Представления элементов группы матрицами размерность

Напомним, что g, — это элемент группы О. Если порядок этой группы т, то индекс I пробегает значения от I до т. Группа А имеет тот же порядок т, т. е. число матриц типа An(gi) равно т независимо от размерности представления п. Совокупность матриц Аш(дг) (их т) образует группу, совокупность матриц A 2(gг) также и т. д. Таким образом, приводимое представление разбивается на совокупность -(сумму) неприводимых представлений. Можно доказать, что такое разбиение единственно. Группы, образующие неприводимые представления, обозначают Ти. где к — номер неприводимого представления. Среди неприводимых представлений группы всегда имеется одно тривиальное, образуемое одной функцией базиса, инвариантной по отношению ка всем преобразованиям группы. Это одномерное представление называется единичным и обозначается Гь [c.78]

Размерность и вид матриц-представлений зависят от выбора базиса. Совокупность элементов базиса, члены которой преобразуются в функции элементов только этой совокупности может сама быть базисом представления. Процесс разложения базиса на базисы меньшей размерности называется приведением. Приведение заканчивается, если полученные базисы не поддаются дальнейшему приведению тогда они называются неприводимыми. Этим неприводимым базисам соответствуют неприводимые представления (НП) группы симметрии. [c.113]

Таким образом, матрицы представления Г суть унитарные матрицы. Можно доказать, что все возможные представления каждой группы О (в том числе и не обязательно группы точечной симметрии) эквивалентны ее унитарным представлениям, другими словами, при подходящем выборе базиса матрицы любого представления переходят в унитарные матрицы, а потому при рассмотрении представлений достаточно ограничиться лишь унитарными представлениями. Среди всех унитарных представлений всегда есть единичное, или полносимметричное, в котором каждому элементу группы отвечает одна и та же матрица размерности 1 х 1, а именно единица. [c.201]

Большая теорема ортогональности Вигнера служит отправной точкой для большинства приложений теории групп в химии. Если / —некоторая операция симметрии (или элемент симметрии) группы О, имеющей порядок ц, и если — матрица этой операции в неприводимом представлении Г, обладающем размерностью и а элемент этой матрицы, то большая теорема ортогональности Вигнера утверждает, что [c.273]

Таким же образом можно убедиться, что совокупность матриц А( г), найденная по методу (19,4) для всех элементов группы Г, образует представление группы Г, соответствующее уровню энергии Еп. Размерность этого представления равна кратности вырождения уровня Еп- При этом принято говорить, что система собственных функций образует базис для соответствующего представления группы Г. Представление A g), создаваемое собственными функциями, соответствующими одному уровню энергии, обязательно является неприводимым. В противном случае совокупность собственных функций а зпа, соответствующих одному значению Еп, можно было бы разбить на две или более частей, таких, что каждая из функций одной части выражалась бы линейной комбинацией типа (19,4) для всех элементов группы только через функции, относящиеся к данной части собственных функций. [c.86]

Для другого преобразования симметрии данной молекулы мы точно Так же получим другую матрицу. Перебирая таким образом все преобразования симметрии, т. е. все элементы группы симметрии данной молекулы, можно получить некоторую совокупность матриц размерности /, число которых совпадает с числом элементов в группе. Об этих матрицах говорят как о представлении группы, а совокупность функций грь г] 2, с помощью кото- [c.57]

Если дана группа 3 порядка g и два неприводимых представления и П") этой группы с размерностями 1т и 1п, то элементы — унитарные матрицы, составляющие представления, связаны между собой соотнощениями [c.347]

При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. В одномерных неприводимых представлениях матрицами являются матрицы вида 1 X 1> т. е. такие матрицы совпадают со своими характерами. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия (эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. В табл. В.9 приведены матрицы, соответствующие производящим элементам 32 точечных групп. Мы выбрали для них действительные значения, сгруппировав пары комплексно-сопряженных представлений (объединенных фигурными [c.368]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Указанное свойство матриц имеет очень важное значение для теории симметрии. Каждая точечная групна обладает характерным для нее набором элементов симметрии и своей таблицей умножения. Матрицы, отличаясь от операций симметрии своей математической природой, воспроизводят, имитируют самое важное в свойствах точечной группы — таблицу группового умножения, т. е. закон связи между элементами группы, они как бы описывают нам группу, но только на своем языке — языке матричного исчисления. Теперь становится понятным, почему математики, говоря о совокупности квадратных матриц, повторяющих основные свойства группы, употребляют термин представление данной группы симметрии . Каждая группа может иметь бесчисленное множество представлений, которые могут отличаться друг от друга как размерностью своих матриц, так и видом матричных элементов. Часто представление группы осуществляется и просто набором чисел, каждое из которых, впрочем, можно рассматривать как квадратную матрицу единичной размерности. [c.31]

Возникают случаи, когда получают наборы матриц размерности 4X4 или более высокого ранга, но исследование всех этих матриц показывает, что их всегда можно разбить на блоки простых матриц, которые связаны с пятью представлениями табл. 111-4. Эти пять наборов матриц имеют, таким образом, особое значение, и их называют неприводимыми представлениями. Принято описывать группу таблицей, в которой приведены характеры матриц неприводимых представлений. Характер матрицы равен сумме диагональных элементов. Таблицы характеров для группы С45 с элементами симметрии Е, , Сг, и оа приведены вместе сана- [c.74]

Мы не будем здесь излагать, как такая задача решается, отсылая интересующихся этим вопросом к книгам [2, 9]. В своем изложении мы только дадим описание структуры неприводимых представлений пространственных групп и их связи с представлениями группы Т, что, по нашему мнению, вполне достаточно для понимания смысла обозначений, используемых при классификации состояний кристаллических твердых тел. Пусть неприводимое представление О группы Ф известно и имеет размерность Матрицы В (/ а), соответствующие элементам подгруппы трансляций, образуют приводимое представление этой подгруппы. Предположим, что это приводимое представление при разложении на неприводимые содержит представления группы трансляций с номерами к),. .., к,-, которых соответствуют базисные блоховские функции. ....т) [c.62]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Итак, имеем некоторую группу О и ее представление — группу А, состоящую из матриц п-го порядка, изоморфную группе О. Поскольку каждому элементу из О соответствует своя матрица из А, обозначим эту матрицу Ап(ё ), где индекс, п отмечает размерность представления. Вид матрицы An(gi) зависит, конечно, не только от размерности базиса. Если, например, в качестве базиса вместо одних декартовых координат выбрать другие декартовы координаты, оси которых направлены иначе, то вид матрицы An(g ) изменится. [c.77]

Часто, приводя последовательно какое-либо пред-> ставление, матрицы которого имеют высокую размерность, например, 6, 7 и т. п., мы можем прийти к трехмерным, двумерным и даже к одномерным матрицам (т. е. к числам), работать с которыми значительно проще, чем с матрицами- мастодонтами . Но дело не только в удобстве. Изучение неприводимых представлений (сокращенно — НИ) показало, что они обладают рядом свойств, делающих их важными для приложений в физике и в химии. К тому же число НП для всех групп симметрии с конечным числом элементов конечно. [c.32]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной eAHHH4Hqn матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е. представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны [c.691]

Неприводимое представление — такое представление группы, для которого не существует никакого алгебраического преобразования, способного привести к новым представлениям группы с матрицами, имеющими меньшую размерность (стр. 31, 32). Рперация симметрии — такая операция, кото- рая после ее применения к какому-либо предмету приводит к новой его ориентации в пространстве, неотличимой от исходной и совмещаемой с ней (стр. 6, 7). Представление группы — любое множество квадратных матриц, поставленных в соответствие элементам группы и подчиняющихся таблице умножения группы (стр. 30), Приводимое представление — такое представление группы, из которого можно путем алгебраического преобразования получить новые представления с матрицами цень-шей размерности (стр. 32). [c.121]

Алгоритм построашя ЦРБИ. Центральным понятием теории является понятие ядра гомоморфизма. Пусть задано одно из представлений О группы С. Это значит, что каждому элементу g, принадлежащему группе С, поставлена в соответствие некая матрица 1У ( ). Единичному элементу сопоставляется единичная матрица размерности 1 . Выберем теперь из всех элементов группы С те, матрицы которых в представлении/З".совпадают с единичной. Данную совокупность элементов группы С обозначим Я — она является нормальным делителем группы С (т.е. Н<1С), который и называется ядром гомоморфизма представления О". Разложим теперь группу С в смежные классы по подгруппе Я [c.85]

Матрицу называют приводимой, если ее можно представить в такой блочно-диагональной форме. В противном случае матрицу называют неприводимой. Так, каждая из упоминавшихся выше матриц может быть приведена к одномерной и двумерной матрицам. Представление называют приводимым, если матрицы, соответствующие всем операциям группы, можно одновременно привести к блочно-диагональному виду. Если все матрицы представления группы нельзя одновременно привести к блочно-диагональному виду, то представление неприводимо. Для группы, содержащей конечное число элементов (операций), существует только конечное число неприводимых представлений. Если порядок группы (число элементов) равен /г, а размерность г-го представления (Г,) равна то можно записать следующее соотношение [c.246]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология