Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Динамическое программирование и вариационное исчисление Вариационное исчисление

Мы рассмотрели несколько методов для решения одной и той же задачи—максимизации или минимизации функционала. В частности, были описаны методы динамического программирования и методы вариационного исчисления, связанные с принципом максимума Понтрягина. Как и следовало ожидать, между различными методами решения этой задачи существует тесная связь. [c.320]

Существенным препятствием, которого не удается избежать ни в динамическом программировании, ни в вариационном исчислении и вообще ни в одном из методов, применяемых для решения подобных задач, является так называемая проблема размерности. [c.159]

Множители Лагранжа в динамическом программировании. Неопределенные множители Лагранжа используются в классическом анализе и в вариационном исчислении при решении задач, на переменные которых наложены ограничения типа равенств. С неменьшим успехом эти множители можно применять и в динамическом программировании, где при их помощи удается снизить размерность оптимальной задачи. [c.280]

Аналитическое решение задач оптимизации в зависимости от их сложности производится методами дифференциального исчисления, вариационного исчисления или динамического программирования. Последний метод обладает наиболее широкими возможностями. Применение [c.12]

Особая группа задач оптимизации — задачи, в которых критерий оптимальности представляет собой не функцию, а функционал [см. раздел 13, обсуждение формул (13.26) — (13.27)]. Так бывает, если критерий зависит не от значений каких-то факторов, а от характера непрерывного изменения этих факторов например, если протекание переходного процесса определяется непрерывным изменением управляющего воздействия во времени, или если состав смеси на выходе из аппарата идеального вытеснения определяется профилем температуры по всей его длине. В таких задачах используют вариационные методы (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума). [c.252]

Следует также отметить, что множители Лагранжа часто применяют и в других методах оптимизации в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (подробно см. главы, посвященные изложению вариационного исчисления и динамического программирования). [c.139]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

Расчеты оптимальных условий проводятся математическими методами (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина) или часто различными методами направленного поиска [c.69]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

При решении задачи распределения с учетом быстрого изменения активности катализатора необходимо иметь в виду зависимость константы скорости реакции от времени. Это приводит к изменению задачи оптимизации, которая может быть сформулирована либо как задача вариационного исчисления, либо как задача, решаемая методом динамического программирования. При этом задача оптимизации решается для случая, когда [c.121]

Задача оптимального распределения нагрузок может быть решена либо методами вариационного исчисления, либо динамического программирования [44], [c.125]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

Следующий важный этап оптимизации химических реакторов — выбор метода расчета оптимальных режимов. Широкое распространение получили как классические методы математического анализа и вариационного исчисления, так и новые методы — принцип максимума динамическое и нелинейное программирование. В системе автоматической оптимизации время расчета оптимальных режимов Тр должно быть существенно меньше среднего времени между двумя последовательными возмущениями, т. е. [c.21]

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Основные математические методы оптимизации (классический математический анализ, вариационное исчисление, линейное и динамическое программирование, принцип максимума и др.) описываются в специальной литературе . [c.20]

В книге в доступной форме изложены основы методов оптимизации химических производств (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное, нелинейное и геометрическое программирование). Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев оптимальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи оптимизации конкретных процессов. Второе издание (первое издание выпущено в 1969 г.) дополнено изложением основ геометрического программирования, а также примерами, иллюстрирующими практическую реализацию методов нелинейного программирования. [c.4]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование 7) нелинейное программирование. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования (см. главу X). [c.29]

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их [c.31]

Таким образом, показано, что результаты, получаемые при применении метода множителей Лагранжа, вариационного исчисления и динамического программирования, можно представить в форме условий принципа максимума. Вместе с тем, соотношения принципа максимума, найденные независимо от этих методов, имеют более общий характер и позволяют решать задачи, которые не могут быть сформулированы в терминах этих методов или требуют специального обоснования возможности их применения. [c.404]

Для решения задач первой группы, т.> е. когда функция выгоды зависит только от состояния объекта, используются методы математического программирования, в то время как для задач второй группы применяются методы вариационного исчисления, динамическое программирование, а такн е принцип максимума (стр. 163)-. [c.73]

Каждое ограничение добавляет еще одно уравнение и на каждое ограничение вводится один множитель Лагранжа. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе программирования, где с их. помощью иногда удается снизить размерность, решаемой задачи. [c.144]

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации. Область действия метода значительно расширяется за счет использования множителей Лагранжа в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (например, в вариационном исчислении, динамическом программировании). [c.247]

Большинство практических задач оптимизации не может быть решено методами классического дифференциального и вариационного исчислений, В последние годы получили развитие новые методы, сильно расширившие круг решаемых экстремальных задач. К ним относятся линейное, нелинейное и динамическое программирование и принцип максимума Понтрягина. [c.129]

Указанная задача может быть решена методом динамического программирования. Нахождение оптимального Состояния системы достигается постепенно, путем многошагового изменения ее переменных, т. е. путем многошагового решения, В классических методах (вариационные исчисления) процесс решения представляется, по существу, как некоторый единый шаг. При методе динамического программирования оптимальные решения принимаются для каждого шага (т. е. в каждом состоянии системы). Таким образом, удается многомерную задачу свести к одномерной. [c.202]

В девятой главе рассмотрены методы оптимизации, предлагаемые для расчета ступенчатых и непрерывных систем. Здесь под ступенчатыми понимаются многостадийные процессы, происходящие, например, в последовательности реакторов и т. п. Для рещения задачи оптимизации таких систем предлагаются методы вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования. После описания этих методов рассматривается возможность их применения для различных задач. Изложены принципы решения нестационарных задач. В заключение проводится сравнение методов оптимизации, описанных в четвертой и девятой главах, и даются некоторые рекомендации по их использованию. [c.8]

Все указанные выше задачи имеют конечное число переменных от 10 или 20 в общей задаче (фиг. 4.2) до нескольких сотен в некоторых задачах линейного программирования. Возникают и другие задачи, в которых число переменных бесконечно. Например, производительность трубчатого реактора может зависеть от распределения температур вдоль него и может быть наибольшей для некоторого частного распределения. Распределение— это непрерывная кривая, имеющая бесконечно много значений. (Представьте температуру, определенную в п эквидистантных точках вдоль реактора, и пусть п стремится к бесконечности.) Производительность будет изменяться, если температура изменяется в любой точке вдоль оси. Математические методы для решения этих задач — это методы вариационного исчисления и динамического программирования Они рассматриваются в гл. 9. [c.89]

Хорошим примером метода, использующим специфические свойства ступенчатых систем, является динамическое программирование. Поэтому мы и начнем с него как с пути, ведущего к непрерывной задаче и вариационному исчислению. [c.297]

В случае старения нагрузки следует распределять пропорционально константе скорости реакции-, в случае отравления — для решения задачи распределения следует пользоваться методами вариационного исчисления или динамического программирования. [c.165]

В книге в доступной форме изложены основы методом оптимизации (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное и нелинейное программирование) с иллюстрацией их на объектах химической технологии. Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев о[1ти-мальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи, связанные с оптимизацией конкретных процессов. [c.4]

В настоян ее время для решения оптимальных задач применяют в основном следую1цие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) лгшеГнше программирование 7) нелинейное программирование. [c.29]

Для решения первых четырех задач были разработаны методы, основанные на использовании численных методов нелинейного программирования (поисковых методов) [И, 12] и методов теории оптимального управления — вариационного исчисления [15], динамического программирования [16], принципа максимума Понт-рягина [17], дискретного принципа максимума [18]. Пятая задача принципиально отличается от первых трех тем, что в ней наряду с непрерывными искомыми переменными имеются целочисленные переменные. Отсюда для ее решения необходимо применять методы [c.23]

Метод динамического программирования применим к любым многостадийным процессам, в которых на каждой стадий надо принимать решения для оптимизации всего процесса. Среди работ, в которых этот метод использовался для оптимизации химических реакторов, прежде всего надо отметить цикл работ Р. Арпса, которые затем были обобщены в его монографии . При полющи указанного метода Р. Арис рассмотрел оптимизацию последовательности реакторов идеального смешения адиабатических полочных реакторов с охлаждением потоков между полками теплообменниками (или исходным реакционным газом, либо газом, отличным от исходного), а также оптимизацию реактора идеального вытеснения. В частности, он получил ранее найденные методом вариационного исчисления уравнения оптимальной температурной кривой в реакторе идеального вытеснения для общего случая. [c.10]

Препятствием для использования, например, метода неопределенных множителей Лагранжа является наличие ограничений на управляющие воздействия или переменные состояния в форме неравенств. С этим же препятствием приходится сталкиваться при использовании вариационного исчисления, когда в случае ограничений типа неравенств невозможно записать уравнения Эйлера. Наконец, при выводе уравнения Беллмана в динамическом программировании (VI, 146) необходимо допущение о дифференцируе-мости функции /, для которой записывается это уравнение и которая связана с критерием оптимальности процесса, заданным в виде функционала (VII, 545) соотношением [c.404]

Непосредственное применение метода динамического программирования к этим задачам приведет к необходимости решения специального вида дифференциального уравнения в частных производных, в то время как принцип максимума приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, что является в общем значительно более простой задачей. Правда, следует отметить, что если решение но методу динамического ирограммирования найдено, то мы получаем значительно больше информации, так как в результате становятся известными оптимальные режимы для всех начальных условий. Принцип максимума и вариационное исчисление дают оптимальный режим только для одной комбинации начальных условий. [c.38]

Второй раздел химической кибернетики, занимающийся разысканием оптимальных условий проведения химического процесса, пшроко использует как классические методы вариационного исчисления, так и новейшие достижения современной математики — динамическое программирование и принцип максимума. В качестве простейшего примера можно указать уже упоминавшийся выше случай параллельных реакций с разными энер ГИЯМИ активации. При осуществлении подобного процесса в каталитическом реакторе идеального вытеснения выгодно повышать температуру катализатора вдоль слоя по мере выгорания исходного вещества. Оптимальное распределение температуры в слое для реакции получения окиси этилена рассчитано в работе Слинь- [c.470]

Динамическое программирование изложено его основоположником Веллманом в двух сугубо индивидуальных книгах [5, 6]. Введение в вариационное исчисление с описанием его ранней истории можно найти в монографии Блисса [7]. Курант и Гильберт [10] изложили теорию применительно к физическим явлениям. Парс [23] дал [c.333]

Арис [1, 2] дает введение к использованию динамического программирования для оптимизации дискретных и непрерывных процессов и рассматривает применение этого метода к широкому классу реакторов. Четкое описание способов использования классического вариационного исчисления для определения наилучшего распределения температур в реакторах с принудительным движением потока дано Катцем [5]. Катц показал, что применение динамического программирования к этой задаче приводит к дифференциальному уравнению в частных производных. Рассмотренные в предыдущей главе доклады Хорна посвящены применению градиентного [c.381]

Смотреть страницы где упоминается термин Динамическое программирование и вариационное исчисление Вариационное исчисление: [c.98] [c.373] [c.497]

Смотреть главы в:

Динамическое программирование в процессах химической технологии и методы управления -> Динамическое программирование и вариационное исчисление Вариационное исчисление

ПОИСК

Смотрите так же термины и статьи:

Программирование

Программирование динамическое

© 2025 chem21.info Реклама на сайте