Разностные уравнения

После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]

Этой системе предположений соответствует дифференциально-разностное уравнение, которое должно решаться при следующих граничных условиях [c.105]

Трудности решения системы конечно-разностных уравнений в первую очередь обусловлены ее большой размерностью, равной числу дискретных точек, в которых ищутся значения функций. Размерность 25 387 [c.387]

При фиксированной размерности трудоемкость решения системы конечно-разностных уравнений зависит от типа разностной схемы. Поясним это на примере системы уравнений (13.3), где во втором слагаемом вместо индекса, указывающего номер временного шага, пока проставлены звездочки. Рассмотрим два варианта [c.388]

С учетом выражения (V, 147) дифференциальное уравнение (V, 145) теперь может быть заменено следующим разностным уравнением [c.216]

Соответствующее разностное уравнение [c.288]

В соответствии с другими условиями процесса и физическими свойствами веществ разностные уравнения принимают вид [c.290]

После того как определено радиальное распределение температуры, можно вычислить степень превращения в объеме (2лг Аг Аг) при помощи разностного уравнения [c.162]

На точность решения влияют в основном две особенности разностных уравнений. Первая состоит в ошибке приближения, т. е. в расхождении между дифференциальным уравнением в какой-либо точке и разностным, предположительно относящимся к этой точке. Другой особенностью является порядок разностного уравнения, относящегося к осевому отрезку. Примером может служить решение обычного дифференциального уравнения первой степени. Пусть требуется решить уравнение [c.189]

Это приводит к разностному уравнению [c.189]

Если можно оценить значение у для первого интервала, то решение разностного уравнения имеет вид [c.190]

Погрешность, связанную с приближением, можно оценить путем сравнения величины, рассчитанной при помощи разностного уравнения, с ее точным значением. [c.191]

Бик приводит два практических способа составления разностных уравнений для реакторов с неподвижным слоем. Простой способ заключается в применении уравнения с нисходящими разностями для осевой производной и уравнения с центральными разностями для радиальных производных. Главные члены в ошибке приближения пропорциональны к и где Л и 1 —длины [c.191]

Разностное уравнение, соответствующее (II, 149), имеет вид [c.192]

На основании этих выражений, пользуясь методикой Бика, можно составить разностные уравнения [c.193]

Приближение первой производной имеет аналогичный вид. При использовании выражений, подобных выражениям для радиальных производных, и при приближении осевой производной с помощью центральной разности разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению [c.195]

Коэффициенты со и т] не зависят от температуры и состава и. могут использоваться в каждой то ке сетки. Выражения, входящие в величину S [см. уравнение (И, 158) и следующие], являются функциями зависимых переменных. Весьма важно знать коэффи- циенты при зависимых переменных, так как при новом профиле они появляются в разностном уравнении в трех точках сетки. Таким способом можно конкретно разрешить систему уравнений. [c.195]

Граничные условия учитываются при составлении уравнений для точек, расположенных вблизи оси и стенки так же, как и в уравнениях с нисходящими разностями. Основное отличие состоит в том, то для контроля ошибки приближения первое разностное уравнение соответствует дифференциальному уравнению для п-го интервала на расстоянии Д h от оси, а не на самой оси. Разность между температурой реакционной смеси и охлаждающей жидкости принимается равной средней величине между температурами в (м—1)-ом и (п+1)-ом интервалах. При вычислении изменения давления плотность и молекулярный вес также принимаются рав-. ными своим средним значениям для соответствующих интервалов [c.195]

В радиальном направлении берутся два отрезка. Для данного случая разностные уравнения имеют вид [c.200]

Математическим описанием колонны является система уравнений, включающая уравнения баланса общего и покомпонентного, уравнения для фазового равновесия. Уравнения покомпонентного материального баланса тарелок можно рассматривать как систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Неизвестными здесь будут составы и отношение потоков пара и жидкости. Линеаризация системы уравнений производится разложением в ряд Тейлора до членов первого порядка. Для системы нелинейных разностных уравнений первого порядка [c.329]

Другой подход к решению задачи минимизации заключается в линеаризации правой части разностного уравнения (3.165) с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы в этом случае имеет вид 0 — 0 = А + [c.220]

Системы нелинейных интегро-дифференциальных или конечно-разностных уравнений, отражающих физико-химическую сущность технологических процессов [c.58]

Запишем систему разностных уравнений материального баланса, условие фазового равновесия и граничные условия. [c.277]

Уравнения (7.37) — (7.44) составляют исходную систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Эта система содержит 2т + 1 неизвестных. Количество кубового продукта и дистиллята определяется исходя из заданных условий разделения и уравнений полного и покомпонентного баланса (для i = 1) колонны при заданном начальном профиле концентраций по высоте колонны. Подстановкой выражений (7.43) в уравнения (7.37)— (7.44) исходную систему уравнений можно сократить до m -j- 1 порядка с т + 1 неизвестными (х , i= 1, 2,. . ., m, Z). Очевидно для решения этой системы уравнений необходимо иметь т + 1 граничное условие. Такими граничными условиями являются уравнения (7.33)—(7.36). [c.278]

Уравнения (7.173)—(7.175) и (4.60) составляют систему нелинейных разностных уравнений 2А + 2 порядка относительно 2А + 2 неизвестных XiJ, Vj ж Lj (I = 1, 2,. .., к). Воспользовавшись уравнением (7.173), соотношением [c.331]

Уравнения (1-61) — (1-68) составляют исходную систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Эта система содержит 2т 4- 1 неизвестных. Количество кубового продукта и дистиллята определяется исходя из заданных условий разделения и уравнений полного и покомпонентного баланса (для = 1) колонны при заданном начальном профиле концентраций по высоте колонны. Подстановкой выражений (1-67) в уравнения (1-61) — (1-68) ис- [c.62]

Анализ функционирования ХТС, для которой известны математические модели отдельных элементов и технологическая топология, состоит в расчете полной математической модели для определения параметров выходных технологических потоков при заданных технологических условиях и параметрах входных потоков системы. Сложные ХТС включают большое число элементов, описываемых многомерными дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Поэтому даже простой однократный расчет математических моделей таких систем на современных ЦВМ занимает много времени и приводит к многочисленным трудностям как при программировании задач, так и при технической эксплуатации вычислительных машин. Указанные трудности обусловлены многомерностью решаемых задач, а также малым объемом памяти ОЗУ и низким быстродействием применяемых в настоящее время ЦВМ. Синтез оптимальных ХТС связан с неоднократным решением задач анализа их функционирования или полного расчета. [c.212]

Пример 10. При проектировании ректификационных установок определение таких технологических параметров, как флегмовое число,число тарелок, положение тарелки питания, производится по некоторым критериям путем проведения многократнйгх расчетов с использованием определенной стратегии (см. с. 146). Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным затратам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно приведением ее к линейному виду и определением частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число. Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [18]. [c.61]

Решение уравнения диффузионной модели движения жидкости на тарелке получено в предположении линейной равновесной зависимости. Однако для других случаев такое решение можно получить лишь численно. Особенно это относится к многокомпонентной ректификации. Поэтому практически целесообразнее использовать описание моделей структуры потоков конечно-разностными уравнениями, которые в линейном приближении равновесных зависимостей (что часто справедливо в пределах точности вычислений) на ступени разделения позволяют получить несложные с вычислительной точки зрения зависимости. [c.89]

Следует отметить, что исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциаль-ными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру. Формально замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. При подобных преобразованиях исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования. [c.202]

Как уже подчеркивалось ранее, система конечно-разностных уравнений является алгебраической и поэтому к ней применимы известные методы решения алгебраических уравнений. В то же время отметим, что каждое неявное конечно-разностное уравнение содержит только три значения искомой функции в соседних узлах. Вследствие этого матрица коэффициентов системы конечно-разностных уравнений имеет специальный, так называемый, трехдиагональный вид. Для системы (13.9) матрицей является [c.389]

Если принять кУак=2, то разностное уравнение запишется в простом виде [c.400]

Второй приближенный способ составления разностных уравнений, также приводимый Биком, требует несколько более сложного способа решения, но зато позволяет брать более длинные интервалы. Установлено, что приближенное выражение осевой производной при помощи центральной разности может быть использовано, если радиальные производные приближать при помощи соответствующих средних разностей, вычисленных по новому и предшествующему профилю (одному или нескольким). Для вычисления (ra+U o профиля соответствующая средняя величина, используемая для радиальной производной, должна иметь одинаковую долю в (п+1)-ом и п — 1)-ом профилях, а остаток — в и-ом. Ошибка приближения здесь мала, так как система симметрична относительно п-го профиля, в котором дифференциальное уравнение подвергалось упрощению. Если доли в профилях (л + 1) и п— 1) больше Д, а в п-ом соответственно меньше Д, то такая разностная схема устойчива при любой длине интервала ". [c.194]

Величины, необходимые для вычисления членрв, стоящих в правых частях разностных уравнений, приведены в табл. 6. [c.201]

Концентрацию компонента А в точке (г + /з) можно для простоты принять равной средней величине между А и Л +1. Нелинейный член g T) может быть записан в форме линейного разностного уравнения по методу Дугласане накладывающего никаких ограничений на сходимость и относительные размеры Ар и А . Величину Г. 1 можно выразить приближенным равенством [c.206]

По утверждению Розенберга, Даррилла и Спенсера , уравнения этого типа, образующие трехдиагональную матрицу, легко решаются по методу Томаса . Разностные уравнения для температуры, составленные по найденным значениям величин А на (I + 1)-ом уровне, будут иметь аналогичный вид. [c.207]

Производные, входящие в уравнение ( .9), рекомендуется вычислять по следующим разностным уравнениям четырехточеч ного шаблона [c.150]

В линейном программировании пользуются понятием об опорных решениях. К ним относят такие базисные решения, у которых все базисные переменные являются положительными, так как обычно в задачах линейного программирования нужно, чтобы x >0. Довольно очевидно, хотя может быть и доказано [8], что оптимальное решение совнадает с одним из опорных. Является ли базисное решение опорным, легко установить по виду единичного базиса — системы (VI.31). Поскольку с1 ,. .., <1 определяют значения базисных переменных, то если среди (1 есть отрицательные величины, базисное решение не будет опорным. Можно перейти от такого базисного решения к опорному следующим образом выберем из с1 отрицательное наибольшее по абсолютной величине, и вычтем уравнение для с1 из остальных, включаюпщх отрицательные Тогда свободные члены разностных уравнений станут положительными. [c.202]

Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным зат4затам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно путем приведения ее к линейному виду и определения частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число.Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [20]. [c.277]

Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

Алгоритм проектного расчета. Как отмечалось ранее, математическое описание колонны представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений высокой размерности, решение которой производится итеративными методами, причем скорость сходимости зависит как от начального приближения, так и от режима работы колонны. Поэтому исключение итеративного расчета по отдельным переменным в процессе поиска оптимального решения позволит существенно сократить объем вычислений. Ниже предлагается метод расчета, основанный на формулировании задачи как системы нелинейных разностных уравнений с граничными условиями, решение которой осуществляется по методу квазилинеаризацпп с использованием принципа суперпозиции. Особенностью метода является пригодность для расчета колонн любой сложности с учетом всевозможных алгоритмов описания отдельных явлений (фазовое равновесие, кинетика массопередачи и т. д.), а также возможность исключения итерации по поиску флегмового потока, обеспечивающего заданное качество продуктов разделения при известном числе ступеней разделения. Оптимальное положение тарелки питания в смысле некоторого критерия (например, термодинамического или технологического) определяется непосредственно в ходе потарелоч-ного расчета колонны. [c.328]

Ячеечная модель описывается системой дифференциально-разностных уравнений, решение которых отиосптельпо просто может быть осуществлено на ЦВМ, [c.417]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология