Логистический рост

Эту формулу, которую часто называют логистическим уравнением, или уравнением Вольтерра в честь предложившего его итальянского математика, очень легко проанализировать. Обратите внимание на то, что когда число особей в популяции (Л ) мало по сравнению с емкостью среды (К), отношение (К — Л )//С близко к 1 и рост популяции почти экспоненциален. Однако по мере того как JV приближается к К, отношение (К — N)/K приближается к О, достигая его при М=К. Если построить график роста численности популяции в зависимости от времени, то получится S-образная кривая (рис. 13.1). Рост такого типа называется логистическим ростом. [c.337]

Короче говоря, для того чтобы рост происходил в строгом соответствии с логистической кривой, необходимо, чтобы значения г и К были постоянными и чтобы существовала мгновенно действующая обратная связь. Такие условия иногда удается создать в лаборатории, выращивая популяцию какого-либо микроорганизма с очень короткой продолжительностью жизни (предпочтительно с бесполым размножением) при постоянном уровне снабжения всеми ресурсами. При соблюдении этих условий можно наблюдать логистический рост, однако результаты, полученные в менее идеальных условиях, показывают, что для описания роста в природных условиях логистической модели недостаточно. [c.341]

Анализ эволюции технических систем как функции времени показывает [459], что практически все они в процессе своего развития обнаруживают экспоненциальный или близкий к нему рост своих технических характеристик. Рано или поздно, в развитии систем наступает предел. В этом случае кривая динамики ее развития принимает более пологий вид и, в итоге, выходит на плато. Интегрально, кривая приобретает 5-образный вид и носит название логистической. В полулогарифмической системе координат с линейной шкалой времени кривая развития технической системы изображается прямой с угловым коэффициентом, имеющим принципиальное значение как показатель, характеризующий тенденции в развитии системы. [c.37]

Площадь, заключенная между кривой биотического потенциала Г и логистической кривой 5, показывает сопротивляемость среды росту популяций. [c.15]

Здесь X обозначает плотность числа жертв на данной территории. Предполагается, что эта плотность пространственно-однородна, так что пространственной зависимостью будем пренебрегать. Постоянная а учитывает постоянный источник роста X, например обусловленный иммиграцией. Второй член в правой части (7.40) — логистическая составляющая роста (по Фишеру) популяции X с рождаемостью X, где К — постоянная (так называемая поддерживающая емкость среды). Уравнение в форме [c.238]

В отсутствие хищников окружающая среда неизменна для жертв, так что скорость роста их популяции описывается логистической функцией и имеет вид — Х/К)). [c.239]

При демографических исследованиях [53] подбирались уравнения для описания роста народонаселения, исходя из предельных условий на основе логических построений (откуда и произошел часто используемый в настоящее время термин логистическая кривая). Полученное таким образом уравнение имеет вид [c.47]

Обобщение в области использования логистического уравнения для описания роста популяции сделали Эдвардс и Вилке [54]. Авторы взяли за основу уравнение логистической кривой в самом общем виде [c.48]

Предложено несколько методов и приемов расчета роста популяции с использованием логистического уравнения, основой которых является нахождение линейной анаморфозы с последующим определением параметров методом наименьших квадратов. Так, линейную анаморфозу для уравнения (1.26) получают при представлении экспериментальных данных в координатах [c.48]

Рис. 2. Логистическая кривая роста лабораторной популяции дрожжевых клеток [13].

Логистическая зависимость роста может быть выражена следующим уравнением [c.48]

Логистическая зависимость словами может быть выражена следующим образом ...если при постоянных условиях физической среды популяция интродуцированного организма была основана в благоприятной среде, ее рост будет первоначально медленным и сначала имеет тенденцию возрастать в геометрической прогрессии, затем увеличение численности все более и более замедляется, пока не станет равным нулю, и в этот момент плотность популяции находится в равновесии с внешней средой [1849]. [c.48]

Другие возражения против модели Лотки — Вольтерры сводятся к следующему 1) модель в принципе основана на логистической теории роста популяции, которая в свою очередь признана ложной концепцией [27, 1465] 2) модель предполагает полностью избирательное (но при случайном характере поведения популяции) поведение особей паразита, причем его самки обладают неограниченной способностью откладки яиц и каждая встреча между паразитом и хозяином сопровождается откладкой яйца такого рода встречи продолжаются неопределенно долго вне зависимости от плотности популяций паразита или хозяина [27] 3) реакция паразита при встрече с хозяином мгновенная, и, следовательно, не существует никакого разрыва между моментом встречи и ее конечным результатом при этом не сделано поправки на полный жизненный цикл данных животных, что в действительности требует учета запаздывания, обусловленного ростом и созреванием [1465, 1468] 4) наконец, каждую особь в соответствующей популяции нельзя рассматривать как эквивалентную другим особям, так как они могут отличаться по фазам развития [1468]. Уатт [2237] также ставит под сомнение принятую в модели Вольтерры скорость прироста, якобы зависящую от плотности популяции. Такое допущение может быть источником ошибок. [c.53]

В теории разветвленных цепных реакций решающая роль отводится свободнорадикальному механизму. Предположим, что спонтанное или искусственное образование первичных (ионных и радикальных) активных центров есть процесс моно-молекулярный по отношению к их концентрации п в любой момент времени, а гибель — реакция второго порядка. Тогда рост числа активных центров в системе во времени выразится логистической функцией [c.75]

Самоограничение численности популяции, учтенное в (5.1) в виде квадратичного члена ( 8х ), осуществляется в результате отравления среды продуктами метаболизма, каннибализма. Эти факторы зависят прежде всего от численности взрослых особей, а воздействуют они наиболее сильно на ранние возрастные стадии. Это также значит, что ограничение общей численности д в данный момент определяется влиянием на популяцию особей в предыдущий момент. С учетом этих явлений логистическое уравнение роста (5.1) перепишется в виде [c.56]

Результаты других исследований показывают, однако, что логистическая модель малопригодна для описания роста популяции. [c.338]

Почему же логистического уравнения самого по себе недостаточно для описания роста популяции в природных условиях Причин этому много. Они, несомненно, различны для разных видов и пока еще не все поняты. Тем не менее некоторые из них можно проанализировать. [c.340]

В качестве крайнего примера представим себе популяцию мышей, состоящую из К— особей, среди которых есть несколько беременных самок. Добавление к такой популяции еще одной особи не вызывает массовых выкидышей у имеющихся беременных самок численность мышей продолжает увеличиваться, если даже размеры популяции превысят величину К. Таким образом, задержка в реакции популяции на повышение плотности — еще одна причина того, что рост популяции не происходит в строгом соответствии с логистической кривой. [c.341]

Через несколько лет эти явления были "переоткрыты" в совершенно иной области - при изучении экологических систем. Рассматривая простую задачу о логистическом росте популяции, Мэй [Хорстхемке, Лефевр, 1987] пришел к выводу, что во флуктуирующей среде популяция погибает при любом среднем значении параметра роста модели Мальтуса, если флуктуации этого параметра достаточно сильны. Иначе говоря, точка перехода от выживания популяции к ее гибели (в рассмотренной Мэем простой модели такой переход происходит при детерминированных условиях, когда смертность в точности компенсирует рождаемость) начинает зависеть от дополнительного параметра - дисперсии флуктуаций среды. Именно эта зависимость и приводит к смещению точки перехода. [c.124]

Рассмотрим далее основные подходы к разработке количественных закономерностей роста микроорганизмов. В табл. 2.4 представлены кинетические модели, полученные на основе обобщенных схем ферментативных реакций и наиболее щироко применяемые в практических задачах расчета процесса культивирования микроорганизмов. Другой подход к описанию кинетики роста популяции микроорганизмов (динамики изменения численности или массы) разработан на основе логистического закона с использова- [c.57]

Приведенные в предыдущем разделе математические выражения являются не столько математическим моделированием процесса роста популяции, сколько лучшей или худшей аппроксимацией 5-образных кривых (сигмоидных, логистических) с привлечением различных математических выражений или формальных приемов, обеспечивающих эту задачу. При этом константы, входящие в соответствующие уравнения, больше имеют смысл параметров, определяющих положение кривой в плоскости соответствующей системы координат, чем величин, каким-то образом характеризующих процессы роста и имеющих четкий биологический смысл. В приведенных выше эмпирических уравнениях трудно найти смысл математической модели (притом исследовательского типа), построение которой неизбежно должно предполагать пусть гипотетическое, но четко сформулированное предоположение о механизмах протекающих процессов. Анализируя положение с такой точки зрения, можно отметить, что в литературе приведено достаточно большое число математических выражений, созданных на основе какой-либо гипотезы и предложенных именно для описания процесса роста популяции. Это свидетельствует о важности проблемы и одновременно об отсутствии фундаментальной теории роста и размножения биологических объектов. [c.54]

Если заменить величинуг//п на Хоо, то уравнение скорости роста по Ферхюльсту совпадает по форме с уравнением логистической кривой Пирля (1.25) — (1.29), исходящего из других предопосы-лок, предложенным им для прогнозирования демографических процессов. [c.62]

Таким образом, в исследованиях роли внутривидовой борьбы в процессе роста популяции в настоящее время можно определить два направления. В одних случаях, считая рост популяции результатом и размножения, и отмирания микроорганизмов, их взаимовлияние сводят ко все увеличивающейся с ростом популяции гибели микроорганизмов. В других случаях рост популяции трактуется только как результат размножения клеток, скорость которого уменьшается по мере нарастания концентрации микроорганизмов в результате все возрастающего действия токсических продуктов метаболизма. При этом математический аппарат первой концепции взаимовлияния не зависит от конкретизации предполагаемого механизма торможения и в конце концов, сводится к уравнению Ферхюльста, аналогичному уравнению логистической кривой Пирля. Это является определенным свидетельством фундаментальности гипотезы, согласно которой взаимовлияние является фактором, угнетающее действие которого пропорционально квадрату числа имею- [c.67]

Полученные выражения (2.20) и (2.21), описывающие закон роста численности популяции микроорганизмов во времени, по форме практически совпадают с некоторыми из уже рассматривавшихся математических моделей роста популяции (см. главу I уравнение логистической кривой Пирля, уравнение Ферхюльста, учитывающее внутривидовую борьбу, частный случай уравнения Вольтерра для одной популяции, уравнение полученное Хиншельвудом при учете токсического влияния продуктов метаболизма и др.). [c.113]

Если требуется указать исследование, которое можно рассматривать как начало количественной экологии популяции, то это, несомненно, работа Пирла и Рида [1554], посвященная изучению форм роста народонаселения. Использование ими (ими же независимо выведенного) логистического уравнения Ферхюльста [2203] для анализа роста популяции явилось важнейшим шагом к созданию современной теории естественных популяций [1242, 1552]. [c.47]

Логистическое уравнение Ферхюльста и Пирла является по существу математическим выражением теории Мальтуса о росте популяции и сопротивлении среды. Логистическое уравнение сочетает тенденцию популяций организмов к увеличению численности в геометрической прогрессии и тенденцию среды препятствовать достижению чрезмерно высокой плотности таких растущих популяций. На рисунке 2 показана форма этого уравнения. [c.47]

Количественные исследования роста популяции малого мучного хрущака Tribolium соп-fusum Jaq. du Val, проведенные под руководством Чепмена в 1920—1930 гг., позволили получить обширную информацию о закономерностях роста популяции и сопротивлении среды этому росту. Эти две основные предпосылки логистической теории подверглись тщательному исследованию и оценке, что позволило сделать предположения о механизмах, которые, по-видимому, удовлетворительно их объясняют. [c.48]

Основные предпосылки логистической теории Ферхюльста—Пирла и теории биотического потенциала и сопротивления среды Чепмена привели к созданию концепции первостепенного значения для экологии популяций. Суть ее заключается в следующем в природе существует равновесная плотность, или характерный уровень обилия, популяций. Это основное положение теории о биологическом равновесии в природе. Эмпирические исследования, направленные на проверку или оценку логистической теории, показывают, что при данных условиях организмы действительно имеют тенденцию достигать (но не превышать) некоторого максимального уровня численности. Давно было отмечено, что плотность природных популяций, хотя и колеблется во времени, обычно достигает характерного уровня обилия, но Н( возрастает без ограничения или не снижается вплоть до исчезновения. Спенсер говорил об этом следующее Каждый вид растения или животного непрерывно претерпевает ритмические колебания численности — сейчас благодаря обилию пищи и отсутствию врагов она превышает среднюю величину, затем, вследствие недостатка пищи и обилия врагов, падает ниже средней величины.. . и где-то между этими колебаниями, созданными противоречивыми силами, лежит средняя численность вида, при которой его экспансионистские тенденции находятся в равновесии с противодействующими факторами внешней среды. Не может быть сомнения, что уравновешивание защищающих и разрушающих сил, которое мы наблюдаем в каждой расе, должно по необходимости продолжаться. Поскольку рост [c.49]

Эта идея о влиянии фактора плотности на размножение и смертность и ее конкретное приложение к оценке деятельности паразитов (хищников) была независимо разработана также Смитом [1846, 1849]. В основу своих рассуждений Смит положил в основном логистическую теорию Ферхюльста — Пирла, причем в том виде, как она была развита Вольтеррой. Логистическая теория Ферхюльста — Пирла явилась первой попыткой показать количественно, как плотность популяции животных может влиять на рост их собственной численности. Теперь, пользуясь теорией Никольсона — Бейли и данными Смита, мы видим также, как плотность растущей популяции хозяина может регулировать его собственную конечную численность благодаря механизмам действия естествеиных врагов. [c.55]

Линейная зависимость между увеличением смертности и плотностью, как указывалось в сноске в главе 3, подвергалась критике (например, [27]), поскольку линейная зависимость якобы не доказана и не может надлежащим образом отражать рост реальной популяции. Смит, используя эту линейную зависимость, исходил из логистической формулы Ферхюльста- Пирла. Безусловно, в специфических случаях нельзя рассчитывать, что рождаемость или смертность будут изменяться в точной линейной зависимости от плотности популяции. Однако линейная зависимость в том виде, как она показана на рисунке 5, является наиболее простым символическим предположением в самом общем виде, отображающим все возможные глучаи. В определениях Смита [1849, 1855] для повышенной смертности при увеличении плотности нет указаний на такую линейную зависимость, и его основные положения не связаны с ней. [c.71]

Элли и др. [13] ссылаются на регулирование популяций физическими факторами, как оно описано в работе Терао и Танаки [2014]. Эти японские ученые обнаружили, что популяции водяных блох при избыточном обеспечении нищей увеличиваются по существу согласно логистической кривой до асимптот 199 при 19,8°, 429 при 24,8° и 271 при 33,6°. При 24,8° достигалась наибольшая асимптота, или уровень обилия, однако температура, видимо, не является решающим фактором. Что же помешало росту каждой из популяций до еще большей плотности, если температура регулирует рост популяций независимо от плотности Поскольку в этом исследовании температура не менялась, условия были одинаковыми как в начале, так и в конце роста. Это, безусловно, означает, что по мере приближения к асимптотической точке для каждой группы происходило замедление размножения и (или) возрастание смертности, связанное с недостатком какого-либо ресурса, или загрязнением среды, или просто взаимными помехами отдельных особей популяции. Весьма возможно, что температура усиливает или ослабляет действие указанных факторов, но это, конечно, нельзя называть регулированием температурой. Этот пример хорошо иллюстрирует концепцию о более четком разграничении между ролью физи- [c.89]

По стратегиям роста в соответствии с логистическим уравнением Ферхюльста (1838) [c.49]

Таким образом, уже в 40-х годах была построена математическая модель роста культуры бактерий в замкнутом сосуде. Прекращение роста биомассы в этой модели имеет явную физическую причину — истощение питательной среды, и в этом, с нашей точки зрения, заключается преимущество модели Моно (3.8) перед другими, например, перед моделью Ферхюльста (3.12). Приведем здесь для сравнения получающееся из последней уравнение логистической кривой (рис. 3.6, кривая II) [c.66]

Другим примером модели роста популяции в среде с ограниченным количеством питательных веществ служит известное уравнение логистической кривой. Логистическое уравнение Ферхюлста имеет вид [c.6]

Напомним, что уравнение (1.3) логистической кривой Ферхюльста получается при учете самоограничения роста ("самоотравления") популяции в условиях тесноты и конкуренции внутри популяции. Оно имеет вид [c.52]

Как показали эксперименты, рост некоторых микроорганизмов (например, Parame ium, рис. 14.6, или дрожжей) в искусственно регулируемых условиях соответствует логистической кривой. Служит ли, однако, логистическая модель точным описанием роста популяций всех или хотя бы большинства организмов [c.337]

При рассмотрении логистической модели роста (гл. 13) делалось допущение, что рост популяции регулируется исключительнодоступными ресурсами. Обычно же за имеющиеся ресурсы конкурируют многие виды данного сообщества, так что на скорость роста того или иного вида влияет также число особей других, входящих в сообщество видов, которые используют этот ресурс. Кроме того, хотя влияние это взаимно, оно редко бывает одинаковым некоторые виды оказывают на рост других сильное, а некоторые — лишь незначительное воздействие присутствие на лугу одной коровы влияет на популяцию кроликов (в результате выедания травы) сильнее, чем присутствие одного кролика — на популяцию коров. [c.374]

Логистическую модель роста можно усовершенствовать, с тем чтобы в ней в явном виде учитывалось наличие других видов. Это впервые сделал американский ученый А. Дж. Лотка (А. J. Lotka) в 1925 г., а в 1926 г. независимо от него и более подробно — итальянский ученый В. Вольтерра (V. Volterra). Начнем с двух конкурирующих между собой видов—Л и 5. В гл. 13 было показано, что когда каждый вид растет отдельно от другого, скорости их роста описываются уравнениями [c.374]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология