Производные по времени

Так как и постоянны, их производные по времени равны нулю. Уравнения (VII.67), (VII.68) правильны для возмущений произвольной величины. Предположим теперь, что возмущения [c.172]

Метод основан на предположении, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс. [c.160]

Вязкоупругие жидкости, т.е. среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости значительно сложнее-она включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости. [c.336]

Частная производная по времени обычно заменяется односторонней разностью [c.385]

Здесь точки над отдельными величинами обозначают производные по времени. Как следует из зависимости (1-1) [c.8]

В выражении (5-20) взята частная производная по времени, хотя р обычно бывает функцией не только времени, но и места. Составим уравнение массового баланса [c.50]

Эта функция является положительно определенной, в чем можно убедиться по критерию Сильвестра, а ее производная по времени в силу уравнений (V, 9) [c.165]

Найдем производную по времени от функции V б силу нелинейных уравнений (V, 17) [c.170]

По второму закону Ньютона производная по времени от этой последней величины равна действующей силе, т. е. [c.118]

Аналогия с квантованными орбитами, в которых может уместиться лишь целое число волн де Бройля, напрашивается сама собой. Конечно, уравнение (15) не похоже на уравнение (14)—разные порядки производной по времени. Но важно другое — идея рассмотреть задачу о движении электрона в атоме как математическую задачу на определение собственных значений и собственных функций некоторого дифференциального уравнения. Оставалось найти это уравнение. [c.31]

Производные по времени здесь отсутствуют, так как уравнения относятся к покоящемуся пузырю. [c.96]

Нестационарные процессы в проточных аппаратах с ограниченным перемешиванием или без него описываются системами уравнений в частных производных. Эти уравнения содержат первую производную по времени и различные производные по пространственным координатам. В общем случае их можно записать в виде [c.149]

Для интегрирования системы (а) — (е) необходимо задать зависимость каждой из скоростей процесса (u i, w[, w , w , и>з) от концентраций реагирующих веществ и температуры. Эта система слишком сложна для практического использования, если необходимо уточнять по экспериментальным данным какие-либо постоянные коэффициенты. Полученное описание характеризует работу реактора, включая пуск, остановку, переход от одного режима к другому для основного, установившегося, режима оно может быть упрощено, так как производные по времени обращаются в нуль. [c.105]

Точками сверху обозначены частные производные по времени от соответствующих величин. Уравнения (2.5), (2.6) являются эмпирическими и характеризуют способность того или иного тела изменять свой объем (б у) и форму ( о), т. е. течь при создании в телах напряженного состояния [11]. [c.25]

Производная по времени от кинетического момента импульса потока относительно оси вращения равна сумме моментов внешних сил, действующих на поток, относительно той же оси [c.35]

Классифицировать причины нарушений, выделив, например, случайное сочетание отклонений нескольких переменных, которое привело к нарушению режима а подчиненной вершине графа и может само устраниться из-за случайности распределения отклонений от нормы неисправность или поломка оборудования, требующая остановки процесса, и т. п. Для локализации места возникновения нарушения режима следует осуществлять систематический контроль переменных и параметров ХТС, отображаемых взаимосвязанными вершинами графа, по жестко заданному априорно-ранжированному порядку, или ориентируясь на производные по времени, если какая-либо из переменных уже показывала тенденцию к выходу из диапазона допустимых значений. [c.89]

Здесь =д д1- -уУ — субстанциональная производная по времени — скорость образования (расходования) г-го компонента в а-й фазе, в которой протекают N независимых химических реакций — Л -мерная вектор-строка скоростей независимых химических реакций в а-й фазе — Л -мерный вектор-столбец тепловых эффектов химических реакций в а-й фазе. [c.137]

Рассмотрим свойства осредненных параметров. В [5] получено соотношение, связывающее производную по времени от средних параметров со средней производной по времени от мгновенных значений параметров [c.117]

Применяя формулы осреднения (1.444), (1.446) к (1.474), получим формулу, выражающую связь между средним значением субстанциональной производной по времени в пространстве х, у, г от мгновенного значения параметра и субстанциональной производной по времени в пространстве х, у, z, г от среднего значения данного [c.124]

Это допущение показывает, что если поток соответствует необратимому процессу Ь и испытывает действие силы необратимого процесса к через посредство обратного влияния в потоке, то справедливо и обратное. Скорость изменения энтропии в общем виде представится через производную по времени [c.257]

Математическое описание моделей для нестационарных условий движения потоков дано в табл. 2.1. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет служить система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому при разработке алгоритмов решения используются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальные в частных производных, обыкновен- [c.84]

Многие сложные химические реакции, например каталитические, цепные и т. п., протекают через ряд последовательных и параллельных реакций, промежуточные частицы в которых, обладая высокой реакционной способностью, быстро реагируют, и концентрация их бывает на несколько порядков меньше концентрации исходных веществ и продуктов реакции. В методе стационарных концентраций, предложенном Боденштейном, принимается положение о том, что, начиная с какого-то малого отрезка времени, производные концентраций высокоактивных промежуточных продуктов по времени можно принять равными нулю. Это равносильно принятию положения о постоянстве концентрации высокоактивного промежуточного продукта. В действительности эти концентрации являются функцией времени, но производные по времени по абсолютной величине близки к нулю, и в дифференциальных уравнениях, где производные высокоактивных промежуточных продуктов входят в виде слагаемых, ими можно пренебречь как малыми величинами. Поэтому правильным было бы назвать данный метод методом квазистационарных концентраций. Применение метода Боденштейна рассмотрим на примере последовательной реакции [c.549]

Здесь и в дальнейшем точки над буквами обозначают производные по Времени. Как видно из (9.16), для вычисления ро ( ) необходимо знать вторую производную по времени от седиментационной кривой Q (() Функции V, V и Я ( ) известны, а величину УУ можно определить [c.173]

Проинтегрировав первое уравнение системы (1) по интервалу [п-1/2, п+1/г], = 1, I— 1, с весом и, заменив, где это возможно, интегралы по формуле центральных прямоугольников, а производную по времени односторонней разностью, получим систему уравнений [c.130]

Положив производную по времени равной нулю, из уравнения (9.219) можно определить распределение температуры в стационарном режиме [c.448]

Из сказанного уже ясно, что структура термодинамики существенно отличается от остальных феноменологических теорий, и прежде всего тем, что в термодинамике нет производных по времени и по координатам физического пространства, так как чаще всего термодинамические величины в состоянии равновесия не являются функциями пространственных координат. Системы, рассматриваемые в термодинамике, не обязательно должны быть гомогенными (пример, система жидкость — пар). Пространственное расположение гомогенной области не имеет значения. Ситуация несколько меняется, если учитывать влияние внешних полей (гравитационного, электрического и магнитного) или границ раздела. В конце книги ( 53 и 54) будут коротко рассмотрены эти специальные случаи, но основная структура термодинамики при этом не изменится. [c.10]

Таким образом, в термодинамике не встречаются типичные дифференциальные уравнения математической физики с частными производными по времени и пространственным координатам. Фактически математический аппарат, кроме некоторых специальных случаев, очень прост. Он ограничивается методами частного дифференцирования и обычными дифференциальными уравнениями простого типа. В противоположность этому основные понятия термодинамики чрезвычайно абстрактны и в этой абстрактности, собственно, и заключена трудность. Долгое время пытались избежать эту трудность за счет обманчивой наглядности рассуждений. Однако оказалось, что этим только затрудняется глубокое понимание предмета. Поэтому надо заранее признать указанную выше характеристику термодинамики и затем проанализировать развитие основных пеня- [c.10]

Ниже будут подробно описаны некоторые модели химических реакторов. Все они основаны на фундаментальных законах сохранения массы и энергии. Эти законы приводят к моделям в виде дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит первые производные по времени и первые или вторые производные по координатам (в зависимости от геометрии реактора и от физического механизма процесса). Численное решение этих уравнений явилось значительным вкладом в понимание свойств химических реакторов. Однако такая информация полезна, но недостаточна. Инженеру необходимо иметь возможность описать набор решений для некоторой области граничных условий или параметров. В принципе, такие результаты может дать и численное решение, но на практике оказывается, что эти расчеты требуют слишком много машинного времени. Поэтому полезно иметь сведения о так называемой структуре решения. Ясно, что аналитические или качественные методы и методы численного решения не являются взаимоисключающими. В конечном счете качественные оценки облегчают расчеты на ЭВМ, и наоборот. [c.13]

Рассмотрим, например, проточный реактор с перемешиванием, описываемый уравнением (1,1). Так как баланс требует, чтобы производная по времени была равна нулю, любое решение [c.26]

Направляющая функция Е1 имеет производную по времени (вдоль траектории) [c.104]

Как и при изучении функции Ляпунова, полезно для направляющей функции определить область фазовой плоскости, где производная по времени отрицательна. Такая область ограничена геометрическим методом точек [c.104]

Полезно напомнить, что стационарное состояние системы с сосредоточенными параметрами — это точка в пространстве состояний, которая определяется решением совокупности алгебраических уравнений, получаемых приравниванием нулю всех производных по времени в обыкновенных дифференциальных уравнениях модели системы. Так, при рассмотрении проточного реактора с перемешиванием стационарное состояние системы, описываемое уравнениями (I, 1) и (I, 3), было определено решением алгебраических уравнений (I, 5). Подобное рассуждение применительно к системам с распределенными параметрами приводит к выводу, что стационарное состояние должно быть функцией положения в пространстве, так как [c.116]

Как известно, стационарное состояние трубчатого реактора идеального вытеснения определяется приравниванием к нулю производных по времени в уравнениях (I, 7) [c.121]

Используя следующие простые аппроксимации для производных по времени и координате в уравнении (66) [c.223]

Взяв частные производные по времени и пространственноыу параметру, а также, обозначая [c.34]

Теплообменник типа смешение — смешение (рис. 1[-15). Математическое описание теплообменника в данном случае задают системой уравнений типа (11,20), относящихся к обоим теплоносителям. Интенсивность источника тепла при этом чпределяется соотнонлепием (И,28). Стационарный режим теплообменника можно вписать нестационарными уравнениями, в которых производные по времени пола- [c.62]

Дифференциальное уравнение в частных производных (2.125) является простейшим квазилинейным уравнением гиперболотеского типа. Легко заметить, что оно представляет собой полную производную по времени вдоль J eкoтopoй кривой, дифференциальное уравнение которой имеет вид Л/Л = /7 (Г, з). Интеграл этого уравнения можно представить в виде соотношения [c.115]

Потребуем, чтобы производная по времени от функции V(х) в силу уравнения (V, 4) была заданной знакоотрицательной квадратичной формой [c.163]

Уравнения системы (11.115) содержат малый параметр г при производной по времени. Это значит, что характерное время изменения соответствующих концентраций с, (г = 5 - - 1, . , < ) значительно меньше характерного времени процесса 1. Член с производной по времени в уравнениях (11.115) может быть значитепьшйм только в течение короткого начального периода быстрого изменения концентраций неустойчивых веществ. После этого последние выходят на квазистационарные значения, медленно изменяющиеся со временем по мере изменения концентраций устойчивых веществ, которые входят в медленную подсистему (II.114). Отбрасывая член с производной в уравнениях (11.115), получаем систему алгебраических уравнений У [c.89]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Выбрав масштабом времени R /D -характерное время диффузии,-приведем уравнения (4.13) и (4.11) к безразмерному виду. В этом случае перед производной по времени в уравнениях материального баланса (4.13) появится малый параметр г = Ас = ек сСЦяЬУк)- Малая величина этого параметра (порядка 0,(Ю5) позволяет пользоваться приближением квазистационарности для уравнений материального баланса. Сложнее обстоит дело с уравнением теплового баланса. Перед производной по времени появляется параметр В =/4с (ск/ср) (D p/X ). Первые два сомножителя, входящие в В,-величины порядка Ас х 0,01, Ск/Ср 500. Третий сомножитель, оценка величины которого рассмотрена ниже, A 0,03. В целом В х 0,15, что делает возможное квазистацио-нарное приближение достаточно грубьпи. Следует решать общую нестационарную задачу, однако в этом случае возникают дополнительные, чисто вычислительные трудности. Становится необходимым находить совместное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (4.11) и дифференциального уравнения в частных производных (4.13). Решение уравнений (4.11) при соответствующем выборе шага интегрирования по временной координате можно найти в любой точке зерна, решение же уравнения (4.13) всегда дискретно и зависит от числа точек разбиения по радиусу. [c.73]

Так как термин стационарное состояние означает только условие, при котором все производные по времени от переменных состояния равны нулю, то для исследования устойчивости и множественности решений необходимо более точно определить систему. Выше было показано, что для трубчатых реакторов идеального вытеснения возможны только единственные профили. Однако когда процессы в реакторе более сложны, существует возможность появления множественных стационарных состояний [Ван Хирден (1958 г.)1. Противоточное движение может быть результатом не только рецикла или управления с обратной связью, но и эффектов обратного перемешивания, как это показано в экспериментальных работах Вика и Вортмейера (1959 г.). Вика (1961 г.), Падберга и Вика (1967 г.), а также Вика, Падберга и Аренса (1968 г.). [c.130]

Формулировки Вейса и Инфанта достаточно широки для того, чтобы использовать другие нормы, но в наших целях удобно применить круговую -функцию. Важйо отметить, что такая -функция может иметь как положительную, так и отрицательную производную по времени. Согласно определению, данному Ласаллем и Леф-шетцом (1961 г.), эта функция не является функцией Ляпунова. Поскольку I — просто граница, определяющая скорость возрастания или убывания соответствующей положительно-определенной функции, -функции, которые не гарантируют устойчивость данной системы, определенной на неограниченном промежутке времени, могут использоваться для установления практической устойчивости той же системы, определенной на ограниченном интервале времени. В этом случае для анализа устойчивости требуется менее жестко определенные -функции, чем для анализа, связанного с функцией Ляпунова. Если выбор б и е определяет область в пространстве состояний, допустимую для данной системы, то ее можно назвать областью практической устойчивости на составной фазовой плоскости. [c.198]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология