Операции пространственной симметрии

Таким образом, каждой из рассмотренных операций пространственной симметрии, которую обозначают как g, можно сопоставить ортогональное преобразование координат С и оператор симметрии С, определяемый соотношением [c.36]

Рассмотрим, например, двухатомную гетероядерную молекулу. Направим ось Z вдоль оси молекулы (оси симметрии бесконечного порядка). Операциями пространственной симметрии этой молекулы являются попорот на любой угол вокруг оси молекулы и отражение в любой плоскости, проходящей через эту ось, т.е. (е ) и а . Рассмотрим сначала операцию поворота на угол а. Равенство (1.100) в этом случае принимает вид [c.37]

Возможных типов пространственной симметрии, однако, существует больше, что связано с наличием не только описанных выше истинных трансляций, вращений, отражений и т. д., но и других операций пространственной симметрии. Эти дополнительные операции возникают при комбинации трансляции с вращением или отражением и носят название винтовых осей и плоскостей скольжения. [c.766]

Повторное воспроизведение группы атомов с использованием винтовой оси приводит к картине, носящей название спирали. Если атомы соединяются химическими связями в непрерывную цепь, так что каждая группа оказывается связанной со следующей, то в результате получается спиральная молекула, простирающаяся по всей длине кристалла. Такое положение встречается в кристаллических структурах селена и теллура, содержащих спиральные молекулы симметрии 3 или Зг (пространственные группы Р2> 2 или Р2>г2 ), как показано на рис. III.7. Спиральные молекулы могут также появиться за счет операции симметрии, аналогичной винтовому повороту, за тем лишь исключением, что угол поворота от одной группы к последующей не является целым кратным 360°. Такой поворот представляет собой наиболее общий тип операции пространственной симметрии — произвольное вращение, сопровождаемое произвольной трансляцией. Ряд биологически весьма важных молекул обладает спиральной симметрией именно этого типа. В частности, можно упомянуть а-спираль белков (рис. 24.2) и спиральный остов молекулы ДНК. [c.768]

Группе точечной симметрии данного объекта соответствует совокупность всех операций симметрии, которые оставляют объект неизменным. Полностью асимметричному объекту соответствует группа симметрии, называемая группой . К такой группе симметрии относится только тождественное преобразование, которое оставляет объект неизменным и неподвижным. Другие примеры операций точечной симметрии приводятся в тексте. К операциям симметрии относятся параллельные переносы, а также возможные вращения и некоторые другие операции. Они называются операциями пространственной симметрии. В качестве примера рассмотрим простой параллельный перенос вдоль оси. [c.125]

Операции пространственной симметрии 77 [c.77]

ОПЕРАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИММЕТРИИ [c.77]

Подытоживая, можно сказать, что под действием операций пространственной симметрии волновые функции 1, принадлежащие -кратно вырожденному собственному значению энергии атома или молекулы, линейно преобразуются друг через друга матрицы этого преобразования образуют представление соответствующей группы пространственной симметрии . Иными словами совокупность собственных функций Ч , Рг,. .., образует базис представления С, имеющего размерность д и характеризующего соответствующий энергетический уровень . [c.78]

Операции пространственной симметрии [c.79]

Те или иные сочетания указанных операций симметрии (с неподвижным при всех операциях началом системы координат, т.е. операций точечной симметрии) приводят к точечным группам. Эти группы обозначаются либо по тем пространственным элементам, которые порождают операции симметрии, например п,т, 1, либо [c.217]

Первый щаг в определении симметрии динамических свойств состоит в выборе подходящего базиса. Термин подходящий подразумевает правильное воспроизведение тех изменений, которые происходят в рассматриваемых свойствах. Так, при рассмотрении колебаний молекул (гл. 5) используют векторы декартовых смещений или внутренних координат. При исследовании электронной структуры молекул (гл. 6) часто в роли базиса используют угловые составляющие атомных орбиталей. Это делают потому, что угловая составляющая волновой функ-Щ1И меняет свой знак при определенных операциях симметрии, характеризуя тем самым пространственную симметрию изучаемой орбитали. Молекулярные орбитали также используют в роли базиса представления. В приведенной ниже простой схеме перечислен ряд важных разделов химии, в которых теория групп просто незаменима здесь же указаны и наиболее удобные базисные функции. [c.225]

И электромагнитными взаимодействиями. До 1956 г. считали, что этот закон является всеобщим законом природы. Однако в 1956 г. (Ли, Янг, Ву) было установлено, что в явлении р-рас-пада атомных ядер, распада i-, я- и К -мезонов и гиперонов обнаруживается асимметрия, которая позволяет сделать выбор между правым и левым. Эти явления указывают, что при слабых взаимодействиях, которые определяют указанные выше явления распада, нарушается симметрия между правым и левым (нарушается инвариантность по отношению к операции пространственной инверсии) и, следовательно, нарушается закон сохранения четности. В этой, книге мы будем рассматривать только явления, в которых имеет место право-левая симметрия. [c.85]

Вл есте с трансляциями операции точечной симметрии порождают пространственную ( федоровскую ) группу симметрии кристалла , состоящую из всех трансляций, всех преобразований точечной группы, а также из всех комбинированных преобразований, каждое из которых включает трансляцию плюс операцию точечной группы [c.77]

Исследуя возможные сочетания элементов симметрии конечных объемов, оказалось возможным установить, что сочетаний элементов симметрии, действующих на единственную точку (центр тяжести кристалла), т. е. точечных групп или классов симметрии, насчитывается 32. Для бесконечно протяженной пространственной решетки (дисконтинуума), кроме описанных выше элементов симметрии, возможны и иные проявления правильной периодической повторяемости мотива расположения точек системы за счет того, что смещение вдоль трансляции на целую трансляцию в бесконечно протяженной решетке есть операция трансляционной симметрии, приводящая систему точек в идентичное положение. Поэтому новые элементы симметрии содержат компоненту трансляции, совпадающую с ними по направлению. [c.54]

Рнс. III.5. Диаграммы пространственной симметрии. Элементарные ячейки (выделенные) моноклинные. Ось Ь перпендикулярна плоскости рисунка. Диаграммы показывают расположение элементов симметрии в ячейке и совокупность атомов, связанных операциями элементов симметрии. [c.766]

На рис. 1П.6 показаны операции симметрии, которые существуют для трех типов винтовых осей 4-го порядка 4i, 4г и 4g, а также для обычной оси вращения 4-го порядка. Рис. П1.7 иллюстрирует случай присутствия винтовых осей в структуре селена. Полный перечень различных типов осей, которые могут встретиться при наличии пространственной симметрии, сводится к следующему [c.767]

В настоящем приложении освещены основные идеи, на которых покоится рентгеноструктурный анализ. Для установления структуры кристалла необходимо осуществить две фундаментальные операции во-первых, идентифицировать кристаллическую решетку и соответствующую пространственную симметрию (приложение III) во-вторых, определить, какие атомы входят в элементарную ячейку. [c.769]

Первая операция при определении полной пространственной симметрии кристалла заключается в установлении его точечной группы (приложение III). Точечную труппу хорошо сформированного кристалла можно установить при изучении расположения его граней. Если же грани образованы недостаточно хорошо, то внутреннюю симметрию необходимо определить рентгенографически. Рентгенографическое определение, впрочем, всегда проводят в качестве контрольного. Элементы симметрии кристалла можно установить по лауэграмме, например приведенной на рис. IV.1. На лауэграмме каждый элемент симметрии кристалла, совпадающий с осью лучка рентгеновских лучей, будет проявляться на пленке в виде симметричного расположения рефлексов. Так, из рис. IV.1 следует, что имеется ось 2-го порядка и две плоскости отражения, параллельные пучку рентгеновских лучей. Для определения всех элементов симметрии необходимо проверить все ориентации кристалла, так чтобы каждая из осей или плоскостей стала параллельной пучку и могла бы быть при этом идентифицирована. Таким образом определяется полный набор элементов симметрии, составляющий одну из точечных групп. Существенным препятствием для осуществления этой процедуры является тот факт, что все кристаллы при рентгеноструктурном исследовании кажутся центросимметричными, поскольку отражение от одной стороны набора плоскостей решетки обычно неотличимо от отражения от другой стороны. Для преодоления этой трудности были разработаны специальные методы. Простейший из них заключается в изучении внешней формы кристалла, позволяющей судить, существует ли центр симметрии. Примечательно, что простое макроскопическое наблюдение в этом случае может дать существенную информацию, дополняющую ту, которая получается при использовании метода дифракции рентгеновских лучей. [c.772]

Сказанное можно обобщить. Точку ячейки, инвариантную относительно некоторых операций пространственной группы кристалла, называют позицией. Совокупность операций, относительно которых инвариантна позиция, образует группу — позиционную группу, последняя обязательно является точечной группой. Позиционная группа описывает симметрию кристалла, которую увидел бы наблюдатель , помещенный в эту точку. Точка, находящаяся в общем положении в ячейке, т. е. не находящаяся ни на одном из элементов замкнутой симметрии ), имеет позиционную группу, образованную единственным элементом идентичности. Тогда g операций (/ , тд) порождают g гомологических точек. В кубических кристаллах такие позиции редко бывают занятыми в отличие от кристаллических классов менее высокой симметрии. [c.56]

Посмотрим теперь, как преобразуются переменные а(/, ч) при операции пространственной группы, состоящей из поворота первого или второго рода и трансляции. Если операция совмещения кристаллической среды (/ , + Тд) переводит среднее положение атома т/ в среднее положение атома М/, то результат операции симметрии можно записать следующим образом [c.102]

Свойства симметрии комплексных, нормальных координат Qr(q) нам известны они определяются неприводимыми представлениями пространственной группы симметрии кристалла (гл. 4, 4). В силу того что Pr(q)= Qr(q), момент i r(q) имеет ту же симметрию, что и Qг(q). Соотношение (2.32) и подобные ему соотношения говорят о том, что операторы Ь% и b- r имеют такие же свойства симметрии, как и нормальная координата Qr(q) Точно так же, заменив q на —q, видим, что операторы и при операциях симметрии преобразуются по закону Рг(—q) = Qp(q). Пусть фо будет функцией вида (2.19), у которой все квантовые числа ицл равны нулю. Она описывает состояние, в котором в кристалле нет фононов — состояние фононного вакуума. Это единственное невырожденное состояние можно предположить, что соответствующая функция фо инвариантна по отношению ко всем операциям пространственной группы симметрии кристалла. Симметрия состояния фонона (я, г), описываемого собственной функцией определяется симметрией Ь г- Таким образом, она оказывается такой же, как симметрия координаты Qr(q). [c.192]

Таким же образом можно воспользоваться и пространственной симметрией. Согласно результатам, изложенным в приложении III (стр. 355), разложение любой волновой функции данной симметрии содержит только функции с той же симметрией. Ситуация полностью аналогична той, которая возникает при рассмотрении спиновой симметрии собственные числа S, М фактически являются некоторыми индексами, нумерующими различные базисные функции (Л1=5, 5—1,. .., —S) отдельного (25+1)-мерного представления Ds группы вращений спинового пространства эти индексы поэтому соответствуют в точности индексам (а, t) в приложении III. Функции определенной симметрии в отношении пространственных операций симметрии снова могут быть построены как линейные комбинации базисных детерминантов. Для молекул это легко сделать, используя методы, изложенные в приложении III в последующих разделах будут приведены соответствующие примеры. [c.74]

Для того чтобы учесть требования пространственной симметрии, воспользуемся тем, что все рассматриваемые функции остаются инвариантными при пространственных поворотах вокруг оси, проходящей через оба атома. Поэтому нужно исследовать поведение этих функций только при преобразовании инверсии 1 — единственной нетривиальной операции соответствующей подгруппы симметрии 8= Е, 1). Действие операции инверсии 1 на атомные орбитали сводится просто к перестановке этих орбиталей ая Ь, к, следовательно (учитывая, что перестановка столбцов в детерминанте меняет его знак), получаем [c.78]

В квантовой механике существует весьма простое правило отбора, в основу которого положены представления пространственной симметрии волновых функций [7]. Эти функции, а также состояния, описываемые ими, подразделяются на четные и нечетные в зависимости от того, остается функция неизменной при операции инверсии или [c.27]

Рассмотрим теперь вектор к на направлении симметрии ГО И). Группа Ск содержит теперь кроме тождественного элемента операцию отражения в плоскости Ov(XZ и изоморфна группе Са, имеющей два одномерных неприводимых представления, характеры которых отличаются знаком для операции отражения в плоскости симметрии. Звезда вектора на направлении Е состоит из 6 векторов, ему соответствуют два неприводимых представления 2 1 и шестого порядка. В этих представлениях матрицы, соответствующие трансляциям, совпадают, а для других операций пространственной группы могут отличаться только знаком. [c.66]

Все разрешенные комбинации точечной и пространственной симметрии, которой обладает мотив, приводят к 230 пространственным группам. Удобно ввести понятие асимметричной единицы. Это наименьшая единица, из которой с помощью операций симметрии, присущих пространственной группе, можно получить всю кристаллическую структуру. Асимметричная единица может состоять из нескольких молекул, из одной молекулы или из субъединицы олигомерной молекулы. Кристалл порождается в результате созда- [c.352]

Рассмотрим более сложный пример, когда в элементарной ячейке имеется винтовая ось второго порядка, такая, как в пространственной группе Р2 /с. Здесь координаты положения (х, у, г) преобразуются в координаты (х, 1/2 + у, 1/2 — г) за счет операции, соответствующей этому элементу симметрии. Можно записать (в этом случае используются только косинусы, поскольку известно, что Р2, /с — центрированная пространственная группа, т. е. уг -> ху/) [c.395]

Количественное описание симметрии известно под названием теории групп. В данном случае речь идет о симметрии пространственных структурных образований в дисперсных системах, где симметрия может явиться одним из параметров описания или классификации системы либо отдельных ее частей или компонентов, являющихся объектами симметрии. Симметрией, или симметричностью, объекта является его способность в разных положениях принимать одинаковый вид. Такие положения на зывают операциями симметрии, или элементами симметрии, объекта. Различные объекты могуг иметь разное число операций симметрии. В качестве простейших при- [c.183]

В непосредственной взаимосвязи с локальной симметрией находится трансляционная симметрия, которая указывает на пространственную природу симметрии структурного образования. Аналогично перемещению составляющих молекулы на микроуровне можно представить операции симметрии, связанные с перемещением элементов структуры структурного образования. Важнейшими из указанных операций симметрии являются простая трансляция, винтовая ось, плоскость скольжения. Еще раз отметим необходимость четкого представления особенностей симметрии кристаллов чистых веществ, заключающейся в закономерностях атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов. Симметрия свойств кристалла обусловлена симметрией его строения. Кристалл может быть совмещен с самим собой путем поворотов, отражений, трансляций — параллельных переносов и других преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований. [c.184]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

Операции пространственной симметрии подразумевают трансляцию объекта. Им соответствуют винтовые оси (поворот, сопровождаемый трансляцией) и плоскости скольжения (трансляции, сопровождаемые зеркальным отражением). Винтовые оси обозначаются п , где п — порядок поворотной оси, ат/п — доля элементарной ячейки, на которую происходит трансляция. Например, ось 3, означает поворот на 120°, сопровождаемый трансляцией на 1/3 длины элементарной ячейки в направлении оси поворота. Описание плоскостей скольжения более сложно, так как оно зависит от того, вдоль какой грани или диагонали происходит скольжение, а также от того, на какое расстояние оно происходит. На рис. 13.17,Д приведены некоторые примеры операиий пространственной симметрии. [c.352]

У многоатомных молекул очень часто основным является синглетное состояние, когда 5 = 0 (такое положение может встретиться только при четном числе электронов). Если попытаться описать синглетное состояние однодетерминантной функцией, то оказывается, что это сделать можно при выполнении весьма простого условия каждая орбиталь должна входить в детерминант дважды один раз со спин-функцией а и один - со спин-функцией р. Если у молекулы есть к тому же определенная пространственная симметрия и орбитали преобразуются по неприводимым представлениям соответствующей точечной группы симметрии, то для вырожденных представлений (типа Е,Ри т.п.) в определитель должны входить все компоненты этого представления как с функцией а, так и с функцией р. В этих случаях говорят, что каждая орбиталь дважды (или двукратно) занята. Орбитали, преобразующиеся друг в друга при операциях симметрии и представляющие собой тем самым базис какого-либо неприводимого представления, образуют так называемую оболочку. Поэтому в однодетерми-нантном представлении волновой функции синглетного состояния все оболочки должны быть либо полностью заняты (другими словами, полностью заполнены), либо полностью вакантны. Частично заполненных оболочек быть не должно. В этих случаях говорят также, что имеются лишь замкнутые оболочки. При наличии частично заполненных оболочек говорят об открытых оболочках. [c.266]

Положение атома в элементарной ячейке задается его координатами х, у и 2 вдоль ребер элементарной ячейки а, Ь я с (следует отметить, что здесь X, у п 2 яе являются декартовыми координатами, а измеряются в направлениях ребер элементарной ячейки). Атом в вершине угла элементарной ячейки имеет координаты О, О, О и объемноцентрирован-ное положение 72, 7а, 72- Если атом находится в точке х, у и г, то он должен также находиться в каждой другой точке, эквивалентной первой при операциях пространственно-групповой симметрии. Например, если в объемноцентрированной решетке атом находится в точке х, у, г, имеется эквивалентный атом в точке Х+У2, У+Чи, 2+72- В кристалле узел решетки необязательно занят атомом или молекулой, но он представляет повторяюшуюся единицу. [c.570]

Прямые и непрямые переходы, описываемые формулой (3.5), подчиняются одним и тем же правилам отбора, а поэтому можно ограничиться изучением членов, содержащихся в М< ). Дело в том, что условия существования коэффициентов Mq (Ч. — Ч "1 2) ( Ч- — Ч> Тг гг) одинаковы. Действительно, ангармонический потенциал (2.5) — скаляр и, следовательно, инвариантен при операциях пространственной группы симметрии. Но величина Q(T) в произведенпи Q (Г) (q) ( q) преобразуется как составляющая вектора. Следовательно, произведение (q) Q, (— q) должно преобразоваться как Q T). [c.274]

Операции симметрии, описывающие пространственную симметрию молекулы, могут быть заданы при помощи задания вращения некоторой совокупности базисных векторов в точности так же, как в разд. 2.3. Здесь базис eie2es может быть выбран так, что он будет составлен из трех единичных векторов вдоль осей х, у, г. Любое вращение около оси, проходящей через начало координат, переводит эти базисные векторы в новую совокупность базисных векторов, связь между которыми имеет вид [ср. (2.2.14)] [c.347]

Поскольку все операции g по определению группы Со переводят вектор решетки в вектор решетки, g л +s = есть элемент группы трансляций. Очевидно, gi = glg2 по определению группы такл<е есть элемент Со. Таким образом, произведение преобразования симметрии решетки есть операция также симметрии ее. Легко убедиться, что произведение преобразований симметрии ассоциативно, а обратным к преобразованию является = Я Ч га (мы представляем это читателю). Таким образом, преобразования симметрии кристаллической решетки действительно образуют группу, называемую пространственной группой симметрии Фо. [c.27]

Всего существует 157 неснмморфных трехмерных пространственных групп, структура которых хорошо изучена и приводится в специальных руководствах [12, 13]. При пользовании ими надо иметь в виду, что набор векторов несобственных трансляций а зависит от выбора начала координат операций точечной симметрии кристаллического класса. Так, в случае алмаза помещение начала координат в середину расстояния между атомами, не меняя кристаллического класса Oh, изменяет набор несобственных трансляций все операции группы Td входят в пространственную группу с несобственной трансляцией на вектор = ga — x)l2, а остальные операции группы О/, — с трансляцией на вектор x" = gx+a)l2, где а = [c.40]

Рассматриваемые здесь группы являются группами операций симметрии молекул. Операциями симметрии называют такие действия, производимые над молекулой (инверсия, вращение, отражение), которые совмещают молекулу саму с собой. Так, например, операцией симметрии является вращение молекулы двуокиси азота на 180" вокруг биссектрисы угла ONO. Вращение вокруг той же оси на 90° не является операцией симметрии. В интересующих нас приложениях мы не встречаемся с трансляциями и поэтому рассматриваем только точечные, а не пространственные группы симметрии. Пространственные группы существенны в теории кристаллов. Точечные группы включают лишь такие операции симметрии, которые оставляют по крайней мере одну точку молекулы инвариантной (фиксированной). В число операций группы симметрии обязательно входит тождественное преобразование Е. Эта операция оставляет функцию неизхмененной, так что мы можем записать [c.242]

Свойства симметрии сталкивающихся молекул и потенциала межмолекулярного взаимодействия, которые проявляются в инвариантиости гамильтониана системы взаимодействующих частиц относительно операций пространственной инверсии и перестановки тождественных ядер, приводят к появлению столкновительных правил отбора при вращательных переходах. Они определяются из условия сохранения полной и внутренней четности системы и для линейных молекул и молекул — симметричных волчков, моделируемых жесткими ротаторами, имеют вид (здесь А] - изменение вращательного квантового числа молекулы) [c.88]

Центрированные решетки. Другим оператором пространственных групп, не имеющим аналога в точечных группах, является центрирующий оператор. Этот оператор приводит к трем общим типам кристаллических решеток, которые называют грапецентрированными (обозначаются Г), бокоцентрированными (А. В или С ) и объемнопентрированны-ми (/). Симметрию этих решеток можно описать только операциями трансляции, которые включают трансляции только наполовину длины ребра ячейки. Например, в Х-центрированной решетке для каждой точки (х, у, г) должна существовать эквивалентная точка (х, 1/2 -Ь у, 1/2 + г). [c.366]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология