Численное интегрирование

При численном интегрировании уравнения Эйлера, представляющего собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка [c.219]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Путем численного интегрирования уравнения (У.95) можно найти соотношение между фиктивным временем [1 и истинным временем I. После этого из уравнения (У.94) определяется функция [c.112]

Исследовать внутреннюю диффузию нри конечной скорости адсорбции гораздо труднее, поскольку мы сразу же сталкиваемся с нелинейными дифференциальными уравнениями. Общий метод, описанный в конце предыдущего раздела, можно применить к решению уравнений с кинетическими зависимостями типа (VI.20). Получить какие-либо общие результаты здесь, однако, трудно, вследствие большого числа параметров, входящих в кинетическую зависимость, и необходимости численного интегрирования. [c.141]

Заметим, что более полные сведения о влиянии капиллярных сил на процесс двухфазного течения можно получить на пути численного интегрирования уравнения (9.52) [33, 7].. [c.281]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Решение уравнений (П1.6) и (III.7) даже при использовании методов численного интегрирования представляет [c.42]

При численном интегрировании систем уравнений для начала процедуры нужно задать начальные значения всех без исключения неизвестных функций. Поскольку для систем уравнений (VII,1) и (VII,48) на любом конце траектории заданы только т значений функций x (1) и X (/) при общем их числе 2т, недостающие т значений должны задаваться до некоторой степени произвольно и затем уточняться по заданным значениям функций x (/) и (/) в конечной точке траектории. [c.354]

В университете штата Канзас (где преподает автор—доп. ред.) в начале семестра одна неделя отводится ознакомлению студентов с математическими методами, примерно в объеме, соответствующем объему главы XII этой книги. Сюда относится знакомство с типами дифференциальных уравнений, часто встречающимися в учении о химической кинетике, и методами численного интегрирования. Приближенные методы расчета находят широкое применение, так как экономят время и труд, а точность получаемых решений обычно вполне соответствует точности исходных экспериментальных данных. Применение указанных методов в тексте сохраняет элементарный характер изложения, принятый нами для настоящей книги. Точные решения, как правило, настолько сложны, что их использование могло бы оттолкнуть начинающего и затруднило бы понимание основных идей. [c.10]

Если табличные данные не являются равноотстоящими, то, нанеся их на график и проведя через них плавную кривую, получим возможность найти данные в равноотстоящих точках. Численное интегрирование особенно целесообразно, если имеются значения функции в очень большом интервале, так как в этом случае для получения равноотстоящих точек можно использовать логарифмические графики. Разумеется, логарифмические графики нельзя применять для графического интегрирования. [c.394]

Таким образом, за исключением некоторых специальных случаев, дифференциальные уравнения (УП1,2) и (VU 1,3) могут быть решены лишь с помощью двукратного численного интегрирования. Здесь будут рассмотрены только некоторые практически важные частные случаи, позволяющие использовать более простой подход. [c.184]

Метод, аналогичный методу Симпсона, приводит к решению дифференциального уравнения быстрее, чем численное интегрирование. [c.198]

Нелинейность кинетического уравнения затрудняет аналитическое решение двух первых уравнений. Численное интегрирование также наталкивается на трудности, вызванные граничным условием (11,241). Из этого условия вытекает, что Л/<Зг = О для любого г при 2 = 0, а учитывая также (И,239), получаем, что в точке R, 0) производная — д1 дг = у, откуда следует, что [c.213]

Расчеты проводились на вычислительных мащинах. При численном интегрировании в радиальном направлении интервалы составляли А г Я) =0,1, что соответствует 0,005 м. [c.217]

Явные разностные схемы для интегрирования градиентных систем дифференциальных уравнений. Идея численного интегрирования таких систем состоит в сведении задачи интегрирования систем дифференциальных уравнений к задаче решения систем алгебраических уравнений путем замены производных конечными разностями. В методах этого тида все выражения для оценок можно обобщить формулой [17] [c.214]

Павлов Б. В. О численном интегрировании жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.— В кн. Матем. проблемы химии. Новосибирск ВЦ Сиб. отд. АН СССР, 1973, с. 19-28. [c.369]

Строго говоря, получение точных решений уравнений (68) предполагает бесконечный базис функций, т. е. требует решения бесконечной системы уравнений. Но, как показал Рутан и как подтверждает обширная расчетная практика, удовлетворительного приближения можно достичь и при конечном базисе АО. При этом многое зависит от выбора базиса — его размеров и качества. Расширяя базисный набор путем добавления новых линейно-независимых функций, можно достичь такой ситуации, когда вычисляемые характеристики системы (орбитальные энергии, наборы коэффициентов и т. д.) окажутся нечувствительными к дальнейшему расширению базиса. В этом случае говорят о достижении хартри-фоковского предела. Предельный базисный набор АО дает очень точные результаты, почти такие же, как при численном интегрировании уравнений Хартри — Фока. Однако увеличение числа АО в базисе сопровождается существенным возрастанием вычислительных трудностей. Поэтому в реальных расчетах, особенно сложных многоатомных систем, используют базисы укороченные по сравнению с предельными. [c.180]

Конструкции модулей на полых волокнах с подачей исходной смеси в межтрубное пространство и выводом пермеата из внутреннего пространства волокон находят все большее применение для определения поверхности мембран систему уравнений (5.59), (5.60) удобнее всего решать прямым численным интегрированием с последующей итерацией. [c.169]

Решения для ступенчатого возмущения применительно к прямотоку и противотоку было дано методом характеристик. Приводятся решения через частотную характеристику для прямотока Имеются также решения для полного перемешивания газа в непрерывной фазе. Было представлено решение через частотную характеристику и для противотока с обратным перемешиванием результаты решения были использованы для определения (методом численного интегрирования) отклика на ступенчатое возмущение для модели противотока с обратным перемешиванием нри отсутствии адсорбции трасера на твердых частицах. Полагают что при наличии адсорбции перенос адсорбированного газа происходит с зернистым материалом, опускающимся в непрерывной фазе и обмениваемым между последней и газовым облаком. Будем называть массу газа, адсорбированного единицей объема твердых частиц (без учета просветов между частицами, но включая объем их внутренних пор), концентрацией с . [c.304]

Экспериментальное определение необходимых для расчета функций g x) и f x) может быть проведено в лабораторных ячейках с мешалками. Величины, определяемые выражениями (V.33) — (V.36), находят с помощью графического или численного интегрирования. [c.233]

Значение интеграла в формуле (XII.21) находят методом графического или численного интегрирования. Если селективность <р > 0,9, то с достаточной [c.199]

Численное интегрирование уравнения (111,82) для соответственно подобранного ряда начальных точек, расположенных значительно выше пузыря (например, для точек на горизонтали, проходящей через полярного координатную ось), дает поле [c.105]

Конечное перемещение элементов жидкости (меченых частиц) называют дрейфом его профиль определяется решением уравнения Лагранжа при соответствующих граничных условиях Это решение можно найти для произвольного случая при известных линиях тока только путем трудоемкого численного интегрирования по времени вдоль линий тока. [c.150]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215]

Уравнения (XV,3), (XV,15) и (XV,24) решаются методом численного интегрирования. Следовательно, чтобы удовлетворить заданному перепаду Сдавления на насадке Ар, расчет скоростей газа и твердых частиц ведется методом проб и ошибок. Типичные результаты такого расчета представлены на рис. ХУ-6 в виде [c.584]

Распределение концентраций, полученное путем численного интегрирования уравнения стационарной диффузии, может быть аппроксимировано для случая [c.233]

Окончательный результат может быть получен путем численного интегрирования системы уравнений (14.135), (14.137) при заданных граничных условиях. [c.298]

Расчеты Амундсона и Билоуса были выполнены для необратимой реакции первого порядка, так что г имеет вид (1 — ) /с (Г). Типичные расчетные кривые, полученные численным интегрированием системы уравнений (IX.65), (IX.66), показаны на рис. IX.15. Здесь показаны температурные профили Т ( ) при постоянной начальной температуре Гд = 340°К, но при температуре теплоносителя изменяющейся от 300 до 342,5° К. Вплоть до = 335° К температурный профиль изменяется весьма слабо, но дальнейший прирост всего на 2,5 град приводит к образованию резкого температурного пика, превышающего температуру у входа на 80 град. При дальнейшем увеличении на 5 град перепад температур между входом в реактор и горячей точкой возрастает до 100 град. Анализ чувствительности реактора, проведенный Амундсоном и Билоусом, основан на исследовании отклика системы на синусоидальные возмущения впоследствие был дан более строгий анализ отклика на случайные возмущения. Здесь мы ограничимся только качественным исследованием вопроса. [c.281]

Чтобы можно было воспользоваться соотношением (У,161) для численного интегрирования уравнения (V, 158), необходимо в начале процесса интегрирования знать значения х (/<0)) и х I- А/). Поскольку для уравнения Эйлера (У,133) граничные условия могут быть заданы в различных точках интервала интегрирования (V,135), величина л (/< > Аг ) должна быть задана для начала интегрирования в известной мере произвольно, после чего становится возможным примене1[ие формулы (У,161) для оиределения значения х на другом конце интервала интегрирования, т. е. величины л (/< ) Результат сравнения найденного значения х (/( ) с заданными условиями (V, 135) служит для коррекции первоначально принятого значення Л (/(0) А ). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между рассчитанным X (/( )) и заданным значениями х (/) на конце интервала интегрирования. [c.220]

I5 результате находится некоторое реигение системы уравнений (Vn,l), определяющее траекторию х 1), которая, вообще говоря, не проходит через заданную конечную точку (УП,2П). При этом нажно установить момент прекращения численного интегрирования [c.356]

Такой интеграл можно рассчитать аналитически. В данном случае наиболее простым будет применение численного интегрирования как менее трудоемкого и обеспечивающего достаточную для технических целей точность. Выбрав шаг интегрирования Аа = 0,05, сопоставим полученные значения подынтегральной функции I/ = (3 — а) / (0,126 — 0,327а + 0,150а2) [c.320]

Поскольку эффективность расчета по уравнению (1У.107) обычно иллюстрируется на примере монотонных функций [131, 132], то одномодальные сигналы целесообразно интегрировать на двух отрезках до точки максимума концентрации и после него, а результаты численного интегрирования суммировать. В случае дискретно записанных сигналов иной формы можно воспользоваться специальным квадратурным методом, основанным на кусочнолинейной аппроксимации сигналов [129]. [c.115]

Рнс. 111-1. Зависимость Ь от для реакции второго порядка, полученная методом Хафтона и численным интегрированием (Фан и Байлье ) [c.225]

Анализ уравнения (П1,267) позволяет провести качественные исследования устойчивости реактора, не прибегая к численному интегрированию. Точка, в которой т достигает максимума, называется горячей точкой реактора. Зависимость между степенью превращения и температурой в горячей точке можно получить, подставив в уравнение (П1,267) dxldx = Q. [c.294]

Индекс т указывает на то, что значение данной величины берется в точке максимума. Результаты численного интегрирования уравнений (П1,267) и (01,268) для большого числа различных параметров приведены в цитированной работе Баркелью в виде многочисленных графиков. Однако определить область устойчивой работы реактора по этим графикам непросто. На рис. П1-54 представлена зависимость Ттах/5 от N/S для р = О, то = О при различных значениях S. [c.294]

Функция Р(г,Т2) представляет собой модификацию выражения для скорости реакции, рассчитанной по формуле Темкина. Так как аналитическое решение приведенных уравнений невозможно, приходится прибегать к численному интегрированию. Для каждого значения г существует отвечающая ей температура Те, при которой наступает равновесие. По мере приближения температуры к этому значению функция Р проходит через максимум, становится равной нулю при Т = Те п отрицательной при Т > Г . Обозначив через Тт температуру, при которой скорость реакции максимальна, и через Т о,) температуру, при которой скорость реакции равна 0,1 от максимального значения, можно найти величину йг1йх при температуре Тщ. Величины с1г[с1х для различных значений 2 приведены ниже [c.301]

Павлов Б. В., Повзнер А. Д. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.— ЖВМ и МФ, 1973, т. 13, Л 4, с. 1056—1059. [c.369]

В остальных случаях расчет по урашению ( .42) может быть проведен с помощью графического или численного интегрирования. [c.234]

Маленькая порция инжектируемого газообразного трасера должна двигаться по определенной траектории. Относительно пузыря она будет двигаться по линии тока. Вторая порщгя газа, вводимая чуть позже, должна двигаться по несколько иной траектории, так как к моменту ввода в слой этой порции газа линия тока уже находится в новом положении. Газообразный трасер инжектируется непрерывно, поэтому его след показывает мгновенные положения всех элементов газа, поданных из инжектора. Этот след называется трассой (81еак11пе), ее форма ц положение могут быть вычислены при известных линиях тока только с помощью численного интегрирования по времени [c.159]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология