, отсекаемые касательными па ординатах, представляют дифференциальные мольные величины свойств, т. е. частные производные от (py2 i) по И , [д п,,. .., n. j. Из графика следует, что АС = W (где W — свойство системы в точке касания), ВС = = (dW/dN. ) (где dWIdN — угловой коэффициент касательной), АВ = = АС — ВС. Следовательно, АВ = W — dWIdN N - Рассмотрим изменение свойств системы при добавлении некоторого количества компонента Wj при условии постоянства количества компонента п , т. е. рассмотрим, какие изменения произойдут при введении в систему бесконечно малого количества первого компонента п . Так как = n lln -j- п ), то dN = = — 2 dnj n + ( 2 = onst), тогда отрезок АВ можно представить выражением [c.243]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология