Разностные уравнения для температуры

После того как определено радиальное распределение температуры, можно вычислить степень превращения в объеме (2лг Аг Аг) при помощи разностного уравнения [c.162]

Коэффициенты со и т] не зависят от температуры и состава и. могут использоваться в каждой то ке сетки. Выражения, входящие в величину S [см. уравнение (И, 158) и следующие], являются функциями зависимых переменных. Весьма важно знать коэффи- циенты при зависимых переменных, так как при новом профиле они появляются в разностном уравнении в трех точках сетки. Таким способом можно конкретно разрешить систему уравнений. [c.195]

Граничные условия учитываются при составлении уравнений для точек, расположенных вблизи оси и стенки так же, как и в уравнениях с нисходящими разностями. Основное отличие состоит в том, то для контроля ошибки приближения первое разностное уравнение соответствует дифференциальному уравнению для п-го интервала на расстоянии Д h от оси, а не на самой оси. Разность между температурой реакционной смеси и охлаждающей жидкости принимается равной средней величине между температурами в (м—1)-ом и (п+1)-ом интервалах. При вычислении изменения давления плотность и молекулярный вес также принимаются рав-. ными своим средним значениям для соответствующих интервалов [c.195]

С. Конечно-разностные уравнения. Конечно-разностные уравнения для переменных иг, ики) имеют тот же вид, что и уравнения для температур. Следует только иметь в виду, что все точки должны быть сдвинуты на половину интервала в соответствующем направлении (в направлении 6, когда Ф означает иг, в направлении г для о и в направлении г для а>). [c.38]

Составляя соответствующие разностные уравнения, получают выражение для расчета распределения температур Т в /-том по I сечении [c.234]

Алгоритм имеет следующую структуру. Вначале вводятся исходные данные, константы, величина шага по времени при решении конечно-разностных уравнений. Затем следует подпрограмма инициализации графического режима. Перечисленные блоки составляют общую часть программы. Далее следует циклическая часть, которая многократно повторяется в процессе расчета. Она начинается с оператора-счетчика К=К+1. Затем идет собственно расчет искомых величин. Расчет температур жидкой и газовой фаз в камере для двух рассматриваемых случаев осуществляется по одним и тем же конечно-разностным формулам. После расчета температур и вывода результата на печатающее устройство алгоритм разветвляется на два направления по признаку ветвления X . [c.444]

Уравнение (10.4) является нелинейным конечно-разностным уравнением интегрального типа относительно неизвестной функции п (К). Поэтому оно имеет несколько решений. Каждое решение обеспечивает экстремум свободной энергии и описывает упорядоченное или неупорядоченное распределение атомов. Каждому набору термодинамических параметров с, Т (состав, температура) соответствует решение уравнения (10.4), отвечающее абсолютному минимуму свободной энергии (10.5) и описывающее стабильную фазу. Изменяя параметры Т, с, мы можем прийти к ситуации, когда абсолютный минимум свободной энергии будет отвечать другому решению уравнения (10.4) и, следовательно, другой равновесной фазе. В этом случае переход от одного решения уравнения (10.4) к другому будет описывать фазовый переход между двумя фазами. В частности, фазовый переход порядок — беспорядок будет происходить, если решение п (К) = с, не зависящее от коор- [c.104]

Наиболее эффективным и часто используемым методом приближенного численного решения уравнений нестационарной теплопроводности является метод конечных разностей (метод сеток) 6 , который заключается в замене производных в дифференциальном уравнении их приближенным значением, выраженным через разности значений искомой функции [в нашем случае — температуры Т (т, X, г/, г)] в отдельных дискретных точках по координатам и по времени (точки называют узлами сетки). Дифференциальное уравнение в результате такой замены приобретает вид уравнения, связывающего конечные разности искомой функции по времени и по координатам. Решение конечно-разностного уравнения сводится к выполнению несложных однотипных алгебраических операций при переходе от одного узла сетки к другому. [c.49]

При дискретизации это скажется на коэффициентах конечно-разностного уравнения, записываемого для правого граничного объема, а также на алгоритме решения. Проблема состоит в том, что граничное условие, содержащее искомую температуру в четвертой степени, не линейно. Не хотелось бы отказываться от метода прогонки в пользу чисто итеративных методов, а прогонка — метод решения линейных систем уравнений. Попробуем совместить итерации с прогонкой. [c.119]

Остальные параметры истечения определяются из разностных уравнений и уравнений состояния по принципам моделирования ГУ скорость, температура . [c.234]

Таким образом, изменение тепла в глубоководной части происходит за счет диффузии и путем переноса. Чтобы вычислить дискретные аналоги интегралов в левой части (3.5.1), сложим для всех узлов (х у у, г ) е отдельно члены разностных уравнений, описывающие диффузию, и члены, описывающие адвекцию. Первая сумма даст величину изменения количества тепла (с точностью до размерного сомножителя с рР ) в глубоководной части за счет диффузии, а вторая сумма —- за счет адвекции. Подсчеты показали, что в глубоководной части на глубинах, превышающих 15 м, обмен теплом через поверхность г - определяется в основном адвекцией — вторая сумма на порядок больше первой. Именно адвекция является механизмом выхолаживания придонного слоя. Рассчитанная температура воды в придонном слое как для новой, так и для старой модели совпадает с данными наблюдений для тех лет, когда озеро полностью покрьгго льдом (Тихомиров, 1968). Этот факт косвенно подтверждает правильность или хотя бы согласованность полей температуры и скорости течений. Отметим еще, что в эпилимнионе на глубинах до 7 м, по данным расче- [c.139]

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ [c.135]

Получим систему разностных уравнений для определения температуры в каждой ячейке, используя условие сохранения баланса тепла по ячейкам. [c.135]

Члены дифференциального уравнения, описывающего изменение температуры, или аналогичный член в уравнении для концентрации заменяются следующими разностными выражениями [c.206]

В качестве примера рассмотрим построение разностной схемы и алгоритма решения задачи расчета профиля температур и концентраций в круглой длинной трубке при протекании в ней единственной реакции с учетом только радиального переноса тепла и вещества. Процесс описывается системой уравнений [c.488]

В результате решения данного уравнения конечно-разностным методом (методом прогонки) получаем распределение средней температуры рабочей жидкости на участке с турбулентным режимом течения в каждый момент времени. [c.153]

Для решения уравнений переноса (6.7.13) и (6.7.14) используется разностная схема метода переменных направлений, которая строится по аналогии со схемой для решения уравнения вихря ( 6.3). Ввиду полной идентичности записи схемы для данного случая мы не будем приводить здесь соответствующих разностных формул. Аппроксимация граничных условий для полей температуры и концентрации производится в соответствии с формулами, приведенными выше (см. 6.5). [c.208]

В работе [122] представлены результаты расчета турбулентной смешанной конвекции конечно-разностным методом. Расчетные результаты для вынужденной конвекции не согласуются с известными экспериментальными данными, по-видимому, вследствие неопределенностей использованного в работе метода замыкания уравнений. В последующей работе [123] дополнительно учтены источники объемного тепловыделения при использовании иной модели турбулентной вязкости. Было установлено, что объемные источники тепла оказывают пренебрежимо малое влияние на профили скорости, однако профили температуры существенно изменяются. Данные экспериментальных исследований турбулентной смешанной конвекции [10,11] показали, что противодействующие выталкивающие силы вызывают появление сильных возмущений в поле температуры и в итоге интенсификацию теплообмена. Работа [171] посвящена расчету влияния выталкивающей силы и ускорения вследствие теплового расщирения жидкости в вертикальной трубе. Это ускорение играет особенно важную роль для жидкостей в окрестности их критических точек. Был сделан вывод, что выталкивающая сила и ускорение оказывают примерно одинаковое влияние на перенос тепла. [c.634]

В работе [127] получены решения этой системы уравнений при трех различных условиях. Решение соответствующих разностных алгебраических уравнений получено с помощью неявного численного метода. Для всех трех рассмотренных случаев предполагалось, что температура стенки постоянна. В качестве первого случая рассмотрена внезапно нагреваемая плоская поверхность, обтекаемая внезапно начинающимся параллельным потоком жидкости. В момент времени -г = О скорость внешнего потока становится равной а температура стенки скачкообразно повышается до постоянной величины > too. Во втором случае вновь рассматривается внезапно начинающийся внешний поток, однако поверхность остается холодной до некоторого момента времени т , а затем ее температура скачкообразно повышается до о и в дальнейшем остается постоянной. В последнем случае рассматривается внешний поток с периодически изменяющейся ненулевой скоростью, обтекающий изотермическую поверхность. Все решения получены при Рг = 0,7. На рис. 10.10.1 представлены результаты расчета теплового потока для внезапно начинающегося внешнего потока с задержкой нагрева стенки. Применяются следующие безразмерные переменные [c.658]

Необходимо также сделать несколько замечаний по поводу численного решения задач свободной конвекции в полостях. Как показывает анализ литературы, в указанных задачах широко применяются конечно-разностные методы. При этом в случае двумерных течений часто используется уравнение вихря, получаемое путем взятия операции ротора от уравнения количества движения (при этом исчезает член, связанный с давлением). Обычно это уравнение рассматривается в сочетании с функцией тока, которая удовлетворяет уравнению неразрывности, и с уравнением энергии. Такой подход нередко называется приближением в переменных вихрь — функция тока . В случае трехмерных течений определяющие уравнения, которые связывают скорость, давление и температуру (так называемые основные переменные), обычно решаются непосредственно, причем более легко, чем уравнения, записанные в переменных вихрь — функция тока . Подробное изложение этих методов имеется в ряде монографий [128, 203, 230]. В данной главе обсуждаются результаты, полученные с помощью обоих упомянутых подходов. [c.239]

Переход к последующей точке на линии расширения продуктов сгорания осуществляется на основании разностной аппроксимации дифференциального уравнения (2.12) и уравнения состояния газа, которое используется для определения давления. В качестве начальных приближений состава и температуры продуктов сгорания принимаются вычисленные выше значения указанных величин на предыдущем шаге. [c.30]

По утверждению Розенберга, Даррилла и Спенсера , уравнения этого типа, образующие трехдиагональную матрицу, легко решаются по методу Томаса . Разностные уравнения для температуры, составленные по найденным значениям величин А на (I + 1)-ом уровне, будут иметь аналогичный вид. [c.207]

Решение для одного шага по времени можно получить с помощью простого метода, называемого релаксационной процедурой Гаусса—Зайделя. В этом методе значения всех переменных по очереди нычнсляются из конечно-разностных уравнений, в которых они расположены слева, причем в правые части уравнений подставляются значения переменных в соседних точках. Так как при смещении на одну ячейку корректируется значение температуры, использовавшееся до этого при вычислении значения температуры в соседней ячейке, то очевидно, что процесс нужно повторять много раз. Не столь очевиден, по тем не менее имеет место тот факт, что при многократном повторении величйны изменений температуры в каждой ячейке делаются все меньше и наконец становятся пренебрежимо малыми. Тогда говорят, что достигнута сходимость решения. Затем можно перейти к следующему шагу по времени. [c.37]

Для учета температурной зависимости теплопроводности материала пластины необходимо установить связь теплопроводности с координатами. При расчете теплопроводность можно определять по температурам в узловых точках, пользуясь выражением вида Х=Хо(1+67 ) с экспериментальными константами Хо и Ь. Рассмотрнм среднее значение теплопроводности между узловыми точками с учетом сказанного получим следующее разностное уравнение [c.163]

Применительно к материалу пластины можно вводить упрощение, обусловленное слабой температурной зависимостью теплопроводности. Например, в области изменения температуры от О до 300 °С (это заведомо больше возможных перепадов температуры в пластине) теплопроводность стали ОХ27Ю5А меняется примерно на 0,05—0,12 % на 1 К. Поэтому расчет температурного поля пластины может быть выполнен в предположении =сопз1,. Разностное уравнение при этом принимает более простой вид для т = 2, 3. [c.165]

Система полученных разностных уравнений совместно с граничными условиями решается методом прогонки. Учитывая специфическую особенность искомых функций (продольная скорость и и температура 0 наиболее резко из- еняются в области стенки и очень слабо — в приосевой области), в поперечном направлении была применена перавномерная сетка, которая строилась следующим образом. Отрезок [О, 1 ] разбивался на I частных отрезков, а каждый отрезок 1 в свою очередь — на некоторое число более мелких частей постоянной длины так, чтобы выполнялось соотношение Ау1 = 2Ау и причем в пределах -го отрезка шаг Ау был постоянный. В результате на интервале О 1 [c.90]

Математическая постановка задачи. Рассмотрим разностные методы решения системы дифференциальных уравнений, оннсы-вающнх процессы тепломассонереноса в двумерном реакторе с неподвижным слоем катализатора. При этом будем учитывать распределение температуры и концентраций внутри зерна катализатора, перенос тепла по скелету катализатора и неравномерность распределения температуры и концентрации веществ по радиусу реактора. Естественным обобщением модели, предложенной в [1], на случай двумерного неадиабатического реактора будет следующая система дифференциальных уравнений [c.128]

Для численного решения дифференциальных уравнений теплопроводности и граничных условий дифференциаты заменяем конечными разностя ш и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом строим явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах примет вид [c.70]

Недостаток метода - в наличии ошибки в результате разделения камеры на зоны, которая, тем не менее, может быть сколь угодно уменьшена с помощью увеличения числа зон и разумной эффективной температуры излучения зоны. Сложность метода ограничивает его применение специальными исследованиями тепловой работы печей и корректировкой других, более простых методов расчета. К то.му же трудности, возникающие при согласовании зонального подхода к лучистол1у переносу тепла с конечно-разностной методикой реще-ния уравнений газовой динамики, существенно ограничивают область применения зонатьных методов расчета. [c.131]

Для расчета теплопередачи теплопроводностью в объеме заготовки и оснастки используются дифференциальные уравнения нестационарной теплопроводности для изотропного однородного тела, полученные для различных систем координат. Для численного решения указанных дифференциальных уравнений дифференциалы заменяем конечными разностями и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом используем явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией [2]. [c.280]

Уравнение теплопередачи можно преобразовать к разностной форме, используя неявную функцию [26], и решить его методом Кранка—Никольсона или методом О Брайена [27] (см. разд. 9.4). Размер ячеек используемой сетки может логарифмически уменьшаться с увеличением г, поэтому можно подробно проследить за быстро изменяющимися температурой и скоростью. [c.529]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Система (2.4.55) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, характеризующих распределенность параметров состояния (координат вектора с) по длине аппарата. Численное интегрирование полученной системы по упомянутым выше причинам затруднительно. Поэтому ее решение осуществляется с помощью интервально-итерационного метода [71, 72]. Число интервалов разбиения диапазона изменения температуры парогазовой смеси (к) определяется заданием степени приближения моделей материальных потоков к идеальному вытеснению. Длина трубчатки аппарата (I) определяется суммой длин интервалов. На каждом интервале реализуется сосредоточенная модель статики конденсатора (идеальное смешение) переходом от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к конечно-разностной схеме и усреднением значений координат вектора состояния Хс внутри интервала. Переход от одного интервала к другому сопровождается последовательным переопределением начальных условий. [c.82]

Наиболее подходящим в данном случае является, очевиЛно, численный метод решения задачи, причем узлы сетки по х можно выбрать в точках измерения температуры с шагом Ал г=0,025 м. Заменим уравнение теплопроводности его разностным аналогом. Для производных имеем следующие соотношения рис. (3.14) [c.163]

ВНИЗ по течению расчеты были продолжены с помощью интегрального метода. Хардвик и Леви [38] применили конечно-разностные методы для решения полных эллиптических уравнений в области следа над изотермической вертикальной поверхностью. Решение сравнивалось с экспериментальными данными для воздуха и получено очень хорошее согласие. На рис. 3.12.1 показаны расчетные профили скорости и температуры в следе. [c.155]

Различные члены параболических уравнений в частных производных, определяющих течение в пограничном слое, записываются в коцечно-разностной форме для каждой точки сетки ячеек, на которые разделяется область течения. Решение получается маршевым методом в направлении течения, начиная от сечения, в котором заданы граничные условия. Определяются компоненты скорости и температура в точках сетки, покрывающей область течения. [c.168]

Другие аспекты. Для течений, скорость и температура которых известны в каждой точке жидкости, местная скорость объ-емного прироста энтропии Sn может быть рассчитана с помощью соотношения (17.7.3) или (17.7.4). Такая процедура возможна, если имеются точные или конечно-разностные решения уравнений движения, как, например, в случае ламинарных течений. С другой стороны (в частности, для случая турбулентного переноса), поля скоростей и температур могут быть неизвестны. Однако для некоторых течений такого рода, играющих важную роль в приложениях, существует ряд данных по теплопередаче и вязкому трению на поверхностях раздела жидкость — твердое тело. С помощью этой информации, используя метод интегрального баланса для области, где происходит перенос, оказывается возможным рассчитать соответствующую скорость прироста энтропии. [c.494]

В работе [1 ] были рассмотрены существенные методы решения задачи о конденсации паров, В основном все они могут быть подразделены на две группы. Первую группу составляют чисто анайитические методы, вторую — аналитические с привлечением экспериментальных данных. Эти методы с успехом применялись для случая ламинарного движения пленки около пластины, находящейся в неограниченном паровом пространстве. При такой постановке задачи возможно применение плоских автомодельных решений пограничного слоя, использование подобных преобразований либо интегральных методов для получения приближенных решений. Однако все эти решения применимы при большом количестве допущений об отсутствии влияния тех или иных сил на процесс, постоянства свойств и т. п. Наиболее перспективными на основании обзора представляются численные методы, основанные на решении конечно-разностных аналогов уравнений пограничного слоя, и эмпирические и полуэмпирические методы расчета с заданным распределением давления. Именно эти методы и будут использованы при решении задач о конденсации паров внутри труб и каналов. Они дают возможность получить локальные характеристики протекания процесса либо в виде эпюр температур, концентраций и скоростей, либо в виде интегральных величин, усредненных по данному сечению. [c.198]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология