Уравнение Вольтерра

Уравнения автокатализа Лотка, сходные с уравнениями Вольтерра, также приводят к периодическому поведению. Мы видим, что нелинейные асимметрические системы способны к поведению, упорядоченному во времени. [c.498]

Данное уравнение является основным законом измельчения Величина 3(х) является функцией д и в ряде случаев зависит от ч В у, х) может быть функцией у, X ц г. Это выражение представляет собой уравнение Вольтерра второго рода, и замена 5(х). и В у, х) экспериментальными значениями, по мнению авторов, едва ли приведет к простому аналитическому решению. Дальнейшее определение констант дробления производили на ЭВМ. [c.80]

В общем случае (когда условие (5.45) не выполнено) в основу определения матрицы перехода t, х) может быть положен метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра [c.300]

Для направленного синтеза поликомпонентных олигомерных систем необходима информация об эффективных кинетических параметрах процесса. С этой целью разработан метод исследования кинетики процессов в сложных поликомпонентных системах при отсутствии исчерпывающей информации о промежуточных состояниях и составе системы [46, 5б]. В общем случае обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода [c.14]

Обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода [10, 15] [c.61]

Эти. уравнения сходны с уравнениями Вольтерра для системы хищник — жертва (см. 15.3), если Ат > Р. Отличие состоит в учете запаздывания в нелинейных членах. [c.581]

При моделировании процессов в многокомпонентных системах задача определения уравнения кинетики процесса сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра [c.63]

Полученное интегральное соотношение (1.81), известное под названием уравнения Вольтерры, позволяет по крайней мере в принципе находить одну из функций ф (t) или -ф (t) по известной другой. Тем самым в явной форме утверждается, что эти функции не являются независимыми характеристиками материала, а однозначно связаны друг с другом, так что задание (или экспериментальное определение) одной из них предполагает, что втора функция может быть вычислена из известной с помощью уравнения (1.81). Этот результат подтверждает соответствие между поведением материала при релаксации и при ползучести. [c.81]

Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра П рода между функциями К (t) я ( ) существует связь [c.11]

Подставив сюда выражения а (t) и Ь (<), получим после преобразований интегральное уравнение Вольтерра II рода относительно д t) [c.68]

Если верхний предел интегрирования равен t, то мы имеем дело с уравнением Вольтерра. [c.104]

Другая трудность — это утомительные математические расчеты. Дифференциальное уравнение порционного размола оказывается уравнением Вольтерра второго рода [6]. Это — интегрально-дифференциальное уравнение с переменными пределами интегрирования. Решение этого уравнения для случая функций практического измельчения требует очень длинных повторяющихся расчетов. Попытки упрощения расчетов приводят к получению весьма приближенного ответа. Очевидно, что эту трудность можно устранить путем программирования решения для цифровой вычислительной машины. Это как раз и сделано во второй части настоящей работы. [c.220]

Уравнение (6) является основным законом порционного измельчения, применяемым в этом исследовании. является функцией X, и если эта величина рри измельчении не остается постоянной, то она является также функцией г. В (у, х) может быть функцией не только у и х, но и г. Это уравнение представляет собой уравнение Вольтерра второго рода [1], и замена 5Сл ), В(у, х) экспериментальными значениями едва ли приведет к простому аналитическому решению. [c.234]

В последнее время в Казанском авиационном институте в тесном контакте с Институтом электрохимии АН СССР получены первые обнадеживающие результаты по электрическому моделированию электролитической ячейки со сферическим микроэлектродом (при произвольно приложенной ЭДС). На основе законов диффузионной кинетики, без учета тонкой структуры двойного слоя, для твердого и жидкого сферического электрода найдены нелинейные интегральные уравнения Вольтерра П рода, описывающие процессы в цепи ячейки, и соответствующая электрическая модель, состоящая из КС кабелей и стандартных блоков аналоговых машин (линейных усилителей, сумматоров, а также дифференцирующих, нелинейных и множительных устройств). [c.92]

M Ю H T Д Г., Интегральные уравнения, ч. I. Линейные уравнения Вольтерры, ОНТИ, 1934. [c.124]

Это интегральное уравнение Вольтерра. Ядро уравнения a t — z) называется в случае механической деформации функцией крипа (ползучести), поскольку она описывает крип — деформацию, нарастающую при постоянном напряжении -. [c.153]

Система уравнений Вольтерра была преобразована А. И. Поливодой с соавторами [9, 77] для описания поведения одной популяции микроорганизмов (одноклеточных водорослей). При этом взаимодействие типа хищник — жертва , составляющее суть оригинальной системы, в данном случае трактуется как лимитация трофической среды, поступающей к клеткам из окружающего пространства и ингибирование общего роста популяции метаболитами, происходящее за счет усиления процесса отмирания клеток. [c.65]

Авторы предлагают скорректированное ими уравнение Вольтерра для общего случая скорости роста одной популяции [c.65]

Таким образом, уравнение (140) для функций ф и класса А преобразуется в уравнение Вольтерра специального вида, когда ядро зависит от разности двух аргументов. [c.117]

Функция ф (/) представляет собой решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.157]

Заметим, что решение уравнения Вольтерра, вычисление значения Тср и интеграла, входящего в Р. (/), оформлены в виде трех самостоятельных подпрограмм. [c.158]

В соотношениях (III.8) и (III.11) функция Г(/)—ядро интегрального уравнения (III. 11), а K t)—его резольвента. Меладу этими функциями существует связь, устанавливаемая теорией интегральных уравнений Вольтерры [162] [c.106]

Теперь мы располагаем временными характеристиками, необходимыми для построения переходного процесса по изображению (5 если заранее задать желаемый интервал изменения времени О<7<п0. В этом случае вместо бесконечных рядов (13) и (14) функций времени ( ) и фо(0 выражаются суммой конечного числа слагаемых и искомый переходный процесс по изображению (5) определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.11]

Полученные выражения (2.20) и (2.21), описывающие закон роста численности популяции микроорганизмов во времени, по форме практически совпадают с некоторыми из уже рассматривавшихся математических моделей роста популяции (см. главу I уравнение логистической кривой Пирля, уравнение Ферхюльста, учитывающее внутривидовую борьбу, частный случай уравнения Вольтерра для одной популяции, уравнение полученное Хиншельвудом при учете токсического влияния продуктов метаболизма и др.). [c.113]

Уравнения (3.12), в которых верхний предел интегрирования равен называют уравнением Вольтерра. [c.61]

Решение при неизвестном Nq. В этом случае должна быть задана конечная концентрация Ул2, а No надо определить расчетом. Представим систему (П1,85) — (П1,88) в виде нелинейных интегральных уравнений Вольтерра [c.217]

Уравнения (6.12) и (6.13) есть линейные интегральные уравнения Вольтерра с экспоненциальными ядрами и Линейные интегральные уравнения Вольтерра нашли в настоя- [c.63]

Переход от описания с помощью уравнения кривой ползучести к описанию линейными интегральными уравнениями Вольтерра может быть осуществлен следующим образом. Представим себе, что на линейное вязко-упругое тело действует напряжение, изменяющееся во времени, график которого представлен на рис. 1.36. В момент 1 было приложено напряжение Ас (до 5] напряжения на тело не действовали), в момент 2 — напряжение Аог и т. д. Требуется определить деформацию в момент времени t, если известно, что тело — линейное и его функция ползучести есть Ч ( ), а /(О =/о + (0 --Согласно принципу [c.67]

Выше на простейших примерах было показано, что описание деформационных свойств полимеров с помощью дифференциальных операторных соотношений совершенно эквивалентно описанию с помощью интегральных уравнений Вольтерра, разностные ядра которых представляют собой экспоненциальные функции. [c.68]

Соотношения (6.26), (6.27) можно переписать в виде интегральных уравнений Вольтерра, например [c.71]

Разрешая интегральные уравнения (6.28) относительно деформаций бг и 0, имеем интегральные уравнения Вольтерра в виде [c.72]

Таким образом, уравнение динамической адсорбции (56) в предельных случаях приводит к таким же выводам, какие были получены другими методами. В переменнЪ1х х = os 0, у (х) = sin 0 и с (а, 0) уравнение (56) преобразуется к уравнению Вольтерра [c.141]

Эти соотношения можно рассматривать как взаимообратные, поскольку одно из ннх является решением другого, являющегося интегральным уравнением Вольтерра II рода. Если проводить простейшие испытания вязкоупругих образцов при постоянных нагрузках, то принцип Больцмана можно трактовать следующим образом деформация в момент времени t, возникшая в результате действия напряжений в предыдущие моменты времени, является суммой деформаций, которые наблюдались бы в рассматриваемый момент времени t, если бы каждое из постоянных напряжений действовало независимо от других. Это означает, что если нагрузка Щ)икладывается ступенчато в моменты Sj, s ,. .., Sk, то деформацию в момент времени t можно определить по формуле [c.6]

Равенство (2.36) можно рассматривать и как уравнение Вольтерра второго рода относительно ф ( ). Оператором, обратным Е, называют закон, ставящий в соответствие функции з (t) функцию Ф (t). Определение обратного оператора аналогично, таким образом, определению обратной фунйции. Если выполняются условия теоремы существования и единственности решения уравнения [c.46]

При заданном давлении р (/) перемещение и (I) находят из загого интегрального уравнения Вольтерра II рода обычным методом итерации. Релаксация давления при достаточно быстро, созданном перемещении и (/) = (/) и стационарном поле температур А7 (/, г) = АТ г)к (/) определяется формулой [c.86]

Воспользуемся методом решения интегрального уравнения Вольтерра, предложенным Акривосом ж Шамбре [10]. СделаеИ замену переменных. [c.46]

Нами разработан метод определения элементов матрицы коэффициентов диффузии адсорбированной /г-компонентной смеси веществ при адсорбции из ограниченного объема, т. е. при условии переменных концентраций компонентов смеси (либо давлений при адсорбции газовых смесей) на границе раздела фаз. Необходимость разработки такого метода связана с простотой и более высокой точностью проведения экспериментов в данных условиях. Для реще-ния поставленной задачи исходная система дифференциальных уравнений сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Располагая экспериментально определенными значениями элементов вектора концентраций компонентов во внешнем растворе в (п—1) -й точке по координате,можно составить функционал невязок. Матрица коэффициентов диффузии адсорбированной многокомпонентной смеси веществ определяется из условия минимизации этого функционала. Данная методика реализована на примере адсорбции смеси гексанола и ге-нитроанилина из водных растворов на активном угле КАД. [c.141]

Уравнение (1.54) переходит в уравнение Ферхюльста или уравнение Пирля, если в нем X" заменить на X. Однако такой переход еще не раскрывает механизма ингибирования при рассмотрении роста популяции микроорганизмов. И если по смысли уравнения Вольтерра описывают процесс перехода биомассы в двух звеньях экологической цепи, то уравнение Ферхюльста в этом смысле можно трактовать как обратимость процессов размножения и ресинтеза биомассы популяции. [c.64]

Полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода дает выражение для искомого переходного процесса с запаздыванием срвых. ( ) и могкет быть решено методом последовательных приближений, если за нулевое приближение принять известную функцию сро( —и считать ядром так же известную функцию ср (/—9-2— ). Однако все вычисления, связанные с построением последовательных приближений, значительно упротцаются, если учесть, что формально по (3) w(z) разлагается в ряд [c.9]

Для решения задачи кинетики диссоциации — рекомбинации в рас-сдштриваемом случае система (III. 5. 22)—(III 5. 25) приводится к системе неоднородных, нелинейных интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода. Для решения ее предлагается удобная самосогласованная матричная итерационная процедура. С помощью этой процедуры решается задача диссоциации молекулы Я , являющейся малой добавкой в Не, и обратной реакции рекомбинации Н-атомов [c.369]

Экспериментальные кривые ползучести и релаксации не подтверждают этот результат. Как бы велико ни было быстродействие рбгистрируюш,ей аппаратуры, при внезапном нагружении или деформировании по законам o= onst или E= onst скорость ползучести (или релаксации) реальных вязко-упругих материалов оказывается в первый момент настолько высокой, что при i->0 воспринимается нами как бесконечно большая. Этот экспериментально наблюдаемый факт определяет то обстоятельство, что при попытках достаточно точного описания вязко-упругих свойств с помощью интегральных уравнений Вольтерра (6.20) и (6.22) ядра II t—5) и El t—s) выбираются в виде функций, имеющих слабую (интегрируемую) особенность, так что /](0)=оо и ,(0)=оо (см., например, [118]). Подробнее об этом будет сказано в главе П1. [c.69]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология