Распределение погрешностей и доверительный интервал

Используя распределение Стьюдента, задавшись доверительной вероятностью, определяют границы доверительного интервала погрешности измерения по формуле [c.82]

Кривые Гаусса — кривые плотности вероятностей — показывают распределение вероятностей в зависимости от величины случайной погрешности (Аа )- Таким образом они являются дифференциальными кривыми. Вся площадь, ограниченная кривой Гаусса и охваченной ею осью абсцисс, соответствует полной вероятности, т. е. единице. Каждая вертикальная площадка в пределах этой кривой, симметрично расположенная по обе стороны оси ординат (заштрихованная площадка на рис. 2-3), представляет собой доверительную вероятность для данного интервала погрешностей, равную отношению этой площадки ко всей площади, ограниченной кривой рнс. 2-3. Кривые Гаусса. [c.25]

Распределение погрешностей и доверительный интервал [c.317]

Доверительный интервал. При отсутствии систематической погрешности среднее арифметическое значение х не совсем совпадает с истинным значением величины. Отличие носит вероятностный характер и может быть оценено с учетом несовпадения реального pa пpeдeлeнйя погрешностей с распределением при бесконечно большом числе определений. [c.16]

Во избежание неправильной оценки результатов количественного газохроматографического анализа в каждом случае для измеренного значения следует указывать соответствующую случайную погрешность, а для характеристики среднего или отдельного значения находить доверительный интервал. Последний вычисляют при условии, что результаты анализа во всяком случае приближенно отвечают нормальному распределению. [c.58]

Нормированное стандартное распределение. Функция Лапласа. Результаты многократного химического анализа и сопутствующие им случайные погрешности принято характеризовать с помощью двух статистических критериев щирины доверительного интервала [Х1,Х2], внутри которого могут лежать результаты отдельных анализов, и доверительной вероятности а того, что они не выпадают из этого интервала. Как было показано ранее [см. уравнение (3.5)] [c.80]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Вследствие случайных флуктуаций один и тот же результат анализа- х может быть вызван разными аналитическими сигналами а и соответствующими содержаниями с элемента. Задача интерпретации результата анализа сводится к нахождению относительных вероятностей различных значений сигнала, которые могли вызвать этот результат или, как говорят, к установлению апостериорного распределения вероятностей сигнала хЮх а)< Функция Шх(а) зависит от априорной вероятности появления различных сигналов и от рассматривавшейся выше (см. 1.2.1) функ--ции Wa(x) распределения разных результатов измерений какого-то вполне определенного сигнала. Если априорная вероятность появления любых сигналов одинакова, то w ia) = Wa(x) [749]. Следовательно, пользуясь полученными при разработке метода или в процессе анализа характеристиками рассеяния (а и Wx) результатов измерений каких-то вполне определенных аналитических сигналов (анализируемых проб), можно решить и интересующую нас обратную задачу — найти интервал значений, в котором с заданной доверительной вероятностью будут находиться все аналитические сигналы, могущие вызвать данный результат анализа, а также указать наиболее вероятное значение сигнала. Ширина доверительного интервала характеризует случайную погрешность метода анализа. Чем этот интервал уже, тем более точным является суждение о величине сигнала и о содержании элемента, тем ближе результат измерения к истинному значению сигнала. [c.31]

Вклад от фт+1 в снижение остаточного функционала значим, но /т+1<С7, в то время как /щ ле ит в пределах доверительного интервала (возможно, немного расширенного). Это может означать либо, что произошла ошибка при оценке экспериментальных данных и им приписаны слишком большие погрешности, либо, что при оценке погрешностей допускали возможность появления ошибок, распределенных по закону, отличному от нормального. [c.30]

Имея параметры распределения, можно получить величину интервала, в котором с заданной доверительной вероятностью у окажется истинное значение измеряемого параметра. Ширина интервала пропорциональна среднеквадратическому отклонению и тем больше, чем выше доверительная вероятность. Половина ширины такого интервала составляет предельную погрешность измерения А р. Эту величину удобно выражать в среднеквадратических отклонениях. [c.83]

Определение доверительных границ случайной погрешности результата измерения. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения — это тот интервал, в который с заданной (принятой исследователем) вероятностью а должно попасть среднее арифметическое значение при бесконечном (теоретически) увеличении объема выборки, увеличении количества параллельных единичных наблюдений. Вероятность того, что это истинное (генеральное среднее) значение все же будет находиться за пределами вычисленных доверительных границ, определяется значимостью этих отклонений (/э = 1 — а). Такая вероятность есть всегда, поскольку теоретически могут иметь место любые отклонения (кривая нормального распределения не имеет границ). [c.101]

На практике чаще всего имеет место нормальный закон распределения случайных ошибок. В этом случае оценкой точности, характеризующей воспроизводимость результатов рентгеноспектрального анализа, является среднеквадрати.чная погрешность о, называемая также стандартным отклонением и определяемая как корень квадратный из дисперсии. Чем выше воспроизводимость анализа, тем меньше 0 и тем ближе отдельные результаты анализа к своему среднему значению, о — это абсолютная погрешность и поэтому характеризует возможную ошибку только при данном конкретном значении результата. Выражая погрешность в долях стандартного отклонения, можно найти вероятность того, что отдельный результат измерения Хг не выйдет за рамки этой погрешности. Такая вероятность называется статистической уверенностью или доверительной вероятностью Р, а выраженный в долях стандартного отклонения интервал называют доверительным интервалом. Между ними устанавливаются следующие связи [c.29]

В хроматографе Цвет-2000 предусмотрена возможность обработки в одном (любом) канале в режиме интегрирования до 100 пиков и в режимах градуировки и анализа до 30 пиков. При работе двух канатов одновременно их возможности по числу обрабатываемых пиков динамически перераспределяются (разделяются). Кроме расчета средних значений результатов и относительных значений СКО, явл.чющихся мерой сходимости результатов, предусмотрена возможность оценки доверительного интервала погрешности определяемых концентраций на основе распределения экспериментальных точек около градуировочной характеристики (дисперсии градуировочного коэффициента). С этой целью в режим [c.153]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

При обработке результатов многократного химического анализа и сопутствующих им случайных погрешностей принято приводить два статистических параметра — ширину доверительного интервала, внутри которого могут лежать результаты отдельных анализов, и доверительную вероятность того, что они попадают в этот интервал. Значения штгегральной функции распределения (2.2) представлены в таблицах, пользуясь которыми можно найти вероятность, с которой величина и не превзойдет заданного значения. Чаще при статистической обработке данных пользуются табулированными значениями интеграла [c.44]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Вклад от фгп+1 в снижение остаточного функционала незначим, а /т> j и лежит за пределами доверительного интервала. Это означает либо, что произошла ошибка в оценке экспериментальных данных и им неопределенно приписаны малые погрешности, либо, что при оценке погрешностей допускали возможность появления ошибок, распределенных по закону, отличному от нормальнох-о. [c.30]

Если заданы доверительные пределы, то можно вычислить доверительную вероятность, и наоборот. Для точного нахождения доверительных интервалов параметра распределения случайной величины необходимо знать закон распределения этой величины. В практике радиометрических и дозиметрических измерений часто можно считать, что приближенно выполняется нормальный закон распределения. Это предположение тем точнее, чем больше число замеров т. В этом сл)Д1ае для вьгчисления доверительных пределов среднего значения случайной величины при заданных доверительной вероятности р и числе замеров т достаточно вычислить стандартную погрешность среднего Ощ и умножить ее на коэффициент Г (критерий Стьюдента). В табл. 11.1 приведены значения критерия Стью-дента t в зависимости от числа замерров т для трех значений доверительной вероятности. В табл. 11.2 даны значения доверительной вероятности для четырех значений числа замеров т и для трех значений доверительного интервала, выраженного в единицах стандартной погрешности а . [c.263]

Большое значение имеют метрологич. характеристики-закон распределения результатов параллельных определений, границы интервала определяемых содержаний, воспроизводимость, правильность, погрешности анализа (см. Метрология химического анализа). За ниж. границу определяемых содержаний обычио принимают то миним. содержание, к-рое можно определить с заданной. максимальной относит, случайной погрешностью 5, для принятой доверительной вероятности Р (обычно Р = 0,95). При анализе в-в высокой чистоты часто задают 5 = 0,66. [c.432]

Tp— NINf) ( рф), при которой отклонение относительной оценки 6(u))/G((o) [дБ] не будет выходить за пределы заданных уровней с доверительной вероятностью (1—а)%. Например, при N=20 и распределении выбросов 95% выбросов укладываются в интервал 4,7. .. 6,4 дБ, а 80% в интервал 3,1. .. 4,3 д На рис. 4.4 для сравнения нанесена кривая 6=1/ N, характеризующая среднеквадратическую ошибку оценки. Например, полагая плотность распределения выбросов отсчетов нормальной с дисперсией, равной =8 N =N, и средним значением N=20, б=1/ ) 20 0,22 и 95% выбросов укладываются в интервале 3,3. .. —4,9 дБ, а 80% в 2,2. .. —2,8 дБ [3]. Приведенный пример показывает, что приближенная оценка разброса уровней с помощью б приводит к заметным погрешностям. По мере увеличения N эта погрешность падает. [c.158]