Вольтерра интегральное уравнени

В общем случае (когда условие (5.45) не выполнено) в основу определения матрицы перехода t, х) может быть положен метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра [c.300]

Для направленного синтеза поликомпонентных олигомерных систем необходима информация об эффективных кинетических параметрах процесса. С этой целью разработан метод исследования кинетики процессов в сложных поликомпонентных системах при отсутствии исчерпывающей информации о промежуточных состояниях и составе системы [46, 5б]. В общем случае обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода [c.14]

Обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода [10, 15] [c.61]

При моделировании процессов в многокомпонентных системах задача определения уравнения кинетики процесса сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра [c.63]

Согласно теории интегральных уравнений Вольтерра П рода между функциями К (t) я ( ) существует связь [c.11]

Подставив сюда выражения а (t) и Ь (<), получим после преобразований интегральное уравнение Вольтерра II рода относительно д t) [c.68]

Главной особенностью процесса последовательной кристаллизации является изменение во времени размеров области, в которой происходит теплопередача, и поэтому в данном случае невозможно использовать классические методы теории теплопроводности. Если закон перемещения границы рассматриваемой области задан, то задача отыскания температуры в этой области может быть сведена к решению интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра [50]. Вследствие сложности ядер этих уравнений при их решении возникают серьезные вычислительные трудности. [c.55]

Согласно Больцману и Вольтерра, связь между сг и ё для случая линейной вязкоупругости описывается интегральными уравнениями вида [c.68]

Ядра интегральных уравнений Больцмана — Вольтерра также могут быть представлены в виде функций с дробными показателями. Тогда в зависимости от вида ядра можно получить уравнение Кольрауша или степенные функции (3.50) и (3.51). Например, уравнению Кольрауша соответствует ядро вида [c.71]

В последнее время в Казанском авиационном институте в тесном контакте с Институтом электрохимии АН СССР получены первые обнадеживающие результаты по электрическому моделированию электролитической ячейки со сферическим микроэлектродом (при произвольно приложенной ЭДС). На основе законов диффузионной кинетики, без учета тонкой структуры двойного слоя, для твердого и жидкого сферического электрода найдены нелинейные интегральные уравнения Вольтерра П рода, описывающие процессы в цепи ячейки, и соответствующая электрическая модель, состоящая из КС кабелей и стандартных блоков аналоговых машин (линейных усилителей, сумматоров, а также дифференцирующих, нелинейных и множительных устройств). [c.92]

M Ю H T Д Г., Интегральные уравнения, ч. I. Линейные уравнения Вольтерры, ОНТИ, 1934. [c.124]

Ядро интегрального уравнения Больцмана — Вольтерры, приводящее в случае постоянного напряжения к уравнению (1У ), имеет следующий вид [23] [c.214]

Это интегральное уравнение Вольтерра. Ядро уравнения a t — z) называется в случае механической деформации функцией крипа (ползучести), поскольку она описывает крип — деформацию, нарастающую при постоянном напряжении -. [c.153]

Функция ф (/) представляет собой решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.157]

В соотношениях (III.8) и (III.11) функция Г(/)—ядро интегрального уравнения (III. 11), а K t)—его резольвента. Меладу этими функциями существует связь, устанавливаемая теорией интегральных уравнений Вольтерры [162] [c.106]

Теперь мы располагаем временными характеристиками, необходимыми для построения переходного процесса по изображению (5 если заранее задать желаемый интервал изменения времени О<7<п0. В этом случае вместо бесконечных рядов (13) и (14) функций времени ( ) и фо(0 выражаются суммой конечного числа слагаемых и искомый переходный процесс по изображению (5) определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.11]

Решение при неизвестном Nq. В этом случае должна быть задана конечная концентрация Ул2, а No надо определить расчетом. Представим систему (П1,85) — (П1,88) в виде нелинейных интегральных уравнений Вольтерра [c.217]

Уравнения (6.12) и (6.13) есть линейные интегральные уравнения Вольтерра с экспоненциальными ядрами и Линейные интегральные уравнения Вольтерра нашли в настоя- [c.63]

Переход от описания с помощью уравнения кривой ползучести к описанию линейными интегральными уравнениями Вольтерра может быть осуществлен следующим образом. Представим себе, что на линейное вязко-упругое тело действует напряжение, изменяющееся во времени, график которого представлен на рис. 1.36. В момент 1 было приложено напряжение Ас (до 5] напряжения на тело не действовали), в момент 2 — напряжение Аог и т. д. Требуется определить деформацию в момент времени t, если известно, что тело — линейное и его функция ползучести есть Ч ( ), а /(О =/о + (0 --Согласно принципу [c.67]

Выше на простейших примерах было показано, что описание деформационных свойств полимеров с помощью дифференциальных операторных соотношений совершенно эквивалентно описанию с помощью интегральных уравнений Вольтерра, разностные ядра которых представляют собой экспоненциальные функции. [c.68]

Соотношения (6.26), (6.27) можно переписать в виде интегральных уравнений Вольтерра, например [c.71]

Разрешая интегральные уравнения (6.28) относительно деформаций бг и 0, имеем интегральные уравнения Вольтерра в виде [c.72]

Характерная черта этой группы исследований состоит в том, что нелинейные свойства представляются в виде аддитивных поправок к линейным интегральным уравнениям типа Вольтерра, причем поправки носят характер малых параметров и выбираются так, чтобы обеспечивалась сходимость решений, построенных разложениями по малым параметрам [149]. С точки зрения представления функционалов, в достаточно общем смысле близких к линейным (имеющих отличные от нуля первые обобщенные дифференциалы), разность общей и мгновенной линейной упругой деформаций (девиатор деформации, объемная деформация), являющуюся функционалом напряжения (девиатора напряжения, среднего напряжения), можно представить в виде суммы линейного оператора от напряжения и операторов, которые назовем обменными. [c.82]

В 6 первой главы были затронуты вопросы феноменологического описания линейных вязко-упругих сред наследственного типа. В частности, линейные вязко-упругие свойства полностью определялись заданием, например функции ползучести I t) или функции релаксации E t) в достаточно широком интервале времени (от t = Q до i=oo). Вместо фуикций I(t) или E(t) могут быть введены другие функции, например ядра интегральных уравнений Вольтерра (см. формулы (6.20) и (6.22) гл. I). [c.164]

Описания I и II могут быть получены одно из другого с помощью формул (2.2) и (2.3), описания V и VI —с помощью формул (2.4) и (2.5). Ядро ползучести III есть производная dl i)jdt, наоборот из III податливость II может быть получена как интеграл ядра ползучести (с учетом величины мгновенной податливости). Аналогичные переходы осуществляются и между функциями IV и V. Переход от функции III к IV и обратно (а так же, как показал Гросс, и переход от II к V и обратно) осуществляется в результате решения линейного интегрального уравнения Вольтерра. [c.167]

Теория интегральных уравнений Вольтерра и методы их рещения изложены в [15—17]. Основные методы решения уравнений Вольтерра (или нахождения резольвентных ядер) использование преобразования Лапласа, метод последовательных приближений, нахождение итерированных ядер. [c.167]

В случае нелинейного вязко-упругого поведения зависимости между напряжениями и деформациями могут быть записаны в виде нелинейных интегральных уравнений Фреше — Вольтерра (см. гл. I 7) [c.167]

Здесь следует, однако, отметить сложность теории, основанной на использовании уравнений типа Фреше — Вольтерра. Например,, само определение из опытов ядер интегральных уравнений Фреше связано с большим объемом экспериментальных работ, так что ни для одного из используемых материалов вязко-упругие функции не были определены в объеме, достаточном для решения практических задач. Построенная автором работы [18] программа мысли- [c.169]

При заданном характере изменения плотности тока V со временем выражение (6-37) является интегральным уравнением типа Вольтерра, причем зависимость 0 от времени может быть определена аналитическим или численным методами. Из уравнения (6-37) следует, что ход температуры на холодном спае зависит лишь от характера изменения тока со временем. Абсолютная ве/шчина тока (масштаб тока /о) влияет только на масштаб времени. В работе [7] не ставилась задача определения оптимальной зависимости тока от времени, а рассматривалось на некоторых примерах влияние изменения тока со временем на ход температуры на спаях термоэлемента. Это позволило, в частности, оценить потенциальные возможности, которые дает варьирование плотности тока со временем для увеличения перепада температуры на спаях. [c.104]

Записанные соотношения представляют собой математическую формулировку принципа Больцмана и называются интегральными уравнениями Больцмана — Вольтерры, поскольку теорию таких уравнений разрабатывал В. Вольтерра. Первое из них определяет напряжения в момент времени I как функцию всех предшествующих изменений деформации, второе — деформацию в зависимости от предыстории изменений напряжения. Можно, конечно, рассматривать их и наоборот, полагая, что при заданной функции а () первое свотношение представляет собой уравнение для определения неизвестной функции V ( )> а второе — уравнение для определения ст () при известной функции у 1). Такое рассмотрение позволяет связать между собой функции ф (() и ор (<), как это будет показано несколько ниже. [c.80]

Эти соотношения можно рассматривать как взаимообратные, поскольку одно из ннх является решением другого, являющегося интегральным уравнением Вольтерра II рода. Если проводить простейшие испытания вязкоупругих образцов при постоянных нагрузках, то принцип Больцмана можно трактовать следующим образом деформация в момент времени t, возникшая в результате действия напряжений в предыдущие моменты времени, является суммой деформаций, которые наблюдались бы в рассматриваемый момент времени t, если бы каждое из постоянных напряжений действовало независимо от других. Это означает, что если нагрузка Щ)икладывается ступенчато в моменты Sj, s ,. .., Sk, то деформацию в момент времени t можно определить по формуле [c.6]

При заданном давлении р (/) перемещение и (I) находят из загого интегрального уравнения Вольтерра II рода обычным методом итерации. Релаксация давления при достаточно быстро, созданном перемещении и (/) = (/) и стационарном поле температур А7 (/, г) = АТ г)к (/) определяется формулой [c.86]

Это интегральное уравнение типа Вольтерра мы можем четырехкратным дифференцированием по г привести к дифференциальному. Действительно, замечая, что в подинтегральцом выражении величина г — 2 на верхнем пределе при г г обращается в нуль, имеем [c.104]

Воспользуемся методом решения интегрального уравнения Вольтерра, предложенным Акривосом ж Шамбре [10]. СделаеИ замену переменных. [c.46]

Нами разработан метод определения элементов матрицы коэффициентов диффузии адсорбированной /г-компонентной смеси веществ при адсорбции из ограниченного объема, т. е. при условии переменных концентраций компонентов смеси (либо давлений при адсорбции газовых смесей) на границе раздела фаз. Необходимость разработки такого метода связана с простотой и более высокой точностью проведения экспериментов в данных условиях. Для реще-ния поставленной задачи исходная система дифференциальных уравнений сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Располагая экспериментально определенными значениями элементов вектора концентраций компонентов во внешнем растворе в (п—1) -й точке по координате,можно составить функционал невязок. Матрица коэффициентов диффузии адсорбированной многокомпонентной смеси веществ определяется из условия минимизации этого функционала. Данная методика реализована на примере адсорбции смеси гексанола и ге-нитроанилина из водных растворов на активном угле КАД. [c.141]

Полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода дает выражение для искомого переходного процесса с запаздыванием срвых. ( ) и могкет быть решено методом последовательных приближений, если за нулевое приближение принять известную функцию сро( —и считать ядром так же известную функцию ср (/—9-2— ). Однако все вычисления, связанные с построением последовательных приближений, значительно упротцаются, если учесть, что формально по (3) w(z) разлагается в ряд [c.9]

Для решения задачи кинетики диссоциации — рекомбинации в рас-сдштриваемом случае система (III. 5. 22)—(III 5. 25) приводится к системе неоднородных, нелинейных интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода. Для решения ее предлагается удобная самосогласованная матричная итерационная процедура. С помощью этой процедуры решается задача диссоциации молекулы Я , являющейся малой добавкой в Не, и обратной реакции рекомбинации Н-атомов [c.369]

Экспериментальные кривые ползучести и релаксации не подтверждают этот результат. Как бы велико ни было быстродействие рбгистрируюш,ей аппаратуры, при внезапном нагружении или деформировании по законам o= onst или E= onst скорость ползучести (или релаксации) реальных вязко-упругих материалов оказывается в первый момент настолько высокой, что при i->0 воспринимается нами как бесконечно большая. Этот экспериментально наблюдаемый факт определяет то обстоятельство, что при попытках достаточно точного описания вязко-упругих свойств с помощью интегральных уравнений Вольтерра (6.20) и (6.22) ядра II t—5) и El t—s) выбираются в виде функций, имеющих слабую (интегрируемую) особенность, так что /](0)=оо и ,(0)=оо (см., например, [118]). Подробнее об этом будет сказано в главе П1. [c.69]

На рис. 3.1 римская цифра I обозначает функцию комплексной податливости / (ю), II —функцию комплексного модуля (со), III — функцию ползучести I t), IV — функцию релаксации E t), V — функцию распределения времен упругого последействия, VI — функцию распределения времен релаксации. Буква а обозначает интегрирование по Стилыьесу, Ь — алгебраическую формулу обращения в комплексных переменных, с — преобразование Фурье, d — преобразование Лапласа, е — алгебраические уравнения, f — интегральные уравнения Вольтерра, g — интегральные преобразования. [c.165]

Отсюда понятны попытки некоторых авторов использовать для описания релаксационных свойств полимеров нелинейные интегральные уравнения Вольтерра, содержащие лишь один интеграл. Такие попытки были предприняты, в частности, Лидерманом [19], Розовским [20]. Более общее соотношение было получено Персо [21]. Оно основано на нелинейном принципе суперпозиции, обобщающем принцип Больцмана — Вольтерра. [c.170]

Автор статьи [21], цитируя оригинальную работу Больцмана, отмечает, что Больцман допускал возможность существования нелинейной зависимости наследственного типа в форме (2.15). Поэтому нелинейный принцип, определяемый зависимостью типа (2.15), назовем принципом Больцмана — Персо. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра типа (2.16) и (2.17) приведены в книге Трикоми [16], резольвенты строятся методом последовательных приближений. [c.170]

Ван Фо Фы [33, 34], рассматривая сходную задачу, полагал, что армирующие стержни распределены в сечении в узлах правильной двоякопериодической сетки. Им учитывались эффекты концентрации напряжений в связующем в зазорах между волокнами, ползучесть описывалась интегральными уравнениями Вольтерра с ядрами Работнова. [c.176]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология