Спектральная плотность вычисление

Для решения уравнения (VII. 1) и расчетов систем регулирования приходится переходить к спектральным характеристикам случайных процессов. Эти характеристики могут быть получены двояко по предварительно вычисленным корреляционным функциям и непосредственно по реализациям. Обычно предпочитают первый путь, так как количество вычислительных операций приблизительно одинаково, между тем оценка спектральной плотности, вычисленная непосредственно по реализации, це всегда сходится к истинной спектральной- плотности [8]. [c.169]

Этот же результат получен независимо в работе [11.2] для числовой оценки спектральной плотности, вычисленной по формуле (11.7). Соответствующая формула имеет вид [c.281]

Оценки, полученные согласно выражениям (VII. 3) и (VII. 4), являются несмещенными, однако их отклонение от истинных характеристик может быть весьма значительным. Это особенно относится к ординатам корреляционной функции, соответствующим большим значениям т, и к ординатам спектральной плотности, соответствующим малым значениям частоты. Оценки могут, например, иметь вид, показанный на рис. VII. 1. Для обоснованного выбора длины реализации Т необходимо знать статистические характеристики процесса, т. е. как раз те характеристики, которые по этой реализации вычисляются. Выход из этого положения состоит в том, чтобы выбрать Т по какой-нибудь грубой оценке характера случайного процесса, которую можно определить до вычисления спектральной плотности и корреляционной функции. [c.159]

Вычисление спектральных плотностей [c.169]

Разложение спектральной плотности в ортогональный ряд. В случае численного преобразования корреляционной функции по Фурье мы получаем дискретную последовательность ординат спектральной плотности. Чтобы получить спектральную плотность в аналитической форме, необходимо аппроксимировать. эту таблицу дискретных значений какой-либо функцией. Часто можно существенно сократить объем вычислений и повысить их точность, если вместо использования отдельных ординат спектральной плотности определить ее целиком в форме разложения по системе [c.171]

Заметим, что если получены fa(x), то трудоемкость вычисления коэффициентов по формуле (УП. 32) приблизительно такая же, как и при вычислении отдельных ординат спектральной плотности по формуле Фурье-преобразования. [c.174]

После вычисления спектральных плотностей функции корреляции получены следующие выражения для времен релаксации в приближении маловязких сред [c.272]

При практических вычислениях автокорреляционной функции и кривой спектральной плотности по какой-либо реализации коне чной длительности (полученной как ряд дискретных замеров) ее (реализацию) необходимо подвергнуть следующей обработке [c.89]

Пользуясь методом Ландау-Лифшица для вычисления временной корреляции нескольких переменных величии [7], находим спектральные плотности 1 и m элементарных возбуждений, характерных для переходного слоя [c.133]

Продолжительность измерения разности потенциалов между сооружением и землей обычно устанавливается по времени затухания нормированной автокорреляционной функции случайного процесса изменения измеряемой разности потенциалов. Обычно для описания основных свойств случайного процесса используют четыре статистические функции среднее значение квадрата случайного процесса, плотность распределения, спектральную плотность и автокорреляционную функцию. Однако только последняя дает полную информацию о процессе во времени и характеризует степень связи между сечениями случайной функции при различных значениях аргумента. Исходным материалом для расчета продолжительности времени измерения обычно служат непрерывные диаграммные записи /т. з, которые при расчете заменяются совокупностью дискретных значений. Продолжительность записи- конкретной реализации U ,з определяется длительностью периода максимального движения электрифицированного транспорта. Методика вычисления нормированных автокорреляционных функций для определения времени измерения разности потенциалов между сооружением и землей детально разработана в работах [13, 14, 17]. Она предусматривает проведение многократных операций сдвига матрицы исходных данных, определение оценок для математических ожиданий, расчет оценок для дисперсий и средних квадратичных отклонений, определение оценок корреляционных моментов, вычисление оценок для элементов нормированной корреляционной матрицы и усреднение вдоль параллелей главной диагонали. Для каждой конкретной реализации на основании данных, полученных при расчете на ЭВМ, строятся автокоррелограммы. Анализ построенных автокоррелограмм позволяет получить рекомендации по продолжительности измерений на данном сооружении при определенном сочетании влияния различных источников блуждающих токов. [c.106]

Способы оценивания ковариационных функций и спектральных плотностей при помощи аналоговых устройств и цифровых ЭВМ детально описаны в [3.1]. Здесь же оценивание рассматривается с точки зрения возможных ошибок. Все оценки приводятся в виде выражений, содержащих интегралы, которые легко заменить суммами и тем самым преобразовать к виду, удобному для вычисления на ЦВМ. Нужно только обратить внимание на следующие замечания, связанные с особенностями выборок из случайных процессов, о которых говорилось в разд. 1.2.3. Во-первых, непрерывная реализация длины Т превращается в последовательность N равноотстоящих выборочных значений без существенной потери информации, если [c.78]

Хотя выражения (3.81) и (3.82) и дают прямой метод оценивания ковариационных функций, современные устройства цифровой обработки сигналов позволяют более эффективно оценивать ковариационные функции путем вычисления финитного обратного преобразования Фурье оценок спектральной плотности, и поэтому этот способ в настоящее время более распространен. Используя соотношения (3.32) и (3.40), получаем [c.79]

Вызванная этими факторами суммарная случайная ошибка прямым образом связана с а) функцией когерентности вычисленной по наблюдаемым реализациям входного и выходного процессов, и б) числом усреднений пц, использованных при вычислении оценок спектральных плотностей. В гл. И показано, что нормированная случайная ошибка оценивания амплитудной характеристики и среднеквадратичное отклонение при оценивании фазовой характеристики равны [c.113]

Следует отметить, что операторы математического ожидания над преобразованиями Фурье в (8.50) не являются необходимыми для вычисления остаточных спектральных плотностей эти функции можно выразить непосредственно через спектраль- [c.211]

При вычислениях по этим формулам на цифровой ЭВМ частота / принимает дискретный набор значений с шагом Д/ = 1/Г. Предполагается, что x t) и y t) являются реализациями стационарных эргодических или переходных случайных процессов, так что моменты распределения вычисляются усреднением по ансамблю. Двусторонние спектральные плотности [c.254]

Для вычисления функций условной спектральной плотности умножим выражение (10.43) на Х , найдем математические ожидания обеих частей полученного равенства и разделим на Т, [c.264]

Последовательный характер вычислений условных спектральных плотностей по формуле (10.47) иллюстрируется рис. 0.12, Этот алгоритм реализован в работе [10.4]. [c.265]

Рис. 10.12. Вычисление условных спектральных плотностей. (Схема обобщается на случай произвольного числа входов.)

При вычислении частотной характеристики (передаточной функции) оценки амплитудной и фазовой характеристик следует находить с помощью формулы (11.24), содержащей оценку взаимной спектральной плотности. [c.291]

В книге дается краткое систематическое изложение основ спектрального анализа случайных процессов. Излагается упрощенная теория спектрально-корреляционного анализа. Большое внимание уделяется оценкам спектральной плотности мощности, их свойствам, методам получения состоятельных оценок, особенностям и основным параметрам спектрального анализа на основе дискретного представления случайных процессов. Обсуждаются алгоритмы вычисления спектральных оценок и проблемы практического использования дискретного преобразования Фурье при обработке информации па цифровых устройствах. Описываются экспериментальные методы измерения спектральных характеристик случайных процессов. [c.2]

Публикуемые в периодических изданиях работы по спектральному анализу рассчитаны на специалистов, хорошо знакомых с методами статистической обработки данных, они описывают новейшие методы обработки информации, устройства для вычисления спектральных характеристик по сравнительно сложным алгоритмам, связь которых с выводами теории иногда трудно проследить, особенно для новичка в этой области. Многие авторы используют большое число методических и терминологических приемов и ухищрений, затрудняющих чтение статей для неспециалиста. Знакомство с методами измерения спектральных характеристик случайных процессов осложняется и рядом других обстоятельств. Нет установившихся терминологии и обозначений. Статьи по данной тематике встречаются в журналах самых различных направлений. По некоторым вопросам нет единства мнений даже среди специалистов. Последнее касается вопросов определения и измерения спектральных характеристик, интерпретации полученных данных и некоторых методических вопросов. Этим объясняется и то обстоятельство, что в чисто прикладной литературе, например в ряде книг по статистической радиотехнике и автоматике, вплоть до настоящего времени содержались ошибочные утверждения относительно определения спектральной плотности мощности случайного процесса. [c.4]

Центральной задачей статистического анализа несомненно является проблема определения параметров случайного процесса по реализации конечной длительности. Поэтому в предлагаемой книге много внимания уделяется важнейшему практическому вопросу о том, как оценить спектральную плотность мощности процесса по одной его реализации, излагаются вопросы вычисления оценок других статистических характеристик процессов по результатам наблюдений в течение конечного промежутка времени. [c.5]

Сама идея сглаживания периодограммы при помощи весовой функции с целью получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности основана на выборе некоторого частотного интервала Д/, в котором можно разместить много независимых спектральных составляющих, и на вычислении среднего этих составляющих. Если интервал наблюдения Т задан, то независимые спектральные составляющие Ох(/) разделены ПО 80 [c.90]

Рис. 4-4. Графическая интерпретация соотношений между параметрами спектральной плотности мощности, окна g(f) и выборки дри вычислении дисперсии оценки

Точно так же алгоритм ДПФ можно положить в основу вычисления оценок составляющих взаимной спектральной плотности мощности. Из только что развитой теории ДПФ и соотношений [c.144]

Алгоритмы вычисления оценок спектральной плотности мощности отличаются большим разнообразием, степенью сложности, количеством выполняемых операций, разрешением по частоте и статистической точностью получаемых спектральных оценок и т. д. Однако любой алгоритм на том или ином этапе вычислений включает в себя как составную часть алгоритм ДПФ. Это и понятно. Спектральный анализ случайного сигнала в соответствии с определением спектральной плотности мощности заключается в измерении средней мощности 146 [c.146]

В том случае, когда априорные сведения о характере поведения спектральной плотности отсутствуют, а также в тех случаях, когда известно, что в спектре имеются на различных частотах острые пики, подобные вычисления либо невозможны, либо вызывают значительные трудности. Поэтому на практике при проектировании специализированного вычислительного устройства для спектрального анализа целесообразно предусмотреть возможность ступенчатого изменения параметра Д в этих условиях оператор может выбрать подходящее значение At в зависимости от интересующего его частотного диапазона анализа и требуемой точности. Ясно, что в подобном устройстве перед аналого-цифровым преобразователем должен быть предусмотрен набор фильтров низкой частоты, переключаемых в соответствии с выбранным, значением параметра А/ 1У2/в- [c.150]

При получении оценок спектральной плотности мощности возникает задача вычисления интегрального преобразования Фурье функции времени, заданной на конечном интервале. Обрабатывая информацию в цифровой форме, здесь можно успешно использовать алгоритм ДПФ. Объем вычислений по этому алгоритму представляет лишь часть всего объема вычислительных операций, необходимых для получения состоятельной оценки спектральной плотности мощности, причем часть эта может быть более или менее значительной в зависимости от вида используемой оценки. [c.152]

Таким образом, оценка спектральной плотности мощности, получаемая усреднением (фактически по времени) коротких периодограмм, и оценка, соответствующая сглаживанию по частоте периодограммы длинного временного ряда, примерно одинаковы по статистической точности и разрешению. Что касается объема вычислений, то первая из этих оценок требует выполнения намного меньшего количества операций [2тЫ). [c.156]

Как уже отмечалось, операцией, эквивалентной сглаживанию периодограммы по частотному интервалу, является преобразование Фурье оценки корреляционной функции, умноженной на выделяющую функцию. Для вычисления оценок спектральной плотности можно воспользоваться дискретными рядами вида (4-1 5) [c.158]

Вычисление оценки спектральной плотности по оценке корреля> ционной функции возможно тремя различными способами [c.169]

С точки зрения трудоемкости расчетов на ЦВМ спектральную плотность удобнее всего представлять в виде разложения по системе ортогональных полиномов, так как вычисление полиномов требует лишь операций сложения и умнолсения и в памяти машины необходимо хранить только значения коэффициентов полиномов. Использование полиномов позволяет выбрать нужную весовую функцию для ошибки приближения в частотной области. [c.172]

При той же длине реализации точность вычисления моментов будет значительно меньше, чем, например, точность вычисления ординат спектральной плотности [0(0) = onst], а при одинаковой точности придется существенно увеличить длину реализации. Этот вывод подтверждается экспериментально. Так, при определении первого момента случайного процесса, полученного пропусканием белого шума через инерционное звено первого порядка с постоянной времени Ть для точности порядка 10% потребовалась длина реализации —2400 Г] [11]. Между тем для ординаты спектральной [c.176]

Здесь С2а, С2а.+ коэффициенты разложения действительной и мнимой частей спектральной плотности (мнимая часть появляется при вычислении взаимной спектральной плотности) ф2а, , Фзач- , — [c.178]

В работе [11.2] получена также формула для дисперсии оценки G y(f)l модуля Озд(/) взаимной спектральной плотности при вычислении ее по па парам отрезков реализаций xit) и г/(I), каждая из которых имеет общую длину To6m=ndT. При этом предполагается, что обе реализации принадлежат процессам, спектры которых в пределах интервалов Af=lfT можно считать примерно постоянными, x t) и y t) имеют двумерное нормальное распределение. При этих условиях формула для дисперсии оценки спектральной плотности имеет вид [c.281]

Рассмотрим общий случай системы со многими входными процессами и одним процессом на выходе (см. рис. 8.1 или 10.5). Все реализации должны измеряться одновременно и в одном масштабе времени. Как показано в разд. 10.1, прежде всего нужно заменить исходную модель моделью с условными процессами на входе. Сглаженные оценки 6г/(/) спектральных и взаимных спектральных плотностей вычисляются по исходным реализациям, каждая из которых разбивается на пц неперекрывающихся отрезков. Все другие характеристики вычисляются по формулам, приведенным в разд. 10.3. При последовательном вычислении характеристик условных процессов величина Па уменьшается на единицу на каждом шаге. При вычислении оценки функции множественной когерентности для системы с д входами число усреднений равно не п , а —д. [c.297]

Сравнение выражений (4-42), (4-43) и (4-44) позволяет сделать следующий вывод. При вычислении оценки спектральной плотности мощности преобразованием Фурье оценки корреляционной функции, получаемой по разреженным парам отсчетов реализации заданной длительности, дисперсия возрастает по мере увеличения параметра д. Возрастание дисперсии выборочного метода характеризуется отношением г=1)р5жд( )]/Ор5д 1( )]. При д к/2 относительная дисперсия г приблизительно равна единице. При больших д выборка становится некоррелированной и [c.121]

На рис. 4-8,а схематически изображено поведение этих функций для одного из возможных видов низкочастотных случайных процессов. При вычислении спектральной оценки по дискретным данным значения корреляционной функции оцениваются в дискретных точках, отстоящих одна от другой по параметру т на величину А1, определяемую из условия максимально допустимой погрешности наложений при дискретизации. Корреляционная функция, заданная своими значениями в дискретных точках, и ее преобразование Фурье изображены на рис. 4-8,6. Значения корреляционной функции не могут быть оценены в бесконечном числе точек отсчета кроме того, как мы видели, получение сглаженных оценок спектральной плотности мощности преобразованием Фурье оценки корреляционной функции предполагает то или иное усечение этой оценки. Поэтому рассмотрим значения функции Кх(т)к х), заданной в 2т+ точках отсчета, что соответствует усечению Кх х) при помощи выделяющей функции (т). Известно, что преобразование Фурье прдизведения /(ж(т) (т) представляет собой свертку 8х( ) с преобразованием Фурье ё(() заданной выделяющей функции (т). В соответствии с этим на рис. 4-8,в изображены временной ряд Kx hAt) k hAt) и его преобразование Фурье 5хр /) еа)- [c.141]

Алгоритмы вычисления сглаженных оценок спектральной плотности в форме Бартлета и Хэннинга соответственно запишем в следующем виде [c.159]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология