Моменты случайного процесса

Простые моменты случайного процесса. Для любого t можно определить одномерные моменты вида [c.182]

Как и прежде, б ( ) обозначает дельта-функцию Дирака. Сейчас мы выведем младшие моменты случайного процесса X t), считая, что процесс Z t) обладает указанными свойствами. [c.251]

Полезно проследить аналогию между моментами случайного процесса, определенными уравнениями (2.15) —(2.17), и механическими моментами, характеризующими распределение массы некоторого тела. Если распределение массы тела задано плотностью т х), то центр рассеяния массы, называемый центром тяжести (Ц. Т.), определяется выражением [c.42]

Основным фактором, обусловливающим процесс, протекающий в системе массового обслуживания, является поток требований, т. е. последовательность возникающих один за другим пожаров. Поэтому первоочередной задачей исследования системы подачи и распределения воды для тушения пожаров, рассматриваемой с позиции теории массового обслуживания, является изучение потока требований, которые могут поступить в результате возникновения пожаров. В данном случае под потоком требований понимается последовательность пожаров, возникающих один за другим в какие-то случайные моменты времени. Для количественного анализа процесса обслуживания требований необходимо проанализировать поток поступающих требований и исследовать его характеристики. Исследование работы системы водоподачи, работающей в режиме пожаротушения, приводит к необходимости анализировать своеобразный случайный процесс, связанный с переходами этой системы из одного состояния в другое. Например, система водоподачи может некоторое время подавать воду для локализации пожара и последующей его ликвидации, а затем в течение определенного времени восстанавливать израсходованные запасы воды и после этого быть свободной (не работающей на пожарные нужды). Есть все основания полагать, что поток требований, поступающих в систему водоподачи при пожарах, является именно простейшим потоком. Эта гипотеза была проверена в результате анализа статистических данных о пожарах с привлечением аппарата теории вероятностей и теории массового обслуживания [29]. [c.67]

В заключение кратко отметим некоторые характерные особенности рассмотренных топологических моделей надежности ХТС [1]. ГСС, ГИП и СГН отображают случайные процессы функционирования ХТС, т. е. процессы перехода ХТС из одного состояния в другое в случайные моменты времени. [c.168]

Закономерности случайного процесса Л(т) определяются совместным распределением вероятностей N (х) значений этого процесса Л(т1), A(xz),. .., Л(т ) в различные моменты времени [c.134]

С другой стороны, для персонала, обслуживающего системы защиты во время их промышленной эксплуатации, нужна не столько ускоренная оценка количественных показателей надежности примененных технических устройств, сколько прогнозирование момента появления их отказов. Такие данные могут быть получены с помощью ускоренных испытаний технических устройств без интенсификации процессов, вызывающих отказы. Эти испытания называются сокращенными. Ускорение появления отказа при сохранении скорости изменения контролируемой технической характеристики испытуемого устройства достигается за счет сужения области допускаемых изменений этой характеристики. Для применения подобного метода сокращенных испытаний предва-рительно на первом этане испытаний устанавливают вид случайного процесса изменения этой характеристики и на основе существующей методики рассчитывают показатели надежности технического устройства для любых границ области допустимых значений этой характеристики при известных показателях надежности в выбранной при испытаниях узкой области. [c.123]

Выше уже говорилось, что система N частиц будет находиться в состоянии VI, У2.....чщ) вплоть до момента первого столкновения. Следовательно, для построения марковского случайного процесса, заключающегося в переходах системы через последовательность состояний, нужно определить вероятности этих переходов для каждого состояния к = (т=1, 2,...), или, что то же самое, вероятности столкновений различных пар частиц/, = 1,. . ., Необходимо также ввести временную шкалу случайного процесса. [c.203]

Если значения (i) случайного процесса в различные моменты времени независимы, то [c.124]

Из теории случайных процессов известно, что, если цепь (2.7) марковская и вероятность перехода в момент I мала, то полная вероятность достижения определенного состояния пуассоновская и имеет вид (2.8) [c.62]

Большая часть параметров, характеризующих ход технологического процесса, непрерывно изменяется относительно своих средних значений. Как правило, зная такие изменения за некоторый промежуток времени, нельзя предсказать заранее точное значение параметров в последующие моменты времени. Процессы такого рода называются случайными. Для рассматриваемого ниже класса случайных процессов можно по достаточно длительному отрезку (реализации) процесса определить его статистические характеристики. Естественно, что эти характеристики будут иметь ценность лишь в том случае, если они останутся неизменными для достаточно большого числа реализаций. Процессы, статистические характеристики которых не изменяются во времени, называются стационарными. [c.156]

Статистические характеристики случайного процесса определяются посредством усреднения значений случайных величин, зависящих от ординат процесса. Такое усреднение может быть проведено по времени, если имеется лишь одна реализация процесса, и по множеству для фиксированного момента времени, когда в распоряжении исследователя имеется множество независимых реализаций. Случайный процесс, для которого результаты усреднения, проведенного тем и другим способом, оказываются одинаковыми, обладает свойством эргодичности. [c.156]

Величина корреляционной функции для некоторого момента т показывает, насколько сильно значение случайного процесса в момент i связано со значением, отстоящим от него на время т. Если две эти величины не зависят друг от друга и среднее значение каждой из них равно нулю, то равно нулю и среднее значение их произведения. [c.157]

При обработке случайных процессов на цифровой вычислительной машине (ЦВМ) непрерывная реализация заменяется конечным числом ординат случайного процесса, соответствующих дискретным, обычно равноотстоящим, моментам времени. Ошибка, возникающая при этом, объясняется как дискретизацией процесса по времени, так и дискретизацией вводимых ординат по уровню. Последнего обстоятельства обычно можно не учитывать, так как число разрядов в вычислительных машинах и точность съема ординат достаточно велики. Ошибка же, возникающая от дискретизации по времени, зависит от интервала дискретизации А/ и статистических характеристик процесса, которые при выборе А/, естественно, неизвестны. [c.160]

Здесь S( u) — спектральная плотность случайного процесса. Интеграл, стоящий в числителе выражения (VII. 5), равен моменту инерции плоской фигуры, ограниченной кривой S((u) и осью абсцисс, относительно оси о) = О, а интеграл, стоящий в знаменателе, — площади фигуры. Квадратный корень из отношения этих интегралов является среднеквадратичным отклонением кривой S (аз) от оси m = 0 и характеризует, таким образом, среднюю квадратичную частоту соц изменения случайного процесса. Формула (VII. 5) справедлива для стационарных дифференцируемых случайных процессов с нормальным законом распределения значений ординат. [c.162]

При использовании метода моментов [11] имеет место именно этот случай. Действительно, моменты корреляционной функции случайного процесса с точностью до постоянного множителя равны коэффициентам разложения спектральной плотности в ряд Тейлора [c.176]

В гл. V и VII (см. стр. 116—124 и 159—181) рассматривались методы эмпирического получения характеристик случайных величин и случайных процессов. Однако выше уже говорилось о недостатках этих методов, связанных с большим запаздыванием между получением полезной информации и моментом начала исследования, а также с повышенными требованиями к ЦВМ. Достаточно сказать, что для получения корреляционной функции в память машины нужно ввести около тысячи ординат случайного процесса, а для вычисления взаимной корреляционной функции — вдвое большее их число. [c.196]

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса для фиксированного значения сдвига аргумента 0 равна математическому ожиданию произведения х(п)х п — 0). Ее оценка для момента времени п может быть получена по рекуррентной формуле [c.197]

При одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях два случайных процесса могут существенно отличаться по своим реализациям. Для учета изменения случайного процесса при переходе от одного сечения к другому вводят корреляционную (автокорреляционную) функцию, которой называют регулярную функцию (/1, /я) двух аргументов, равную математическому ожиданию произведения значений двух случайных функций X ((у) и X (/)) при произвольно выбранных моментах времени tx и [c.64]

Как и во всех других отраслях промышленности, исчерпывающая оценка последствий аварии конечно недостижима. Систематическое изучение причин и разработка способов их группировки в семейства являются путем улучшения аналитической работы. Знание случайных процессов (чаще всего зависящих от времени) является также путем улучшения, включающим соответствующую методологию. Еще один момент кажется очень важным через последствия аварии необходимо определить динамику явления, происходящего во всей реакторной установке во время работы или остановки отдельных систем или агрегатов. [c.71]

Обобщением понятия характеристической функции на стохастические процессы является характеристический функционал. (В другой связи эта идея была использована в 2.3.) Пусть Y [t) — заданный случайный процесс. Введем произвольную вспомогательную пробную функцию k t). Тогда характеристический или генерирующий моменты функционал, зависящий от k t), определяется с помощью следующего соотношения [c.69]

Упражнение. Рассмотрите двухшаговый случайный процесс в любой момент времени имеются вероятности сделать один шаг влево или вправо. Снова найдите уравнение для (/). [c.167]

Решив это уравнение, мы определим вероятность найти в момент времени >0 систему в состоянии (I, г), если при / = 0 она была в состоянии ( 0, Го), а задача разбивается на два последовательных шага сначала можно определить, как молекула переходит с уровня на уровень независимо от ее положения г, а затем добавить ее поведение в зависимости от координат г. По этой причине мы используем название составные марковские процессы для любого случайного процесса, удовлетворяющего основному кинетическому уравнению (7.7.4). [c.191]

Поведение временного ряда при всех значениях времени может быть описано множеством случайных величин (г ) , где временная переменная t может принимать любые значения от —оо до - -оо Таким образом, статистические свойства этого ряда описываются с помощью распределений вероятностей, связанных с любым набором значений времени 2,, IN Упорядоченное множество случайных величин Х( ) и связанных с ними распределений вероятностей называется случайным процессом Наблюденный временной ряд х 1), таким образом, рассматривается как одна из дважды бесконечного множества функций, которые могли бы быть порождены этим случайным процессом Это множество дважды бесконечно, так как возможно бесконечное множество значений в любой заданный момент времени и имеется бесконечно много моментов времени [c.16]

В разд 1.1 утверждалось, что случайный процесс, порождающий наблюдаемый временной ряд, может быть описан распределениями вероятностей, связанными со всеми возможными множествами моментов времени Определение природы этих распределений вероятности по одному или по малому числу рядов представляет собой невозможное или даже бессмысленное занятие. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее важных упрощений, которые приняты в анализе временных рядов для того, чтобы сделать этот анализ выполнимым и в то же время плодотворным [c.17]

Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на [c.17]

Отсюда очень просто описать случайный процесс, построив функцию среднего значения х( ) и функцию дисперсии в зависимости от времени. Аналогично двумерные моменты [c.182]

Подобно обычному коэффициенту корреляции (3 2 19), рхх( 1, (2) лежит между крайними значениями —1 и соответствующими полной отрицательной и положительной линейным зависимостям Вообще, случайный процесс можно было бы описывать с помощью его старших моментов [c.182]

Сейчас мы выведем свойства оценок ковариационных функций j, u) и (и), связанные с первым и вторым моментами, предполагая, что сигнал x(t) (О t Т) является реализацией стационарного случайного процесса X(i), обладающего следующими свойствами- [c.214]

В разд 3 1 5 было показано, что зависящие от вторых моментов свойства набора случайных величин определяются их матрицей ковариаций (3 1 20) Поскольку случайный процесс содержит бесконечное множество случайных величин, его свойства, зависящие от моментов второго порядка, определяются матрицами ковариаций наборов значений процесса в произвольные моменты времени ti, , iff Для дискретного стационарного процесса и для равноотстоящих отсчетов по времени мы будем иметь [c.223]

При той же длине реализации точность вычисления моментов будет значительно меньше, чем, например, точность вычисления ординат спектральной плотности [0(0) = onst], а при одинаковой точности придется существенно увеличить длину реализации. Этот вывод подтверждается экспериментально. Так, при определении первого момента случайного процесса, полученного пропусканием белого шума через инерционное звено первого порядка с постоянной времени Ть для точности порядка 10% потребовалась длина реализации —2400 Г] [11]. Между тем для ординаты спектральной [c.176]

Методы синтеза, основанные на теории массового обслужи-вани . Для решения задачи синтеза гибкой ХТС в условиях стохастической неопределенности желательно знать законы распределения упомянутых случайных величин. Тогда, применив аппарат теории массового обслуживания, представляется возможным синтезировать некоторый оптимальный вариант гибкой -ХТС в условиях неопределенности. Теория массового обслуживания— это раздел математики, изучающей случайные процессы, происходящие в так называемых системах массового обслуживания (СМО), т. е. в любых системах, предназначенных для с)бслуживания каких-либо заявок, поступающих в случайные моменты времени [30]. [c.232]

Взаимодействие технологических аппаратов периодического и полунепрерывного действия и образованных ими аппаратурных модулей также представляет собой дискретный процесс, управление которым происходит при наличии множества иарал-ле.гьно вклроченных взаимодействующих аппаратов, соединенны. единственным материалопроводом, и их готовности к взаи-мо/юйствпк) 1 случайные моменты времени. Процесс управления состоит в организации правильной коммутации взаимодействующих аппаратов, что обеспечивает нормальный режим функционирования хпмико-технологической системы. [c.268]

Центрирование также может быть проведено по рекуррентной формуле, соответствующей применению фильтра низких частот (гл. VII), или вычитанием из Хп текущей оценки математического ожидания процесса, вычисляемой по формуле (VIII. 18), где в качестве х п) следует брать ординату случайного процесса в л-й момент времени. [c.197]

Основные задачи, которые решались при анализе случайных процессов, идентификация случайного процесса — подбор ого математической модели и прогнозирование поведения случайного процесса с целью определения момента нзменения его свойств. [c.154]

Процесс называется случайным или стохастическим, если его можно представить функцией, значение которой для любого момента времени будет случайной величиной. Случайный процесс состоит из множества определенных процессов, каждый из которых является реализацией случайного процесса. В момент времени реализация ДС ( 0 (здесь < 1, 2, 3...) случайного процесса имеет конкретное значение, а для всего пррцесса в этот момент времени значение функции X есть случайная величина, которая называется сечением случайного процесса. [c.62]

Распределения вероятностей, связанные со случайным процессом. Если ансамбль ясно определен, то поведение временного ряда в данный момент времени можно описать до сбора данных с помощью случайной величины X t) и ее плотносги вероятности хц)(х) > Как подчеркивалось в гл 3, выбор функции хи) х) является делом здравого суждения или опыта [c.181]

Так же, как и в одномерном случае в гл 5, полезное средство описания пары случайных процессов дают их младшие моменты Как и раньше, наблюденный двумерный временной ряд Х1( ), Х2 () рассматривается как реализация двумерного случайного процесса 2 () Четыре случайные величииы [c.80]