Уравнение Власова

Рис. 3.8. Стационарные самосогласованные решения уравнения Власова.

Уравнение Власова (3.106) можно привести к более традиционной форме записи, если вспомнить, что числовая плотность п (х, I) задается через 2 1 соотношением (ср. с (3.1)) [c.149]

Интересно сравнить уравнение Власова с уравнением Лиувилля для одной частицы в силовом поле, потенциал которого равен [c.149]

Очевидно, что оно совпадает с уравнением (3.110). Следовательно, уравнение Власова описывает динамику одиночной частицы в поле средней силы. Это поле является результатом осреднения двухчастичного взаимодействия по плотности оставшихся частиц. Сила 6 в уравнении Власова (3.110) является функционалом от Р, что видно из соотношений (3.111) и (3.112). Силовое поле О, которое присутствует в одночастичном уравнении Лиувилля, приложено извне и от не зависит. В так называемой теории орбит первого порядка мы считаем силовое поле в уравнении Власова известным и постоянным, и в этом случае уравнение Власова вырождается в одночастичное уравнение Лиувилля. А решением уравнения Лиувилля является плотность точек системы в Г-пространстве. В данном случае каждая система — это одиночная частица, поэтому в таком простом случае и Г-и [х-пространства являются шестимерными. К тому же динамика ансамбля будет идентична динамике множества невзаимодействующих частиц, эволюционирующих под влиянием внешнего потенциального поля. Решением являются орбиты первого порядка , которые дает уравнение Власова в случае силы О, не зависящей от Р. [c.150]

Так как уравнение Власова описывает движение частицы под влиянием силы, осредненной по всем оставшимся частицам, то можно предполагать, что траектория частицы будет гладкой. Это можно показать, найдя решение уравнения (3.110). Из предыдущих рассмотрений в гл. И нам известно, что самое общее решение этого уравнения будет являться функцией решений характеристических уравнений ) [c.150]

Другие интерпретации уравнения Власова можно получить, сравнивая его с БИ1. Интегралы в уравнении Власова и в урав- [c.151]

Рис. 3.9. Самосогласованная схема для уравнения Власова.

Задача 3.8. Показать, что уравнения Власова динамически обратимы. То есть если (р, х, 1) — решение, то (—р, х, также будет являться решением. [c.153]

МЫ решили уравнение низшего порядка, т.е. уравнение Власова для Fi, Если мы теперь подставим это решение в последние два уравнения, то в результате получим [c.154]

Выяснив, какую роль в макроскопической физике играют функции распределения низшего порядка, мы приступим теперь к получению других уравнений для одночастичной функции распределения. Пока мы познакомились со следующими кинетическими уравнениями с уравнением свободно-молекулярного течения (совпадающим по форме с одночастичным уравнением Лиувилля) с уравнением Власова и очень кратко (как упражнение в анализе Боголюбова) с уравнением Больцмана. Последнее уравнение. [c.164]

До настоящего момента мы познакомились с двумя кинетическими уравнениями уравнением свободно-молекулярного течения, или одночастичным уравнением Лиувилля (3.79а), и уравнением Власова (3.106) ). Оба они естественным образом следуют из Л -частичного уравнения Лиувилля или, что эквивалентно, из ЗЛ совместных дифференциальных уравнений второго порядка (второй закон Ньютона для N частиц). Поэтому не является неожиданностью тот факт, что решения этих двух кинетических уравнений удовлетворяют принципу динамической обратимости. Это означает, что одновременно с решением / (х, t) существует и решение / (х, — , — ). Уравнения в такой форме сами по себе пе могут выражать необратимый макроскопический закон. Макроскопический закон Л [ ( )] для макроскопической переменной t) является обратимым, если Л (—также представляет собой закон. В этом случае никакой эксперимент для не может указать, возрастает или убывает время t. Если Л (— )1 не имеет смысла, то закон Л является необратимым. Функция характеризует некоторое свойство данной макроскопической системы. [c.170]

Задача 4.41. Следуют ли уравнения сохранения из уравнения Власова (см. разд. 3.4) [c.237]

Различие между этими двумя уравнениями связано с природой входяш,их в них сил, действуюш их на частицу. В уравнении Власова — это моментальное размазанное силовое поле. Оно не восприимчиво к индивидуальным парным столкновениям. В каждый момент времени на типовую частицу действует сила со стороны всей совокупности частиц газа. Эта частица не ош,уш,ает>> действия отдельных частиц. С другой стороны, столкновительный член Фоккера — Планка, хотя он также соответствует случаю дальнодействия, содержит двухчастичные столкновения. При таком взаимодействии частицы видят одна другую. Чтобы отличить столкновения Фоккера — Планка от власовских столкновений в плазме, мы введем понятие дальних и самых дальних столкновений. [c.254]

Таким образом, мы показали, что плазма хорошо описывается уравнением Власова со столкновительным членом Фоккера — Планка. Именно, столкновительный член Фоккера —Планка вводит необратимость в модель Власова. [c.255]

Нетрудно видеть, что уравнения (I. 4. 19) —(1. 4. 21) являются самосогласованными, т. е. в описываемой ими системе устанавливается такое распределение, которое само создает электрическое поле, необходимое для своего существования. Уравнение (I. 4. 19) известно как кинетическое уравнение с самосогласованным полем или уравнение Власова [22 . Оно весьма часто используется для исследования свойств разреженной высокотемпературной плазмы, в которой время между столкновениями оказывается больше характерных времен задачи (периодов разнообразных колебаний, времени удержания плазмы и т. д.). Наиболее характерная черта уравнения Власова состоит в том, что для замкнутой системы в приближении самосогласованного поля энтропия [c.120]

В третьей главе рассматриваются взаимоотношения между кинетическими уравнениями и гидродинамикой, в первую очередь на основе одночастичной функции распределения. Читатель знакомится с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ-уравнений, а также с другим подходом, связанным с введением корреляционных функций и групповых разложений. В зависимости от значений определяюш,их параметров, связанных с близко- или дальнодействием наложенных силовых полей, степенью разреженности газа, его температурой и интенсивностью взаимодействий молекул, изучаются различные случаи получения соответствующей цепочки уравнений и их решения. Здесь же в качестве примера кинетического уравнения рассматривается уравнение Власова. Особо обсуждается радиальная функция распределения и получающееся при ее использовании уравнение состояния. [c.6]

ББКГИ-уравнения исследуются в гл. III двумя способами. Вначале мы ознакомимся с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ-уравнений. По существу, эта теория вскрывает физический смысл одночастичной функции распределения. После этого ББКГИ-по-следовательность будет разложена около нулевых корреляций и будет получено формальное упорядочение простых кинетических уравнений. Одно из них, уравнение Власова, приведет к понятию самосогласованных решений. [c.113]

Это уравнение известно как уравнение Власова и широко используется в теории высокотемпературной плазмы. Оно также применяется в теории кристаллических структур (Власов (1961)), теории конденсации (Либов (1963)) и в кинетическом описании теории Ньютона — Джинса образования звезд (Линден-Белл (1962)). Объединяюш ее обш ее свойство всех таких приложений связано с коллективными взаимодействиями и дальнодействую-ш,ей природой доминируюш их сил. [c.149]

Более часто уравнение Власова встречается в форме (3.110)— (3.112). В эти уравнения входят три переменные — Р, О и гг. амосогласованность здесь проявляется в следующем. Функция Р определяет О и гг через уравнения (3.111) и (3.112). Поле О определяет затем Р из (3.110). Полученное значение Р должно совпасть с первоначальным (рис. 3.9). [c.151]

Д. Приложения уравнения Власова к изучению явлений в неплазменных средах [c.167]

Это не уравнение Власова, а одночастичное уравнение Лиувилля, поскольку сила К в (4.55) — это известная внешняя сила, а в уравнении Власова — это самосогласованная сила, являющаяся функционалом от /. Но использовать уравнение (4.55) для описания динамики изолированной частицы бессмысленно, поскольку намного прош е пользоваться непосредственно вторым законом Ньютона. В чем же заключается польза одночастичного уравнения Лиувилля [c.195]

Сейчас уместно сделать одно замечание относительно кинетических уравнений и столкновений при дальнодействии. В гл. П1 мы пришли к заключению, что уравнение Власова пригодно для газа, частицы которого испытывают дальнодействуюш ие столкновения, которые в свою очередь, были определены через радиус взаимодействия. Соответствуюндим параметром для кулоновского газа является плазменный параметр п(Р, где й — радиус Дебая. Для п(Р 1 (в дебаевской сфере много частиц) мы получили уравнение Власова. В настояш,ей главе (исходя из импульса, сооб-п1,аемого при столкновении пробной частице) была введена концепция дальнодействуюп1,их столкновений и получено уравнение Фоккера — Плапка. [c.254]

Здесь следует отметить, что кинетическое уравнение в форме Ландау можно получить и непосредственно из цепочки уравнений Боголюбова. Для этого следует в уравнениях относительно двухчастичной корреляционной функции оставить только члены, содержащие одночастичные функции, и сделать некоторые предположения об асимптотических (по времени) свойствах корреляционной функции (наложить так называемое условие ослабления корреляций). Тогда вся зависимость парной корреляционной функции от времени сведется к временной зависимости одночастичной фун1щии, и в результате получается кинетическое уравнение с интегралом столкновений в форме Ландау. Весьма важным свойством уравнения с интегралом (I. 4. 28) является его необратимость этим оно отличается от уравнения Власова. [c.122]

Как мы ун<е отмечали выше, описание плазмы с помош ью функции распределения может быть слишком детальным, и обычно переходят к гидродинамическим уравнениям, выписанным выше. При этом можно пользоваться либо многожидкостной гидродинамикой (электроны, ионы, нейтралы), либо одножидкостной магнитной гидродинамикой, в которой свойства среды задаются значениями плотности, вязкости, проводимости. Физические вопросы, связанные с магнитогидродинамическим описанием плазмы, обсуждаются в [59]. Вопрос об областях применимости различных уравнений для описания полностью ионизованного газа рассматривался в [60]. Здесь мы приводим диаграмму (рис. 2), заимствованную из [60], на которой изображены области значений параметров, где применимы соответствуюш,ие уравнения. В области А применима классическая магнитная гидродинамика 1). В области В справедлива магнитная гидродинамика с анизотропными свойствами переноса. В области С для адекватного описания процессов следует пользоваться кинетическим уравнением с интегралом столкновений в форме Ландау, Область В соответствует кинетическому уравнению с интегралом столкновений, зависяш,им от магнитного поля [61]. В областях, расположенных ниже кривой 1, удовлетворяются условия идеальности плазмы, т. е. в е г кТ 1. В области выше кривой 2 имеем е Е г < <фпр 12, а выше кривой 3 — г /гд < 1 (га — ларморовский радиус). Кривые 2 ж 3 построены для /7=10 э и Е уШс. В области выше кривой 4 имеют место уравнения- сплошной среды, т. е. выполняется неравенство < 1 Ь — характерный размер задачи), а левее кривой 5 — пре-небрежимы релятивистские эффекты. Пунктирная линия отделяет область полной термической ионизации водорода, т. е. правее этой кривой имеет место более чем 50%-ная ионизация. Прямая 6 соответствует о) т = 1 (для Я=10 э). В области С, вдали от прямой 4, мояшо пренебречь интегралом столкновений, так как здесь выполняется условие г /вЬ 1, и использовать уравнение Власова. [c.137]

Тот факт, что мы теперь имеем два уравнения, а именно (5.8.J2) и (5,8.9). означает, что у () уже не определяется только у (0), а зависит также От начального значения о . Казалось бы, можно надеяться, что после короткого начального переходного времени а подстроится, быстро достигнув асимптотического значения, зависящего только от мгновенного значения у (О- так что после короткого перехода справедливым окажется перенормированное урзв-нсние для у. Однако это не так временной масштаб, на котором достигает значения (5.8,10), определяется коэффициентом а[ в (5,8,9) и поэтому сравним с масштабом изменения самого у (см. (5.8.7)). Разделения масштабов не происходит, и потому нельзя выделить одно уравнение, содержащее только у-Эта ситуация аналогична той, что встречается в кинетической теории разреженной плазмыВ низшем порядке по плотности одночэстичная функци.ч распределения электронов удовлетворяет уравнению Власова. Приближение следующего порядка дается двумя связанными уравнениями для одночастичной и двухчастичной функций распределения. С другой стороны, в кинетиче- [c.130]

Характерной чертой неравновесной термодинамики, как и термодинамики вообще, является универсальность выводимых в ней соотношений. Если менять свойства и характеристики рассматриваемой системы (например, концентрацию молекул, потенциал взаимодействия), то величины и функции, связываемые термодинамическим соотнощением, будут меняться, соотношение же останется неизменным. Скажем, (Л), /р (Л) и 5 (Л) изменятся, однако соотношения Опзагера (5) не изменятся, ой универсальностью термодинамические соотношения отличаются от некоторых соотношений кинетики. Например, уравнение Больцмана справедливо далеко не всегда, а лишь для короткодействующих сил, не слишком больших плотностей, уравнение Власова справедливо лишь для кулоновских взаимодействий, когда столкновениями можно пренебречь, и т. п. [c.8]

Эккера а также многие сборники ). В рамках одной главы невозможно дать изложение всей теории, но авторы и не пытаются это сделать (в книге даже не упоминаются уравнения Власова и уравнения Ленар-да—Балеску и специфические проблемы устойчивости процессов переноса неоднородной плазмы в магнитном поле). Как и в книге Чепмена и Каулинга, процессы переноса в плазме рассматриваются лишь как простой пример применения теории Чепмена—Энскога для вывода уравнений магнитной гидродинамики. [c.8]

Остается еще задача — найти оператор, соответствуюпщй взаимодействиям на расстояниях, меньших дебаевского радиуса, т. е. оператор столкновений. Не удивительно, что вид оператора столкновенш зависит от относительных значений некоторых из параметров. В случае достаточно разреженной плазмы (подобно той, которая встречается в установках для термоядерного синтеза) можно полностью пренебречь взаимодействиями на малых расстояниях и тем самым мы придем к бесстолкновительному уравнению Больцмана, или уравнению Власова, В противоположном случае, когда кулоновский потенциал несуществен по сравнению с другими межмолекулярными силами (эта ситуация не соответствует физически реальным случаям), удовлетворительные результаты дает применение уравнения Больцмана. В наиболее распространенной ситуации следует учитывать одновременные взаимодействия многих частиц. Однако из-за того, что кулоновский потенциал дально- [c.414]

Профессор А. А. Власов в середине нашего века искал уравнения, описьшающие системы из большого числа частиц жидкость, твердое тело и т.п. в ходе своих поисков он руководствовался идеей частицы полностью делокализованы (размазаны в пространстве). Нет частиц - есть только плотность вещества. Это не согласуется ни с тогдашней, ни с сегодняшней теоретической физикой. Как критиковали А. А. Власова виднейшие теоретики Л. Д. Ландау, П. П. Боголюбов... А результат Уравнение Власова вошло во все учебники. Для него получено легальное обоснование. Метод сработал, хотя его основания были откровенно еретическими и как теория отвергнуты. [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология