Группы, изоморфные

Всякая алгебраическая теорема, доказанная применительно к группе О, автоматически распространяется на все группы, изоморфные О. [c.71]

Перестановочная и пространственная симметрия тесно связаны друг с другом, поскольку любая точечная группа изоморфна, эквивалентна некоторой подгруппе группы перестановок, расширен- [c.446]

В работах по изучению кристаллов используются числовые верхние индексы для обозначения пространственных групп, изоморфных с точечной группой. Например, символы О 4 г н 4 означают пространственные группы, изоморфные с точечной группой [c.98]

Шениты, к которым также относится соль Мора, образуют большую группу изоморфных двойных солей, во многих отношениях подобных квасцам. Как и квасцы, их получают охлаждением смеси соответствующих растворов-В шените Кг [Mg(H20)e](804)2 ион К+ можно заменить на другой одновалентный ион, как и в квасцах вместо иона Mg + можно ввести Zn +, Ni +, Со +, Ре +,Сц +, Мп +, V +, Сг +, d +, но не Hg + или Ве + аналогичные соединения известны для селеновой и хромовой кислот. Из смешанных растворов можно получить смешанные кристаллы почти любого состава. Подобную [c.263]

Строгое определение числа активных колебаний, симметрии и состояния поляризации света может быть проведено при использовании теории групп теми же методами, что и в случае простых многоатомных молекул. Факторгруппа пространственной группы, описывающей симметрию длинной полимерной молекулы будет включать такие элементы симметрии, как винтовые оси и плоскости скольжения, которых нет в точечных группах. Однако в том случае, когда может быть найдена точечная группа, изоморфная такой фактор-группе, определение типов симметрии колебаний и т. п. производится точно так же, как и для известной точечной группы [36, 37]. Таким образом, находятся свойства симметрии ЗМ — 4 нормальных колебаний, но частоты этих колебаний должны определяться из рассмотрения колебательного движения аналогичных [c.293]

Фактор-группа изоморфна точечной группе К,, [c.122]

В состав островных силикатов входят малые или средние двухвалентные катионы Mg , Fe Са +, Мп , Zn . Большие одновалентные катионы (К и Na+ встречаются очень редко, а в этой группе изоморфно не замещает Si +. [c.303]

Изоморфные соединения других систем всегда представляют некоторое различие в углах и осях, но каждой группе изоморфных соединений соответствует своя пирамида или свой ромбоэдр и изменения его незначительны (таблица II). [c.558]

Общий метод состоит в получении для всех операций симметрии Н) точечной группы, изоморфной факторгруппе, характеров неприводимых представлений, соответствующих различным [c.368]

Рассмотрим вначале точку, лежащую внутри зоны. Ее можно считать концом волнового вектора, исходящего из центра зоны Г. Из способа построения зоны явствует, что никакая операция симметрии не может преобразовать эту точку в эквивалентную. Центральная точка Г любой зоны инвариантна при всех операциях симметрии группы изоморфной фактор-группе е 3 пространственной группы. Произвольной точке, не лежащей ни на одном элементе симметрии, соответствует группа i l волнового вектора. В случае, представленном на фиг. 3.6, точки Д, лежащие на осях четвертого порядка куба, инвариантны по отношению к операциям группы точно так же точки Л инвариантны относительно операций группы а точки 2 — относительно операций группы й гю- [c.104]

Векторам q, q2,. .., q , образующим звезду, соответствуют в том же порядке группы волновых векторов S (q), (Яг),. ... .., Можно показать, что эти группы изоморфны. [c.112]

Каждый комплекс является элементом фактор-группы 9е1 -Фактор-группа изоморфна точечной группе, определяющей класс, к которому принадлежит данный кристалл, хотя комплексы могут содержать также и операции, отличные от операций точечной группы (частичные трансляции). [c.115]

Если пространственная группа решетки задана, то известна таблица ее характеров и неприводимые представления точечной группы, изоморфной своей фактор-группе. Эти две последние группы имеют одинаковые таблицы характеров. Данное неприводимое представление содержится в представлении Г раз, причем это число определяется формулой (4.3) из приложения Б [c.116]

Пример, в арагоните фактор-группа, изоморфная группе имеет порядок g — 8. Позиционная группа для СО — группа e s с порядком А = 2. В ячейке располагаются glh = 4 иона СОГ- Менее g/h гомологических позиций не может быть, поскольку это означало бы, что некоторые представительные операции фактор-группы, не содержащиеся в позиционной группе симметрии, могут оставлять данное положение инвариантным, а это противоречит определению позиционной группы симметрии. [c.123]

Последняя определяется просто. В самом деле, поскольку группа 8 — или, точнее говоря, группа изоморфная груп- [c.125]

Числа а/и можно также найти просто при помощи корреляционных таблиц, которые связывают группу с конечной группой, изоморфной группе р. [c.125]

Эти две группы изоморфны и имеют одну и ту же таблицу умножения. Если обозначить элементы групп и общими [c.334]

Величины и функции как топологические элементы. Группа изоморфных преобразований. Итак, одной структуре объектов соответствует бесконечное множество изоморфных с ней структур алгебраических выражений. Таким образом, возникает взгляд на величины и их функции в уравнениях как на некоторые топологические элементы. Тогда принцип изоморфного замещения можно иначе сформулировать так, что топологические элементы — объекты изоморфно замещаются топологическими элементами — функциями величин. То же относится и к другим объектам, замещающимся знаками. [c.402]

Как известно из теории групп, изоморфные преобразования образуют группу. Действительно, в данном случае признаки группы удовлетворяются. Ассоциативный закон тоже имеет место, существует единичное (тождественное) преобразование и существует обратное преобразование. Группа не является абелевой, потому что порядок, в котором производятся два преобразования, не безразличен. Группа является бесконечной, так как существует бесконечное множество законов природы, по которым можно производить преобразования. [c.402]

Нормальные колебания молекулы бесконечной длины могут быть объяснены с учетом фактора группы, изоморфной Вг. Результаты математической обработки нормальных координат приведены в табл. 2.. [c.314]

Таблица 3.2. Характеры точечной группы, изоморфной линейной группе вытянутой цепи полиэтилена [1737]

В случае пирена (см. рис. 3.1) локальная симметрия атомов в орбитах, содержащих четыре атома, сводится лишь к тождественному преобразованию. Это связано с тем, что атомы 1—12 не располагаются на элементах симметрии молекулы (осях X, у, г, являющихся осями второго порядка). Для орбит 13—14 и 15—16 локальная группа изоморфна точечной [c.197]

Для спиральной цепи, состоящей из п химических единиц в т витках, одномерная элементарная ячейка имеет группу, изоморфную с циклической группой С (2тп(п). Операция симметрии С в циклической группе состоит [c.65]

КВАСЦЬ мн, М,(1)М2(П1)(804)2 12Н20. Группа изоморфных химических соединений, являющихся кристаллогидратами двойных сульфатов металлов М1(1) и М2 (III). алюминиевые К. Квасцы, у которых М2-А1, а М1-К, На, [c.178]

Огромное значение симметрии для предсказания спектров кристаллов обсуждалось рядом автором [44, 54, 102], в частности Уинстоном и Халфордом [108]. Они рассматривают различные математические группы, составленные из операций симметрии кристалла. Пространственной группой является группа всех операций симметрии, включая трансляции паЛ, щ Ь, ПсС) вдоль осей элементарной ячейки. Набор этих трансляций сам образует группу, называемую группой трансляций. Показано, что пространственная группа является произведением группы трансляций и группы, называемой фактор-группой (которая представляет собой набор всех смежных классов группы трансляций). Фактор-группа изоморфна одной из 32 точечных групп, возможных в кристаллах, но в дополнение к чисто точечным операциям может включать и операции, соответствующие винтовым осям или плоскостям скольжения. Фактор-группу часто называют группой элементарной ячейки. Элементарная ячейка определяется как наименьший объем кристалла, который даст всю решетку кристалла, когда на него подействуют элементы группы трансляций (этот объем меньше, чем элементарная кристаллографическая ячейка, в том случае, когда последняя центрирована). [c.583]

Вещества однотипного молекулярного строения (КС1 и КВг, КМПО4 и BaSOa и т. д.), образующие между собой смешанные кристаллы, называют изоморфными. Вследствие близкого сходства решеток кристалл одного из изоморфных вешеств вызывает кристаллизацию пересыщенного раствора другого, а в насыщенном его растворе по мере испарения воды продолжает расти, покрываясь слоем второго вещества. Хорошим примером группы изоморфных солей являются квасны оазличного состава (XI 2). Многочисленные случаи изоморфизма известны и для веществ других классов. [c.361]

Решетка LigSiaOa содержит две формульные единицы в примитивной ячейке — один элементарный отрезок гофрированного слоя lSi40io] o 00 с фактор-группой двухмерной пространственной группы, изоморфной и четыре иона [c.122]

Бведение постоянных взаимодействия между координатами одного такого набора (каждый — кратности 4) соответствует предположению о прямых динамических взаимодействиях между колебаниями, локализованными в трехатомных группировках (0 810 или 81081) разных цепей или одной и той же цени. Поскольку динамические взаимодействия между двумя такими группировками, входящими в одномерную ячейку цени, удовлетворительно описаны постоянными внутрианионного силового поля валентного типа, необходимо рассмотреть лишь взаимодействие между колебаниями разных цепей. Для этого из координат и 0 810 или 81081 одной цепи нужно составить парные линейные комбинации, соответствующие сип- или антифазным движениям двух неэквивалентных групп цепи (типов А и А" в ее фактор-группе, изоморфной С , а затем ввести динамические взаимодействия между однотипными координатами двух разных цепей. [c.42]

Багавантам [21] предложил несколько иной метод классификации колебаний. Он условно рассматривает всякую трансляцию как операцию тождественного преобразования, которая переносит атом данной примитивной ячейки на конгруэнтный атом другой ячейки и, таким образом, сводит пространственную группу только к ее элементам (/ ,Тя), совокупность которых описывает симметрию ячейки эта совокупность образует группу примитивной ячейки ). Характер представления, определяемого фундаментальными колебаниями, дается той же формулой (1.4), где С/д — число атомов примитивной ячейки, которые остаются инвариантными при операции (/ , Гд) отметим, что Тд = О при любой такой операции. Приведение полученного таким образом представления осуществляется при помощи формулы (1.3). Группа примитивной ячейки и фактор-группа изоморфны, что обеспечивает согласие результатов, полученных данным методом и методом, изложенным в п. б . [c.117]

Рассмотрим различия между этими двумя типами анализа на примере молекулы полиэтилена. Линейная группа, описывающая плоскую зигзагообразную цепочку полиэтилена (рис. 3.1), содержит следующие элементы фактор-группы операцию идентичности Е, плоскость симметрии ан, совпадающую с плоскостью ху, зеркальную плоскость скольжения совпадающую с плоскостью уг, плоскость симметрии с г, совпадающую с плоскостью хг, поворотную ось второго порядка Сд, винтовую ось второго порядка Сг, винтовую ось второго порядка С", перпендикулярную илос юсти хг, и центр инверсии г. Эта фактор-группа изоморфна точечной [c.35]

Повторяющейся единицей в бесконечно длинной изолированной цепи полиэтилена являются две СНз-группы. Элементы симметрии полиэтиленовой цепи указаны в табл. 3.2. Отдельную лолимети-леновую цепочку можно рассматривать как одномерный кристалл, имеющий элементарную ячейку —СНг—СНг—, т. е. элементарная повторяющаяся единица кристалла состоит из двух идентичных групп. Поэтому правомерно отождествлять такую макроцепь с одномерным кристаллом, состоящим из СНг-групп. Разность фаз оптически активных колебаний б изменяется здесь от О до л [1540]. Элементы симметрии, описывающие бесконечно длинную цепь, образуют фактор-группу, изоморфную точечной группе D2h = Vn 1737]. Нормальные колебания относятся к типам симметрии Ag, Big, Bzg, Bzg, Au, Biu, B2u и Взи, из которых первые четыре КР-активны, а три последних — ИК-активны. К сожалению, встречаются и другие обозначения. Иногда B2g, Big, z и В и записывают как Big, B2g, Вщ и B-2U [1540]. Сопоставление различных обозначений типов колебаний и типов симметрии проведено б [1002] . [c.192]

Анализ ИК-спектра синдиотактического поливинилхлорида (рис. 6.11) с использованием теории групп впервые был проведен Криммом [922, 925, 931]. Хотя через элементарную ячейку кристаллического полимера проходят две макроцепи [1233], однако при анализе симметрии можно ограничиться одной цепью, так как спектр не отражает межмолекулярное взаимодействие. Эле ментарное звено синдиотактической зигзагообразной цепи поли винилхлорида состоит из двух мономерных звеньев (рис. 6.12) Элементы симметрии образуют фактор-группу, изоморфную то чечной группе Сг,-. Колебания молекулы относятся к ИК-актив ным типам симметрии Л) (у), Вг (г), В2(х) и типу симметрии Лг активному лишь в КР-спектре (в скобках указано направление из.меиения дипольного момента). Типы симметрии Л] и В] являются ст-дихроичными, а Вг — я-дихроичным. [c.237]

И [— D2 D2 D2 D2O—] Изолированная полимерная цепь относится к фактор-группе, изоморфной точечной группе Сгл. Она имеет центр симметрии, поэтому проявление полос в ИК- и КР-спектрах происходит по принципу взаимного исключения. Из данных табл. 6.32 видно, что полосы ИК- и КР-спектров не совпадают. Полоса при 744 см относятся к маятниковому колебанию СНз-группы. При зигзагообразной конформации цепи маятниковые колебания не взаимодействуют с валентными колебаниями углеродной скелетной цепи и ножничными колебаниями, поскольку они относятся к разным типам симметрии. В полимерах сложных эфиров, имеющих спиральную конформацию, например в полиоксиметилене и полиоксиэтилене, имеет место взаимодействие колебаний различных СНг-групп, что находит отражение в появлении нескольких полос СНз-маятниковых колебаний. [c.295]

Из теории групп известно, что сопряженные совокупности группы по инвариантной подгруппе можно рассматривать как элементы некоторой новой группы (фактор-группы), в которой инвариантная подгруппа играет роль единичного элемента. Порядок фактор-группы равен индексу инвариантной подгруппы, или отношению порядка группы к порядку подгруппы. Факторгруппа Фо/Га пространственной группы решетки Браве по группе трансляций в терминологии теории групп изоморфна точечной группе Gq (Фо/Га -<-> Gq). Это означает, что между элементами групп Фо/Га и Gq существует взаимно-однозначное соответствие. Так, элементу Е группы Gq соответствует вся группа трансляций Га (единичный элемент фактор-группы), элементу gi группы Со — совокупность элементов gijial группы Фо, где ta пробегает всю группу трансляций. [c.28]

В синдиотактическом поливинилхлориде [82] одномерная элементарная ячейка имеет группу, изоморфную с точечной группой С2,,. Тинами колебаний являются 1ОЛ1, 11 1 и ЗВг- Тины колебаний В2 поляризованы вдоль цепи, — перпендикулярно цепи, колебания А1 — перпендикулярны обоим. [c.65]