Пространственные группы одномерные

Для описания пространственных структур достаточно двух топологических инвариантов N — числа несвязанных частей и G — рода поверхности раздела фаз. Величина G характеризует связность пространства фазы (безразлично какой), она определяется числом сквозных сечений участков многосвязной области, для которого число несвязанных частей фазы сохраняется неизменным, Любое преобразование многосвязной области, происходящее в результате ее деформации без разрывов и склеек, т. е. без изменений ее связности, называется гомеоморфным. Таким образом, все геометрические объекты, характеризуемые одним числом связности G, гомеоморфны (топологически эквивалентны). Топологическая эквивалентность тел класса G сохраняется также и при изменении размерности тела — при преобразовании точки в объем, при преобразовании участков контакта объемов или поверхностей в отрезки и наоборот. Это справедливо только для гомеоморфных преобразований. Характеристика тела G совпадает с характеристикой связности топологически эквивалентного ему графа — первой группы Бетти, В . Очевидно также равенство числа отдельных частей N тела G = и числа несвязанных частей эквивалентного ему графа N = В . Считая каждую из фаз -фазной. системы телом, ограниченным поверхностью класса G , для эквивалентного ему графа (или сети) может быть записано следующее уравнение Вц = С — -f B i, где B i — нулевая группа гомологий (или нулевая группа Бетти) — число разобщенных частей графа Вц — первая группа гомологий (первая группа Бетти) — число замкнутых одномерных циклов графа Pi — число узлов i — число связей между ними. [c.134]

Одномерные пространственные группы являются простейшими. Они имеют периодичность только в одном направлении и могут относиться к одно-, двух- или трехмерным фигурам (см. соответственно 0, С С ъ табл. 2-2). В бесконечных углеродных цепях присутствуют одномерные системы (рис. 8-5). Элементарной трансляцией, или периодом идентичности, является длина двойной связи углерод-углерод (г) в цепи, состоящей только т двойных связей, в то время как в цепи, состоящей из чередующихся связей, это есть сумма длин двух различных связей r Гз). Поскольку молекулярная цепь вытянута вдоль оси связей углерод-углерод, эта ось может быть названа трансляционной. Однако [c.363]

Вернемся к винтовым осям. На рис. 8-18 демонстрируется бесконечный анион с винтовой осью 10, [4]. Наиболее важным применением одномерных пространственных групп в химии является их использование для полимерных молекул [5]. Рис. 8-19 иллюстрирует структуру и элементы симметрии в протяженной молекуле полиэтилена. Период трансляции, или идентичности, показан на рис. 8-19, а. Это расстояние между двумя углеродными атомами, разделенными третьим атомом. [c.373]

Теория групп имеет очень важное значение для спектроскопии именно потому, что все молекулы можно отнести к определенным группам симметрии. Симметрия молекулы в положении равновесия определяется набором элементов симметрии, которые являются элементами группы симметрии. Симметрию неполимерных молекул можно описать при помощи точечных групп, тогда как молекулярные и ионные кристаллы описываются пространственными группами симметрии. Элементы симметрии цепной молекулы образуют одномерную пространственную группу, которую иногда называют линейной группой [35]. В этом разделе мы рассмотрим различные группы симметрии и особенно линейные группы. [c.62]

Линейные неразветвленные цепные макромолекулы могут быть охарактеризованы одномерной пространственной группой, которую иногда называют линейной группой [c.71]

Решая уравнение (59) для одномерной пространственной группы и взяв значения у > (Я) из табл. 8, получим [c.85]

Плоский полиоксиметилен. Гипотетическая плоская зигзагообразная структура этого полимера показана на рис. 18, и элементы симметрии одномерной пространственной группы приведены в уравнении (43), где они разбиты по четырем смежным классам линейной группы Сгл. [c.88]

Следует отметить, что величина Хз не зависит от трансляционной части элемента пространственной группы. Другими словами, одинаков для всех элементов смежного класса. Для одномерной линейной группы это показано [c.113]

В кристаллическом состоянии углеродный скелет полиэтиленовой молекулы представляет собой плоский зигзаг, как показано на рис. 19. Повторяющаяся единица состоит из двух групп СНг. Свойства симметрии этой молекулы рассмотрены в 11.2 с точки зрения одномерной пространственной группы (линейной группы) Ун- Таблица характеров этой группы, а также классификация фактор-групповых нормальных колебаний приведены в табл. 11 геометрическая форма колебаний показана на рис. 22 [17, 18, 23, 35]. [c.119]

Фактор-Группа одномерной пространственной группы цепи [c.31]

Большинство макромолекул природных и синтетических полимеров имеют форму спирали [7, 13]. Регулярная линейная макромолекула физически является одномерным кристаллом, который может быть охарактеризован пространственной группой симметрии и элементарной кристаллографической ячейкой. Такие системы принято описывать следующими параметрами [c.246]

Одномерная пространственная группа цепи гексагонального ПОМ имеет фактор-группу В (10я/9) и, в соответствии с правилами отбора, в ИК-спектре должно наблюдаться 5 колебаний типа ( ) и 11 дважды вырожденных колебаний типа 1(Х) [9]. Одномерная пространственная группа цепи орторомбического ПОМ имеет фактор-группу В и активными в ИК-спектре полимера должны быть [44] 15 колебаний типов симметрии В , и В . [c.176]

Рассмотрим теперь вектор к на направлении симметрии ГО И). Группа Ск содержит теперь кроме тождественного элемента операцию отражения в плоскости Ov(XZ и изоморфна группе Са, имеющей два одномерных неприводимых представления, характеры которых отличаются знаком для операции отражения в плоскости симметрии. Звезда вектора на направлении Е состоит из 6 векторов, ему соответствуют два неприводимых представления 2 1 и шестого порядка. В этих представлениях матрицы, соответствующие трансляциям, совпадают, а для других операций пространственной группы могут отличаться только знаком. [c.66]

Для точки симметрии О. звезда волнового вектора состоит из трех неэквивалентных векторов, а не шести, так как середины противоположных сторон шестиугольника отличаются на вектор обратной решетки Ь и поэтому соответствуют эквивалентным-векторам к. Точечная группа Ор содержит операции— единичную, отражения в плоскостях о и поворот вокруг оси второго порядка, т. е. изоморфна группе Сг . Она имеет четыре одномерных представления (два — симметричных относительно поворота вокруг оси Сг, два — антисимметричных). Соответственно 4 возможных представления Qu. .Q4, пространственной группы — третьего порядка. [c.66]

В итоговой табл. 3.4 указаны максимальные группы С, новой фазы по каждому типу смешивания мод для всех НП (для одномерных представлений смешивание мод отсутствует, и даны просто максимальные группы по данному представлению). Все группы С, даны в обозначениях точечных групп, чтобы табл. 3-.4 годилась сразу для двух структур А-15 и С-15. Исследуя какую-либо конкретную из структур, следует заменить эти обозначения на символы пространственных групп, пользуясь левой половиной табл. 3.3. Кроме того, для конкретной структуры надо учесть состав механического представления в ней. Представления Тх и гг не содержатся в табл. 3.4, так как они не входят в механическое представление ни для одной из структур. [c.68]

Удвоение магнитной ячейки происходит вдоль оси х, в этом же направлении лежат атомные спины, так что магнитная структура описьшается одномерным представлением группы G. Фазовый переход, следовательно, характеризуется шестимерным представлением пространственной группы, т.е. и = 6. Соответствующий гамильтониан Гинзбурга - Ландау имеет вид [c.227]

В предыдущих разделах мы показали, что в первом приближении отдельные полимерные молекулы можно рассматривать как одномерные кристаллы, которые характеризуются линейной группой. При более строгом рассмотрении нельзя пренебрегать межмолекулярными силами, учет которых приводит к пространственно-групповому анализу. Межмолекулярное взаимодействие не оказывает очень сильного влияния на спектр, но может вызвать расщепление полос поглощения, на чем мы остановимся более подробно в следующих разделах. [c.124]

Бесконечная цепь атомов углерода (рис. 8-5) имеет конечную толщину. На самом деле это трехмерная конструкция с периодичностью только в одном направлении. Таким образом, она имеет одномерную пространственную группу симметрии (С ) и подобна бесконечно длинному стержню. Стержень обладает особой осью, но не имеет особой плоскости. Все типы осей симметрии (ось трансляции, простая поворотная, зеркально-поворотная, винтовая) могут совпадать с осью стержня. Винтовая ось может быть не только осью второго порядка, как в случае лент, но и любого другого. Конечно, эти элементы симметрии, за исключением простой поворотной оси, могут характеризовать стержень, только если он на самом деле бесконечно вытянут. С точки зрения симметрии труба, винт и различные лучи в такой же степени являются стержнями, как и стебли растений, векторы или винтовые лестницы. Чтобы для их описания применять пространственные группы, необходимо допустить их бесконечные размеры. Реальные же предметы конечны, поэтому, изучая их симметрию, лучше рассматривать только некоторую их часть, оставляя их концы вне поля зрения и мысленно продолжая их до бесконечности. Часть лестницы, обладающей винтовой симметрией, изображена на рис. 8-13. Трудновообразимая винтовая лестница, представленная на рис. 8-14, кажется бесконечной. По этой причине к ней может быть применена пространственная группа симметрии. [c.371]

Биологические макромолекулы часто различимы по их спиральным структурам, для описания которых применимы одномерные пространственные группы. На рис. 8-20, а показана полипептидная цепь а-спирали, а на рис. 8-20,б-полипептидная молекула в растворе. Повторяющаяся единица (плоский скелет ONH ) одинакова в обеих системах. Линейная стержнеподобная структура а-спирали стабилизирована водородными связями, а в растворе эти связи разорваны [6]. [c.377]

При рассмотрении спектров полимеров необходимо учесть взаимодействие колебаний в отдельных мономерных звеньях. Упорядоченный полимер подобен в этом смысле молекулярному кристаллу. В спектре наблюдаются лищь те колебания, которые происходят в фазе во всех элементарных ячейках. Общая теория, исходящая из этих представлений ( приближение фактор-группы ), была предложена в работах [202, 203] (см. также [204— 207]). Полимерная цепь, рассматриваемая как одномерная пространственная группа, характеризуется числом нормальных колебаний, равным Зрц — 4, где р — число атомов в химической [c.327]

Ограничимся рассмотрением только тех представлений пространственных групп, которые получаются из представлений фактор-группы, так как оказывается (см. П.4), что только эти представления содержат колебания, активные в ИК- и КР-спектрах. Представления пространственной группы, выведенные из представления фактор-группы, получаются, если отнести каждый элемент смежного класса [уравнение (40) ] той же самой матрице, т. е. матрице, которая соответствует элементу 7 , в неприводимом представлении фактор-группы. Существует другой подход к этой проблеме. Одна из теорем теории групп гласит, что матрицы представления группы, соответствующие элементам подгруппы, всегда образуют представление подгруппы (не обязательно неприводимое). Группа трансляций есть подгруппа пространственной группы, поэтому мы можем приме 1ить эту теорему к представлениям пространственной группы, выведенным из фактор-группы. Все представления группы трансляций, полученные таким образом, идентичны и равны полносимметричному представлению Г (табл. 8). Это представление соответствует величине х = 0. Этот вопрос упрощается при рассмотрении одномерного случая. [c.71]

Диопсид (С2/с—С2/,, Z=4) принадлежит к широко распространенному классу пироксенов — силикатов с цепочечными анионами (8120д)аз, несколько идеализированная конфигурация которых описывается одномерной пространственной группой с факторгруппой, изоморфной С2 . Решетка диопсида с постоянными центрированной ячейки а=9.746 А, 6 = 8.899 Л, с = 5.251 А,р =105°38 схематически показана на рис. 1, где на одной из проекций обозначен возможный способ выделения примитивной ячейки. [c.30]

Когда конец волнового вектора я. служащего для определения звезды, находится внутри зоны, звезда имеет столько лучей, сколько операций в кристаллическом классе. Группа волнового вектора является группой трансляций, в которой данному вектору я соответствует только одномерное представление. Если д(я) — нормальная координата, принадлежащая этому представлению, то g нормальных координат, соответствующих ц ветвям звезды, образуют вместе й -мериое представление пространственной группы. Когда модуль волнового вектора равен нулю (1я1 =0). волновой вектор совпадает с центром Г зоны Бриллюэна и все операции симметрии кристаллического класса оставляют этот вектор инвариантным. В этом случае группа волнового вектора совпадает с пространственной группой, но, поскольку все операции трансляции представляются единицей, [c.111]

Цепные молекулы могут быть охарактеризованы одномерны ми пространственными группами, которые Тобин [1737] назвал линейными группами. Такой подход оказывается корректным до тех пор, пока внутримолекулярные взаимодействия настолько превосходят межмолекулярные, что последними можно пренебречы Все приведенные выше рассуждения о трехмерных группах трансляции или пространственных группах справедливы и для линейных групп. У последних, правда, будут более короткие и простые представления [1741]. Если элементарная ячейка содержит только одну молекулярную цепь, то анализы с помощью пространственных групп и с помощью линейных групп дают одни и те же оптически активные колебания. [c.35]

В центре зоны Бриллюэна (точка Г) группа СкИзоморф л группе Сб , звезда состоит из одного вектора, которому соответствует столько различных неприводимых представлений Г,-, сколько их имеется в группе четыре одномерных (Гь Г2, Гз, Г4) и два двумерных (А, Г ). Трансляциям в представлениях А соответствуют единичные матрицы, операциям точечной группы С — матрицы, совпадающие с соответствующими матрицами неприводимых представлений группы Се . Тождественное представление пространственной группы Г. соответствует к=0 (тождественное представление группы трансляций) п тождественному представлению группы Се -. [c.66]

Сравним неприводимые представления групп Та и О в точке X, например. В группе D4 пять представлений (четыре одномерных и одно двумерное), так что с учетом числа векторов в звезде X соответствующие ей неприводимые представления группы Td могут иметь размерность 3 (четыре представления) или 6 (одно представление). Двум одномерным представлениям типа А группы D4 (Л А2) в пространственной группе соответствуют трехмерные представления Xi, Z2 двум одномерным представлениям типа В В, В ) — трехмерные представления Хз, J4 двумерному представлению Е группы D4 — шестимер- [c.71]

Использованная в [3] процедура исследования групп симметрии циклической системы весьма громоздка и не учитывает возможности иначе подойти к решению этой задачи на основе методов, применяемых в теории пространственных групп и з общих чертах обсуждавшихся в первой главе. В связи с этим сначала целесообразно рассмотреть неприводимые представления группы по модулю Гщоага. которая изоморфна циклической группе порядка Ь и имеет лишь одномерные представления. Эти представления легко получить, используя результаты предыдущего параграфа для ГЦК решетки ромбоэдрической РЭЯ из восьми примитивных ячеек соответствует приведение к центру зоны Бриллюэна звезд Х (3 вектора) и Ь (четыре вектора), а кубической ячейке из четырех примитивных — звезды Х Строго говоря, точки X и Ь приведенной зоны Бриллюэна нумеруют представления группы Га трансляций для всей основной области кристалла, в которую, однако, входят и трансляции из совокупности ГшеЛТа - Поскольку и Гдк.ПГа имеют только одномерные представления (все трансляции коммутируют между собой), нумерация представлений на подгруппе сохраняется именно на этом обстоятельстве и основана процедура приведения к центру зоны Бриллюэна (точка к =0) тех или иных точек к, рассмотренная ранее. [c.116]

Диссимметричная фаза характеризуется одномерным НП гругаы Таким о бразом, фазовый переход происходит по четьфехмерному представлению исходной пространственной группы, так что и = 4. Для данного НП можно составить три инварианта четвертой степени при этом фазовый переход описывается гамильтонианом [c.227]

В ТЬАиг и ВуСг наблюдается магнитное упорядочение в модулированную структуру типа поперечной спиновой волны (Г5И ) с волновым вектором (к. О, 0) и спинами, лежащими вдоль главной оси тетрагонального кристалла (пространственная группа /4/ттт). Звезда волнового вектора четырехлучевая, а НП группы С одномерно. Фазовый переход описывается гамильтонианом (36.16) при частном соотношении на параметры мг = = 2щ. Как видно из табл. 9.1, устойчивые неподвижные точки 5 и 6 общего гамильтоШана (36.16) являются неподвижными точками и этого частного гамильтониана. Во всех перечисленных системах, несмотря на существенное различие в симметрии исходной фазы, полную несхожесть возникающих структур, а также на различие в физической природе описанных фазовых переходов, критическое поведение в них должно быть одинаковым. В частности, критический индекс р дается выражением (36.23). С точностью до членов порядка в этом случае и = 0,70. Аналогично для 2т = 6. Уже указывалось, что гамильтониан (36.16) в этом случае описывает магнитное упорядочение в КгГгС . Согласно [13] тот же гамильтониан (при щ = 2 ,) описывает магнитные переходы в ТЬОг (пространственная группа тЗт) и N(1 (пространственная группа Р63/ттс). В обоих случаях реализуется модулированная структура типа продольной спиновой волны 1Б > с волновым вектором к, 0,0), образующим шестилучевую звезду. Атомные спины параллельны волновому вектору и описываются одномерным представлением группы Ск. Реализуются, таким образом, шестикомпонентные параметры порядка. Для перечисленных систем, согласно формуле (36.21) должно быть [c.229]

При введении в состав расплава катионов первой группы отношение О 81 постепенно увеличивается, а связи 51—О—81 заменяются на 51—О—Ме (здесь Ме — металл). В этом случае пространственные комплексы все более и более дробятся. Все большее количество анионов кислорода оказывается необобщеиным, принадлежащим только одному тетраэдру. Образующиеся кремнекислородные комплексы напоминают кремнекислородные группировки в решетках кристаллических силикатов, имеющих ту же величину отношения О 81. Это могут быть слои, ленты, цепочки, кольца и отдельные тетраэдры [5104]. При содержании 0,10 молярной доли МегО или 0,20—МеО в значительной мере деформированная сетка из 5102 распадается на отдельные куски. Когда отношение О 51 достигает величины порядка 2,5, в расплаве превалируют комплексные анионы [51205] , которые образуют слои. При дальнейшем введении оксида металла возникают одномерные цепочки [810з]1 , в которых отношение О 81 равно 3. В присутствии комплексообразующих катионов А13+, В , Р + состав и строение комплексов усложняются. Полимеризованные кремнекислородные анионы в расплавах в той или иной степени отражают структуры твердых силикатов. [c.186]

Греческие узоры с одномерной пространствен-ДСнДДЛСТНИ группой симметрии й-с полярной осью [c.364]

Вряд ли следует удивляться разнообразию кристаллических структур с Н-связями. Хотя молекулы и располагаются таким образом, чтобы кислотные и основные группы находились поблизости друг от друга, размеры и форма остальных частей молекулы также влияют на упаковку. Геометрические основы кристаллохимии были в общем виде рассмотрены в серии статей Уэллса, причем одна из них специально посвящена структурам с Н-связями [2152]. Очень ценной является также классификация кристаллов с Н-свя-зями, предложенная Уббелоде и Гэ.тлафером [2068], которая основана на геометрических соображениях. В этих работах отмечается существование образованных Н-связями одномерных цепей (например, метанол [2006], муравьиная кислота [949]), двумерных слоев (например,у-хинол, капролак-там, 4,4 -диоксидифенил) и многих типов пространственных сеток, начиная с простых тетраэдрических конфигураций в галогенидах аммония и кончая такими интересными структурами, как спирали (например, мочевина) и соединения включения с Н-связями (например, соединения включения [c.226]

Основное свойство симметрии цепей — возможность построения всей цепи путем размножения элементарных фигур (мономерных звеньев), из к-рых она построена, операцией винтового смещения (рис. 2), т. е. поворотом фигуры на угол Q = 2nqjp вокруг осп цепи с одновременным сдвигом ее вдоль оси на долю периода идентичности (с/р). Частным случаем винтового смещения является, очевидно, чистая трансляция 6 = 0 или 0=2л. Симметрию макромолекулярной системы наиболее удобно рассматривать в рамках математич. теории групп. Для определения правил отбора в К. с. полимеров пользуются понятиями одномерных пространственных (линейных) математич. групп и их фактор-групп. Все спектрально активные частоты цепи получаются из рассмотрения элементарной ячейки одномерного кристалла — регулярной изолированной макромолекулы. Активны лишь те колебания, при к-рых одинаковые атомы во всех элементарных ячейках кристалла колеблются в фазе. Это т. наз. частоты группы (математич.) элементарной ячейки , или колебания, получающиеся из неприводимых представлений фактор-групп. Наиболее распространенными для макромолекул линейными группами являются фактор-группа к-рой циклическая С(2яд/ э),и % фактор-группа к-рой диэдральнаяи(2л /js). Единственным элементом симметрии группы является винтовая ось, совпадающая с осью цепи. В группе 2, кроме этого, появляются дополнительные элементы симметрии — оси второго порядка, перпендикулярные оси цепи. Группа описывает, иапр., симметрию макромолекул всех изотактич. виниловых полимеров, изотактич. полиальдегидов и др., а группа — полиоксиметилена, полиоксиэтилена и многих синдиотактич. виниловых полимеров. [c.531]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология