Плотные упаковки шаров максимальная

Рис. 17G. Максимально плотные упаковки шаров.

В максимально плотных упаковках свободное пространство слагается из пустот двух типов тетраэдрических (окруженных четырьмя шарами) и октаэдрических (окруженных шестью шарами). На каждый щар упаковки приходится одна октаэдрическая и две тетраэдрические пустоты, Еслп радиус шара самой упаковки принять за единицу, то в октаэдрических пустотах без нарушения основной структуры могут разместиться шары с радиусом до 0,41, а в тетраэдрических — до 0,22, Подобное заполнение пустот кристаллической решетки играет большую роль при некоторых химических взаимодействиях (например, многих металлов с водородом). [c.385]

Представим себе, что уложен один слой шаров. Тогда наиболее плотным будет их расположение, представленное на рис. 133. В этом случае каждый шар соприкасается с шестью другими. Теперь расположим шары сверху и снизу зтого слоя. Очевидно, чтобы получить максимально плотную упаковку, шары верхнего й нижнего слоев следует располагать так, чтобы они попадали в углубления между шарами среднего слоя. На рис. 134 изображены два слоя шаров шары нижнего слоя показаны пунктиром, углубления, в которые они попадают, сделаны темными. Как видно, во втором слое шаров половина углублений остается незанятыми шарами первого слоя эти углубления заштрихованы. При расположении третьего слоя возможны два варианта можно поместить шары в темные углубления, или в заштрихован- [c.256]

Поскольку наиболее симметричное расположение 12 соседей (с пкосаэдрической координацией центрального атома) не приводит к наиболее плотной из возможных трехмерных упаковок, возникает вопрос, какой из бесконечного числа вариантов расположения 12 соседей ведет к более плотным упаковкам и какова максимальная плотность бесконечной шаровой упаковки. В 1883 г. Барлоу показал, что существуют две координационные группы, которые по отдельности или в комбинации друг с другом приводят к бесконечным шаровым упаковкам с одинаковой плотностью 0,7405. Одна из этих двух координационных групп — кубооктаэдр, а другая — родственный ему многогранник (скрученный, или гексагональный , кубооктаэдр), получающийся из половины кубооктаэдра путем отражения в плоскости сечения, параллельной треугольному основанию (рис. 4.5). Такое расположение ближайших соседей в шаровых упаковках возникает прн наиболее компактном способе наложения плотных плоских слоев, упомянутых в начале этого раздела. Интересно заметить, ITO еще не доказана невозможность существования некоторой Неизвестной бесконечной упаковки шаров с плотностью выше Чем 0,7405. С другой стороны, Миньковскому удалось доказать. Что упаковка, основанная на кубооктаэдра (кубическая плотнейшая упаковка), является плотнейшей решеточной упаковкой одинаковых шаров. (Решеточная упаковка обладает следующими свойствами. Если на любой прямой липни находятся два ша-Ра на расстоянии а, то шары находятся также во всех точках [c.181]

Большинство металлов образуют кристаллы с таким расположением атомов, при котором каждый атом окружен максимальным геометрически допустимым числом атомов. Существуют две распространенные металлические структуры, соответствующие плотнейшей упаковке шаров одного и того же размера. Одна из этих структур — кубическая плотнейшая упаковка — описана в гл. 2. Другая структура, называемая гексагональной плотнейшей упаковкой, приведена на рис. 17.1. Она очень похожа на кубическую плотнейшую упаковку каждый атом окружен двенадцатью соседними атомами, находящимися на одинаковом расстоянии от центрального атома, однако расположение этих соседей несколько отличается от расположения при кубической плотнейшей упаковке. Около пятидесяти металлов имеют кубическую или гексагональную плотнейшую упаковку или же образуют обе эти структуры. [c.491]

Представим себе, что уложен один слой шаров. Тогда наиболее плотным будет их расположение, представленное на рис. 116. В этом случае каждый шар соприкасается с шестью другими. Теперь расположим шары сверху и снизу этого слоя. Очевидно, чтобы получить максимально плотную упаковку, шары верхнего [c.263]

Кристаллическая решетка — это схема взаимного расположения частиц в кристалле. Ее изображают в виде пространственного каркаса, образуемого пересекающимися друг с другом прямыми линиями. Точки пересечения этих прямых называют узлами решетки. В зависимости от типа связи между частицами, образующими кристаллическую решетку, различают ионные, ковалентные, металлические кристаллы. Для объяснения структур любых кристаллических решеток привлекаются представления о плотнейших упаковках шаров кубической гране-центрированной и гексагональной. На рис. 11.21 вверху для каждой упаковки показан один ряд шаров, а внизу — расположение ядер атомов в кристаллической решетке. В этих упаковках каждый из шаров окружен двенадцатью другими. Степень заполнения пространства в этих двух упаковках максимальна и составляет 74,05%. Свободный объем пространства между шарами представлен тетраэдрическими и октаэдрическими полостями, в которых могут размещаться другие шары с меньшими размерами. В каждой тетраэдрической полости может располагаться шар с радиусом, равным 0,225 радиуса шаров, образующих плотнейшую упаковку. [c.177]

Рнс. 1.4. Извилистость пор при максимально плотной регулярной упаковке шаров. [c.11]

Известно, что значение Л 1 в случайно упакованной структуре шаров произвольно изменяется от 4 до 12 и в среднем равно 8 0,5[6]. Причем нижний и верхний пределы N1 соответствуют минимальной и максимальной плотностям регулярных структур О = 0,34 и 0,74 соответственно. В работе [7] описан метод визуализации агрегатов частиц, входящих в первую координационную сферу (рис. 5), что позволило различать те или иные характерные особенности структуры упаковок. В этой связи особенно показательны агрегаты с координационным числом > 8. У них отчетливо видна структура плотнейшей упаковки с разным числом точечных дефектов — вакансий, ие занятых шарами. Агрегаты удобно было рассматривать, ориентируя их наиболее заселенный гексагональный слой, содержащий до 7 частиц, в горизонтальное положение. Тогда сверху п снизу в лунках между шарами укладывалось максимум но 3 шара. Когда верхние и нижние [c.20]

Типичные свойства металлов обусловлены нх кристаллическим и электронным строением. Структура большинства металлов при и высоких температурах представляет собой так называемую плотную упаковку атомов, геометрически соответствующую максимально плотному заполнению объема шарами одинакового размера. Один слой плотной упаковки легко наблюдать, [c.163]

Симметрия кристаллической структуры является прямым следствием плотной упаковки. Плотнейшая упаковка-такая упаковка, при которой каждая единица образует в структуре максимальное число контактов. Сначала рассмотрим упаковку одинаковых шаров в атомарных и ионных системах. Затем обсудим молекулярную упаковку. Мы остановимся только на характерных особенностях и примерах, так как для справок можно воспользоваться систематическими курсами по симметрии кристаллов, упомянутыми в начале главы [1-3]. [c.441]

Плотнейшая упаковка одинаковых шаров достигается при таком расположении, в котором каждый шар соприкасается с тремя шарами в каждом соседнем слое. Следовательно, общее число соседей равно 12. Хотя упаковка в любом слое-очевидно, плотнейшая из всех возможных, нельзя полагать, что подобная ситуация обязательно сохранится и для заполняющих пространство расположений, получающихся от наложения таких слоев. Так, рассмотрим добавление четвертого шара к плотной упаковке из трех шаров [2]. Максимальное число контактов при возникновении тетраэдрической группировки равно трем. Заполняющее пространство расположение требует, чтобы каждый тетраэдр имел грани, общие с четырьмя соседними. Однако правильные тетраэдры не пригодны для заполнения пространства без промежутков или перекрываний, поскольку тетраэдрический угол 70° 32 не кратен величине 360°. [c.444]

Если частицы, образующие кристалл, например атомы металлов или благородных газов, одинаковы, то в кристалле они располагаются так, чтобы максимально плотно заполнить объем. В этом случае можно считать, что частицы касаются друг друга - осуществляется их плотнейшая упаковка. Возможны два варианта плотнейшей упаковки одинаковых сферических частиц - шаров. [c.81]

Другой вариант возникает, если шары третьего слоя располагаются во впадинах, обозначенных ГПУ. В этом случае сетка третьего слоя совпадает с сеткой первого, а сетка четвертого - с сеткой второго. Таким образом, при максимально плотной упаковке одинаковых шаров возникают два типа чередования шаров в кристалле тип 1, 2, 1, 2, 1, 2 и тип 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3. Упаковка первого типа называется гексагональной плотной упаковкой (ГПУ), второго - кубической плотной упаковкой (КПУ). [c.83]

Фиг. 30. Две плотнейших шаровых упаковки на плоскости, наслоенные одна на другую так, чтобы выполнялось условие максимального заполнения пространства шарами.

Икосаэдрические плотнейшие упаковки. Предположим теперь, что мы упаковываем шары одинакового размера вокруг одного центрального шара. Максимально исходного шара могут касаться 12 таких же шаров. В действительности вокруг центрального шара имеется несколько больше места, чем требуется для 12 шаров такого же размера, но его недостаточно для размещения тринадцатого шара. [c.179]

Плотные упаковки. Если условно рассматривать атомы в кристалле как касающиеся друг друга шары, то возникает вопрос, каким образом можно их наиболее плотно уложить, т. е. создать структуру с максимально плотной упаковкой (с минимальным незанятым атомами объемом). Анализ приводит нас к выводу, что возможны только две исходные плотнейшие упаковки кубическая и гексагональная. С ними мы уже поверхностно знакомы (рис. 1.43, е и с1). Рассмотрим их подробнее. [c.81]

Из рис. 11 видно, что при (1 = I мы имеем максимальное поверхностное и объемное заполнение частицами покрытия, при этом av = 52,3 объемн. %. Как известно, максимально плотные упаковки для шаров — это гексагональная и гранецентрированная кубическая решетки, когда йх шах 74,0 [c.31]

Поступающий в зернистый слой поток газа наталкивается на своем пути на частицы слоя и обтекает их. Таким образом, отдельные струйки будут все время отклоняться в ту или другую сторону от основного направления потока. Это удлинение истинного пути газовых струй внутри зернистого слоя характеризуют его извилистостью Т. На рис. 1.4 изображен участок, вырезанный из слоя шаров при их максимально плотной регулярной упаковке (ё = 0,29) здесь же показан искривленный поровый канал, направление которого отклоняется от вертикали. При высоте выделенного элементарного участка I = 0,707 d длина наклоненного и.искривленного канала составляет /к н = = 1,065 d [12]. Отсюда, степень извилистости [c.11]

Силы Ван-дер-Ваальса имеют ненаправленный характер, вследствие чего молекулы располагаются по возможности тесно. Именно поэтому благородные газыЫе, Аг, Кг,. .., представляющие собой в этом отношении крайний случай, кристаллизуются по способу наиболее плотной упаковки шаров. В такой плотной кубической упаковке каждый атом имеет двенадцать ближайших соседей. Аналогичная упаковка осуществляется в кристаллах НС1, НВг, НгЗ, СН4 в большинстве подобных систем при температурах, не слишком далеких от точки плавления, отдельные молекулы могут вращаться. Если, как в случае бензола, форма молекулы весьма отличается от сферической, упаковка все же такова, что у каж,той отдельной молекулы имеется максимально возможное число соседей. Рис. 11.2 погазывает, как [c.324]

Структуры с координационным числом 12 называются плотнейшими упаковками, так как расположение атомов достигает максимальной плотности упаковки, равной 0,74. Гранецентрированная кубическая решетка соответствует кубической плотнейшей упаковке шаров. Ее можно описать как ряд [c.25]

Для многих химических элементоа (особенно металлов) характерны решетки куба с центрированными гранями (рис. 174) и типа гексагональной плотной упаковки, примером которой может служить показанная на рис. 175 решетка металлического магния. Координационное число обеих структур равно двенадцати. Обе они допускают упаковку шаров максимально возможной и притом одинаковой плотности. Такие упаковки показаны на рис. 176. [c.358]

Кристаллические решетки большинства металлов — металлические решетки — построены по одинаковому принципу. В узлах этих решеток находятся ядра атомов данного металла. Ядра расположены на таких расстояниях между собой, как если бы соответствующие атомы соприкасались. Причем в данном объеме металла располагается столько атомов, сколько может поместиться шариков с размерами атомов в том же объеме при максимально плотной их упаковке. О кристаллической решетке металлов так и говорят, что она построена по принципу плотнейшей упаковки шаров (рис. 38). При плотнейшей структуре каждый атом металла в решетке окружен одноатомным слоем, содержащим двенадцать других атомов, т. е. координационное число металла в кристалле равно двенадцати. При несколько менее плотной структуре — плотной кубической, или, иначе, объемноцетрированной кубической структуре — координационное число металла равно восьми. [c.210]

Если предположить, что различие в свойствах поверхностей металлов не зависит от способа их приготовления, то эти данные можно проанализировать, исходя из различий в межатомных расстояниях и электронной плотности обеих металлических поверхностей. Максимальные молярные теплоты адсорбции азота и аргона приблизительно одинаковы, однако теплоты адсорбции на Меди приблизительно на 500 кал1моль выше, чем на поверхностях цинка (столбцы 5 и 6 табл. 5). Анализ значений отношения числа атомов металла к числу молекул газа на единице поверхности (столбцы 3 и 4) показывает, что адсорбционная емкость единицы площади поверхности является наибольшей для системы аргон — цинк и наименьшей для системы азот—медь это объясняется различиями в атомной структуре адсорбентов. Цинк кристаллизуется в модификации, несколько необычной для плотноупакованной гексагональной структуры эта модификация отличается от нормальной тем, что она растянута в направлении оси с отношение осей оказывается гораздо большим, чем в случае плотной упаковки шаров (1,860 вместо 1,633). Так же как на октаэдрической грани меди, каждый атом цинка имеет шесть ближайших соседей в плоскостц базиса различие состоит р том, что расстояние между [c.123]

Для концентрированных систем следует принять во внимание еще и степень их концентрированности, определяемую как отношение средней объемной концентрации зерен к максимально допустимой при самой плотной упаковке д = а/сттах. Как указывалось в разделе 1.2, для слоя из одинаковых шаров при максимально плотной упаковке етш = 0,259 = 0,26 и сгтах == = 1 — 0,26 = 0,74. Средняя же объемная концентрация при беспорядочной засыпке составляет а = 1 — 0,4 = 0,6 концентрированность такой засыпки равна дш = 0,6/0,74 — 0,81. [c.16]

Если представить масляные капельки в виде твердых шаров одинакового диаметра , то теоретически возможно было бы разместить их так, чтобы каждый шар при наиболее плотной упаковке сопр4икасался бы с 12 другими. Такое наиболее тесное скопление, иначе говоря, максимальная концентрация дисперсной фазы имеет место тогда, когда около 74% всего пространства занято шарами. Следовательно, теоретически возможно эмульгировать порядка74% масла в 26% воды. У деформирующихся шаров, каковыми в действительности являются масляные капли, в местах их соприкосновения может происходить искривление поверхности, вследствие чего элемент дисперсной фазы приобретает полиэдрическую форму. Экспериментально установлено, что возможно получение стойких эмульсий с содержанием дисперсной фазы до 99% масс. [c.13]

Максимальное число полиэдров с общими вершинами. Максимальное число правильных тетраэдров пли правильных октаэдров, которые могут соединиться в одной точке, равно 8 п 6 соответственно (в обоих случаях предполагается, что расстояние между атомами X разных полиэдров не менее, чем длина ребра полиэдра). Если при этом соединение ребер и граней недопустимо, то эги числа становятся равными 4 и 2. Числа S и 6 — это числа соответственно тетраэдрических и октаэдрических пустот, окрух-сающих шар в плотнейшей упаковке равных сфер. Соответственно имеются два расположения шести правильных октаэдров АХб (и восьми правильных тетраэдров АХ4), сходящихся в общей вершине, отвечающих гексагональной и кубической плотнейшим упаковкам атомов X (рис. 4.14, г и д). В кубической плотнейшей упаковке восемь тетраэдрических пустот перемежаются шестью октаэдрическими пустотами, а в гексагональной плотнейшей упаковке шесть из тетраэдрических пустот образуют три пары, сочлененные по граням тетраэдра. Эти три укрупненные двойные тетраэдрические пустоты дают возможность вставить три дополнительных октаэдра с центральным атомом X в качестве общей вершины отсюда вытекает возможность расположить девять соответствующим образом искаженных октаэдров так, чтобы они сходились в общей вершине. Из девяти октаэдров шесть обобществляют по три грани и по два ребра и три октаэдра обобществляют по четыре грани. [c.233]

На рис. 1.5 изображен участок, вырезанный из слоя шаров с максимально плотной упаковкой. Из рисунка видно, что поровый канал между шарами отклоняется от вертикали и его ось не прямолинейна. При высоте выделенного элементарного участка/ = 0,707 длина искривленного канала по расчетам (Злихтера [13] /о= 1,065с . [c.14]

По мере уменьшения координационного числа плотность упаковки снижается, и все большая часть объема кристалла приходится на пустоты. Если все частицы являются сферами одного размера, то при к. ч. 12 незаполненное пространство в кристалле составляет 26%, при к. ч. 8 — 32"о, при к. ч. 6 — 48"о и при к. ч. 4 — 66"о. При кристаллизации вещества, состоящего из ионов разных размеров, меньшие из них (обычно катионы) занимают свободные места между более крупными, что дает возможность системе максимально понизить свою энтальпию и ведет к увеличению плотности вещества. В кристалле КаС1, например, все анионы расположены по трехслойному типу плотнейшей укладки шаров (рис. 47), а октаэдрические пустоты между ними заняты более мелкими положительными ионами натрия. Поэтому их к. ч. = 6, так как каждый анион окружен шестью октаэдрическими пустотами, занятыми ионами натрия. Следует отметить, что в выбранном примере катионы несколько крупнее октаэдрических пустот и, раздвигая соседние анионы, частично разрыхляют укладку. [c.127]

Из данных этой таблицы следует, что определенная связь между ними действительно существует. В решетках ионных соединений замещение происходит в основном за счет сдвига рядов ионов, пересекающихся в данном узле решетки. Все же нетрудно видеть, что существует и другой фактор, оказывающий влияние на способность к замещению. Курнаков и Жемчужный наблюдали, что в ряду полученных при высоких температурах смешанных кристаллов Na l—K l, NaBr— КВг и Nal—KI наклонность к расслаиванию при понижении температуры уменьшается от хлоридов к иодидам. Однако величина максимально возможного сдвига изменяется в обратном направлении. Другим примером является бромистый литий. Максимально возможный сдвиг в его решетке равен нулю, так как он имеет плотнейшую упаковку. Тем не менее, в ней возможно замещение ионов лития ионами натрия. Очевидно, что способность атомов и ионов к поляризации расширяет геометрические границы возможности замещения. С нашей точки зрения, можно сказать, что благодаря деформируемости ионов контакт между противоположно заряженными ионами возможен и в тех случаях, когда он был бы нарушен, если бы они были несжимаемыми шарами. [c.101]

При наличии взаимного притяжения в любой паре образующих твердое тело атомов на расстояниях, превышающих сумму их радиусов (т.е. в случае кристаллов с металлической или ван-дер-ваальсовой связями), минимуму энергии системы будет отвечать максимальное число соседей для каждого атома (т.е. наиболее плотная их упаковка). Плотнейшая упаковка одного слоя одинаковых шаров показана на рис. 1.57, а сплошными окружностями. Шары следующего слоя (пунктирные окружности на рис. 1.57, а) при плотнейшей упаковке должны занимать три из шести лунок (отмечены черным или серым цветом на рис. 1.57, а), имеющихся вокруг каждого шара первого слоя. Третий слой может размещаться двумя способами его шары могут размещаться над шарами первого слоя или над незанятыми лунками первого слоя. Взаиморасположение плотноупакованных слоев в плотнейших шаровых упаковках часто обозначают буквами А, В, С, причем одинаковое обозначение имеют слои, расположенные точно один над другим, т. е. первый из рассмотренных выше вариантов должен быть обозначен ABA, второй — AB . [c.85]

Для снятия спектра поглощения молекулярной формы лг-НА в ионите индикатор сорбировали сульфокатионитом Дауэкс-50х 1 в Na-форме (в виде шаров диаметром 0,5—1 мм в Н-форме, в воде) из 0,3 N раствора Na l при pH 7. В этих условиях в ионите равновесие ВН+ В + Н+ практически нацело смещено вправо. Ионит с равновесным раствором индикатора переносили в кювету I = 1 мм. Фоном служил катионит в Na-форме, уравновешенный с 0,3 N раствором Na l. При таком способе измерений оптическая плотность является суммой оптической плотности ионита, содержащего индикатор, и оптической плотности равновесного раствора, также содержащего индикатор. Для определения оптической плотности раствора в кювете была найдена доля объема, занимаемого ионитом (0,58, пикнометрический метод). При максимально плотной упаковке шарики сорбента занимают 0,605 от общего объема [4]. Если обозначить молярную экстинкцию раствора ж-НА в кювете с I = i мм при нм через iM> то оптическая плотность раствора в кювете с ио- [c.256]

Возможные типы регулярных укладок подробно исследовали в связи с их аналогией упорядоченному расположению атомов или ионов в кристаллической решетке [5]. Так, 71,ля простой кубической укладки координационное число Nk=.Q (4 соседа в горизонтальной плоскости и по одному сверху и снизу) порозность е = 0,476 расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через центры шаров, равно d максимальный просвет (живое сечение) в плоскости соприкосновения шаров соседних рядов ()max = 1, а минимальный — в плоскости, проходящей через их центры, — tfmin = 0,214. При максимально плотной гексагональной упаковке Nk = 12 (6 соседей в вершинах правильного шестиугольника в горизонтальной плоскости и по три сверху и снизу в промежутках между шарами этой плоскости) порозность е = 0,2595 расстояние между соседними плоскостями 0,707 просветы ifmax = 0,349 и ifmin = 0,214. Возможны и другие упорядоченные структуры с промежуточными значениями е и четными координационными числами А/к = 8, 10 и 12. Комбинированные расположения соседних плоскостей могут давать упорядоченные упаковки с промежуточными, нечетными значениями iVk = 5, 7, 9 и 11. При более рыхлых расположениях без непосредственного контакта шаров одного горизонтального ряда возможна, например, упаковка типа кристаллической решетки алмаза [6] с Л/ к = 4 и s = 0,66. [c.8]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология