Векторы, матрицы и тензоры

Векторы, матрицы и тензоры — это упорядоченные множества величин. Вектор является одномерным упорядоченным множеством, т. е. величиной, для описания которой необходим один индекс. Матрицы представляют собой двумерные множества, для упорядочения которых нужны два индекса. Наиболее общей упорядоченной величиной является тензор. Число индексов, необходимых для построения тензора, называется его рангом. Таким образом, вектор является тензором первого ранга, матрица— тензором второго ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. [c.403]

Векторы, матрицы и тензоры 405 [c.405]

Для их перечисления требуются два индекса. Внешнее произведение матрицы с вектором порождает тензор третьего ранга, элементы которого требуют трех индексов. Тензор четвертого ранга получается в результате внешнего произведения тензора третьего ранга и вектора либо как внешнее произведение двух [c.405]

Векторы, матрицы и тензоры 407 [c.407]

Векторы, матрицы и тензоры 409 [c.409]

Внешнее произведение. Произведение двух векторов, матриц или тензоров, ранг которого выше, чем ранги сомножителей. Например, для двух векторов (тензоров первого ранга) оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки, результатом которого является матрица (тензор второго ранга). Возбужденное состояние. Состояние системы с энергией выше основного (низшего энергетического) состояния. [c.459]

Прямая сумма. Сумма двух векторов, матриц или тензоров, размерность которой больше, чем у каждого из слагаемых. В прямой сумме слагаемые не имеют в базисах общих компонент. Новая размерность результата равна сумме размерностей слагаемых. [c.461]

Умножением матрицы тензора Т слева на строчную матрицу вектора 8 получают новый вектор 8-Т, который можно представить в виде строчной матрицы. Умножая матрицу тензора Т справа на столбцовую матрицу вектора I, получают новый вектор Т-1, представляемый также столбцовой матрицей. Наконец, можно получить скаляр 5-Т-1 матричным умножением [c.323]

Поскольку элементарная ячейка не имеет центра симметрии, при к = О продольные и поперечные оптические моды активны в спектре КР [37—45]. Значения производных тензоров поляризуемости можно найти в табл. 6, где нормальные координаты приняты совпадающими с базовыми векторами кубической элементарной ячейки. Однако удобнее преобразовать тензоры так, чтобы одна нормальная координата qLo была параллельна волновому вектору фононов, а две другие, qJ.Q и, перпендикулярны этому волновому вектору. Тогда тензоры будут преобразованы к лабораторной системе координат. Матрицы интенсивности Пуле [221], которые получают возведением в квадрат компонент тензоров и комбинированием результатов для вырожденных поперечных оптических мод, имеют следующий вид. [c.452]

В подмножестве ПЛ/1 для ДОС/ЕС допускается использование одно-, двух- и трехмерных массивов. Одномерному массиву соответствует вектор, двухмерному — матрица и трехмерному — тензор. [c.254]

Второй тип произведения векторов называют по-разному прямым произведением, внешним произведением или тензорным произведением. Оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки и обычно обозначается как а Ь. Его результатом является матрица, или тензор второго ранга. Размерности перемножаемых векторов не обязательно должны быть одинаковыми. Если они неодинаковы, то результирующая матрица не является квадратной. Число ее строк соответствует размерности вектор-столбца, а число ее столбцов — размерности вектор-строки. Элементы этой матрицы равны [c.405]

Таким образом, мы имеем полное выражение (38.26) для энергии, связанной с упругой деформацией матрицы, при введении в нее точечных дефектов. Эта энергия выражается через константы материала параметры решетки растворителя, концентрационные зависимости периодов решетки, частоты колебания и модули упругости решетки чистого растворителя. Все эти данные можно получить из независимых экспериментов. Векторы Г , (к) в приближении ближайших или ближайших и следующих за ними соседей могут быть выражены через модули упругости и концентрационные коэффициенты Для этого необходимо использовать определение (38.5) и связь тензора а% р) с силами Гр (К) [c.332]

ТЫ, которые определяются направлениями вектора магнитного поля по отношению к какой-либо фиксированной кристаллической решетке. По симметрии таких кривых можно определить направления главных осей тензора градиента поля. Для того чтобы найти значения e Qq и необходимо диагонализировать матрицу < = <2 + +( м для какого-то определенного направления. В случае парамагнитных соединений по кривым постоянной частоты можно определить тензор квадрупольного взаимодействия и тензор парамагнитного химического сдвига. [c.213]

Такое же выражение для преобразования получим для каждого элемента тензора. Таким образом, тензор второго ранга определяется теперь как любое физическое свойство, которое можно трансформировать согласно уравнениям типа (А-83). Если направляющие косинусы таковы, что %1з = 0 при iф /, то / —диагональный тензор, а матрицы направляющих косинусов — это матрицы собственных векторов (разд. А-5д). Тем же способом приводятся к диагональному виду -тензоры и тензоры СТВ. Эта операция имеет большое значение при изучении анизотропных систем (гл. 7). Тензоры g я А должны быть получены при извлечении квадратного корня из тензоров и А . Квадрат тензора В определяется как =. Это определение требует, чтобы тензор Ш был симметричным даже в том случае, когда В таковым не является. Таким образом, без дополнительных данных невозможно различить элементы (5) ух и (В)ху . [c.447]

Выражение (21) имеет следующий смысл AEf — это квадрат длины вектора (20), или произведение ЬТ на столбцовый вектор T-L В результате умножения получается матрица Р, которая просто равна квадрату тензора сверхтонкого взаимодействия [c.141]

Для получения поправок к энергии во втором и третьем порядке теории возмущений полезно записать матрицу, связывающую МСК, в которой диагонален -тензор, с системой координат, в которой вектор е н направлен вдоль оси 2". Так как в последней системе направление осей X" и У не определено, для простоты можно положить г )" = О (ф", 0", г) — эйлеровы углы, связывающие-эти системы координат). Выражение для компонент этой матрицы через эйлеровы углы 0 и ф, связывающие МСК и ЛСК (в кото- [c.127]

Элементы этой матрицы являются косинусами углов между осями исходной и повернутой системы координат, которые называются также направляющими. Легко показать, что скалярное произведение и-и не зависит от ориентации вектора и в физическом пространстве. Определим теперь закон преобразования тензоров рассеяния при вращении системы координат. В новой системе координат (повернутой) уравнение (11,2-3) имеет вид [c.54]

К пьезоэлектрическим текстурам могут относиться только ацентрические текстуры, поскольку электрическая поляризация невозможна в среде, имеющей вектор симметрии. Такими будут текстуры, обладающие симметрией оо, 00-/П, оо 2. Пьезоэлектрические тензоры этих текстур имеют коэффициенты, отличные от нуля (рис. 68). Наличие симметрии существенно упрощает вид матрицы (127). [c.143]

Дается векторное представление совокупности дифференциальных уравнений Ван-дер-Ваальса, описывающей моновариантные равновесия в многокомпонентных системах. Особенностью рассмотрения является введение метрического тензора, матрица которого в исходном базисе образована вторыми про-изводны.ми термодинамического потенциала Гиббса. Получены разложения вектора, характеризующего смещение состава общей фазы с температурой, в базисе, образованном нодами, и во взаимном ему базисе, образованном векторами, направленными по касательным к изотермо-изобарическим кривым многофазных равновесий. [c.195]

Если область периодичности удовлетворяет условиям симметрии (см. введение), система уравнений (4) относительно матриц М, распадается на систему стандартных краевых задач относительно вектор-столбцов матриц M . При решении этих задач с помощью пакетов стандартных программ для задач теории упругости выдаются тензоры напряжений, которые как раз совпадают с элементами матриц [c.154]

Данная простая модель искусственного нейрона игнорирует многие свойства своего биологического двойника. Например,она не принимает во внимание задержки во времени, которые воздействуют на динамику системы. Входные сигналы сразу же порождают выходной сигнал. Несмотря на это, сети, построенные из искусственных нейронов, обнаруживают свойства, сильно напоминающие биологическую систему. Среди других моделей искусственных нейронов можно назвать нейроны второго и более высокого порядка, которые, в отличие от рассмотренного нейрона первого порядка, осуществляют перемножение не векторов, а матриц и многомерных тензоров. [c.33]

Тензор напряжений 5 можно записать н виде симметричной матрицы (имеющей [несть компонентов). Сумма ее диагональных элеыептоц равна нулю. Пусть теперь в момент времени I жидкость ограничена плоской поверхностью, проходящей через точку с радиусом-вектором г. Обозначим п единичный вектор рюрмали к поверхиостн в этой точке. Результирующую силу, действующую па единицу площади поверхности (имеющую [юрмальную и касательную составляющие), представим в виде [c.99]

Исследование начинают с выбора, ортогональных осей. г, у, з, фиксированных в кристалле. Этот выбор произволен, однако обычно выбирают одну (или больше, если это возможно) кристаллографическую ось. Кристалл монтируется в резонаторе таким образом, чтобы одна из осей, например ось х, была направлена вертикально. Вращая кристалл в резонаторе или магнит прибора относительно резонатора получают ряд значений расщепления. Если вертикально направлена ось X, то эти значёния расщепления связаны с изменением направления вектора напряженности постоянйого магнитного поля в плоскости yz. Аналогично получают. значения расщепления при вращении вектора напряженности в плоскостях ху и xz. Из этих измерений можно получить компоненты тензора Т сверхтонкого взаимодействия в выбранной системе координат. Окончательной же задачей является нахождение матрицы преобразования, которая диагонализирует этот тензор. [c.60]

Диадное произведение любых двух векторов А и В есть тензор второго порядка, имеющий девять компонент вида AiBi. Диадное произведение А и В обозначается АВ и представляется матрицей вида [c.410]

В базисе векторов нод X) и Хц компоненты ковариантного метрического тензора д. у равны соответствующим элементам матрицы Грама векторов х , х , т.е. g J = компоненты контравари- [c.103]

Если каждому атому в диссимметричной фазе приписывается некоторый полярный вектор, то при преобразованиях пространственной группы исходного кристалла имеет место не только перестановка атомов, но и поворот атомного вектора. Состояние кристалла в целом должно описываться 3 аУУ-компонентным вектором-столбцом (ст — число атомов в примитивной ячейке),отдельныекомпонентыкоторогоуказьгеают проекцию вектора на каждом атоме. ЗстУУ-компонентные орты в этом пространстве образуют базис векторного представления пространственной группы кристалла. Поскольку полярный вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, мы можем воспользоваться результатами 3, справедливыми для тензора любого ранга. Следует лишь матрицу преобразования тензора [c.34]

Тензор второго ранга, представляющий собой тензорное произведение двух векторов, называется диадой. Диада ab двух векторов а и А изображается матрицей ajbj). Примером диады является единичный тензор, который можно записать в виде [c.482]

Кристаллофизической системой координат называется декартова система координат, условленным образом ориентированная относительно кристаллогра( 1ческой системы, которая связывается с пространственной решеткой кристалла. Кристаллографическая система координат определяется тремя векторами элементарных трансляций и тремя углами между векторами трансляций, которые задают метрику кристалла и являются материальными константами кристаллического вещества / 6 /. Правила выбора координатных систем стандартизованы и приводятся в литературе по кристаллографии / 6, II /. Система координат, в которой квадратная матрица имеет диагональную форму, т.е. отличны от щжя только значения, стоящие на диагонали матрицы, называется главной системой координат тензора. [c.34]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология