Моменты автомодельного решения

Из (5.104) с учетом (5.107) можно выписать следующие соотношения для моментов автомодельного решения [c.108]

МОМЕНТЫ АВТОМОДЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ [c.116]

Рис. 6.4. Зависимости величин моментов автомодельного решения для ядер К( /, (о)= (ЗУл/з <вч/2 от показателя его однородности 11.

Для проверки этого эффекта были численно определены первые пять моментов из системы уравнений (6.15) с начальными условиями (6.19) и при различных порядках интерполяции доопределяющих уравнений (5.98). Расчеты проводили по схеме Рунге — Кутта пятого порядка. Результаты расчетов первых двух моментов и параметров р1 и Ра при а — 0,25 и прежнем начальном условии представлены на рис. 6.2 и 6.7. Из рисунков видно, что повышение порядка интерполяционных формул приводит к нарушению устойчивости решения результирующей системы уравнений. Аналогичные данные были получены при определении моментов автомодельного решения из системы уравнений (6.25). Дробные моменты интерполировались по формуле (5.98). При а = 0,25 были получены следующие результаты [c.119]

До момента т = 1 в период нагнетания в пласт раствора активной примеси решение задачи об оторочке (10.34) совпадает с автомодельным решением задачи о вытеснении нефти раствором активной примеси. В случае слабой сорбции оно имеет вид (10.31)-(10.33). [c.312]

За фронтом оторочки выполняется неравенство i < I2 (Ю7), (108). Поэтому B e s-характеристики пересекут все с-характеристики. Картина характеристик приведена на рис, 98, На с-характеристики, выходящие из точки (О, 1), S-характеристики приносят значения I (s, F). В частности, на с-с -характеристику Хо (f) значения / (s, с ) приносят s-характеристики-лучи центрированной s-волны автомодельного решения (115). Поэтому движение Xo(t) описывается системой уравнений (122), (124), где b = = h + а (с°) (1 В момент f i = (1 + й )/Д (s ь с°) линия Хо (О дого- [c.200]

При Г < 1 решение задачи (144) совпадает с автомодельным решением (115), соответствующим непрерывной закачке раствора ПАВ. В момент Г = 1 происходит распад разрыва граничных условий Сх (О, г), (О, I). Для рассматриваемого в данной главе основного случая (д,- = Г,-с,-, = [c.202]

Опыт использования метода моментов показывает, что он удовлетворительно описывает кинетику коалесценции только на начальной стадии. При ограничениях, накладываемых на вид ядра кинетического уравнения и на начальное распределение [6], существует автомодельное решение кинетического уравнения при больших временах. В общем же случае решение можно получить с использованием численных методов. [c.252]

Отметим, что ядро коагуляции (13.27) не удовлетворяет необходимым условиям существования автомодельного решения. Поэтому рассмотрим некоторые результаты численного решения и получим приближенное решение уравнения (13.33) методом моментов. [c.333]

Автомодельное решение описывает распределение дислокаций вдоль основной части двойника на том этапе его движения, когда основную роль играет вязкая сила торможения. Параметрами этого решения являются величины V(i) ИТ (последняя по формуле (3.73) определяет зависимость длины двойника от времени). В изложенной постановке задачи эти параметры должны определяться из следующих начальных условий во-первых, из заданной длины двойника L (0) в момент времени f = О и, во-вторых, из заданного числа дислокаций в двойнике в начальный момент времени [c.87]

Количество газа, вовлеченного в каждый момент в движение, приходящееся на единицу площади границы, конечно. Поэтому в задаче имеют место законы сохранения импульса и энергии, справедливые и на неавтомодельной стадии движения. Естественно, приходит мысль воспользоваться этими законами для определения показателя степени а и постоянной А автомодельного предельного решения, подобно тому, как это было сделано в главе 2 для рассмотренных там автомодельных решений первого рода. [c.82]

В разнообразных проблемах математической физики важную роль играют инвариантные решения типа бегущих волн. Так называются решения, для которых распределения характеристик движения в разные моменты времени получаются одно из другого сдвигом, а не преобразованием подобия, как в случае автомодельных решений. Иными словами, всегда можно выбрать подвижную декартову систему координат так, что распределение характеристик движения типа бегущей волны в этой системе будет стационарно. К рассмотрению бегущих волн сводится исследование структуры фронта ударных волн в газодинамике [59, 46] и магнитной гидродинамике [60—62], структуры верхнего термоклина в океане [14, 209], структуры фронта пламени [41, 45], уединенных и периодических волн в плазме и на поверхности тяжелой жидкости [51, 145], а также многие другие задачи. В последнее время были исследованы различные процессы, включающие в себя эффекты распространения плазменных фронтов в электрических, электромагнитных, световых (лазерных) полях, так называемые волны распространения разрядов [30, 29, 87, 89]. Эти процессы также приводят к рассмотрению решений типа бегущих волн [89]. [c.100]

Рассмотренное решение показательно во многих отношениях. Оно содержит параметр а — угол раствора клина. Как видно из предыдущего анализа, при углах раствора меньше некоторого критического можно использовать традиционную аргументацию анализа размерностей, ограничиваясь заданием момента сил, действующих на клин. При этом получается автомодельное решение первого рода, которое вполне определяется непосредственным построением с помощью анализа размерностей. При углах раствора клина больше критического традиционные соображения анализа размерностей неприменимы, потому что выбрасывать го из списка определяющих параметров и оставлять там М при а>а нельзя. Тем не менее, стягивая к вершине область приложения сил на боковых сторонах клина, мы также получаем автомодельное предельное решение. Попытка построить это решение непосредственна как автомодельное решение второго рода определяет предельное решение, как и всякое автомодельное решение второго рода, только с точностью до константы. Значение этой константы может быть получено путем сращивания автомодельного решения с решением неавтомодельной задачи. Оно выражается, как показывает проведенное сращивание, через некоторый дробный момент от распределения напряжений на боковых сторонах клина, но какой именно момент (т. е. с какой степенью г) можно определить только после решения задачи. Заранее из соображений размерности эту степень определить нельзя. Наконец, при угле раствора клина, равном критическому, соображения размерности оказываются бессильными они не приводят ни к какому упрощению решения, а аргументация малостью участка приложенных сил, приводящая к вырождению задачи, является незаконной. Иными словами, автомодельность по параметру г не наступает, как бы велико ц ни было. Тем не менее, как показывает соотношение (9.22), асимптотика решения в этом случае автомодельна, поскольку выражение для Ф = Ч /М при больших Г] = г/Го записывается в виде [c.155]

Основные характеристики исследуемых автомодельных решений. Переходя от функции / ( , Я) к напору жидкости Л, получаем, что напор жидкости отличается от нуля в каждый момент времени лишь в некоторой конечной части рассматриваемой области пористой среды, причем размер этой области со временем увеличивается. Конечность скорости распространения передней границы возмущенной области является характерной для рассматриваемого круга задач, отвечающих нулевому начальному условию она существенно отличает постановку задачи о пологих безнапорных движениях от задач, связанных с классическими линейными уравнениями параболического типа, для которых, как известно, имеет место бесконечная скорость распространения переднего фронта возмущенной области. [c.70]

Эти уравнения будут критериальными соотношениями для оценки времени выхода коалесцирующей системы на автомодельный режим, если в них подставить моменты для начального решения кинетического уравнения. Таким образом, задачу оценки времени выхода на автомодельный режим мы свели к задаче оценки времени выхода на автомодельный режим моментов решения кинетического уравнения. Это время очевидно должно зависеть от номера момента и поэтому является чувствительной характеристикой при описании поведения коалесцирующей системы. [c.108]

Итак, для получения нетривиального решения задачи о закрученной струе необходимо задать по крайней мере две характерные константы струи ее импульс и момент количества движения. Задача не будет автомодельной, так как наличие двух констант и Уд с отношением, имеющим размерность длины, уже служит препятствием этому. [c.202]

Был отчеканен термин автомодельность , который сейчас стал широко распространенным решение Г(х, t ) в некоторый момент ti подобно решению Г(х, U) в некоторый более ранний момент. В случае равномерного распространения, рассмотренном выше, подобие заменяется параллельным переносом. Подобие связано с изменением масштабов [c.6]

Решение задачи о сильном взрыве, как и ранее рассмотренные решения задач о сильной тепловой волне и о мгновенном тепловом источнике, обладает весьма важным свойством автомодельности. Заключается это свойство в том, что пространственные распределения всех характеристик в обеих задачах (температуры в первой задаче, давления, плотности и скорости во второй задаче) в различные моменты времени подобны, т. е. получаются одно из другого преобразованием подобия. Таким образом, если выбрать зависящие от времени масштаб пространственной переменной го(0 й масштаб любой характеристики явления и, то ее распре- [c.49]

Автомодельное предельное решение (3.14) уже не представляет собой решение задачи о мгновенном точечном источнике. Действительно, количество жидкости Q, которое нужно отобрать в начальный момент из области с характерным размером /, следует менять с уменьшением этого размера, желая получить одно и то же предельное представление решения при больших временах Q возрастает при е> 1 и убывает при е<1, причем так, что произведение Ql постоянно. [c.65]

Пр, Щ, П , но и независимую автомодельную переменную нельзя определить из соображений размерности, так как постоянная Р заранее неизвестна и находится из решения нелинейной задачи на собственные значения. Кроме того, во все автомодельные переменные явно входит радиус сферы о, в которой произошло выделение энергии в начальный момент. Из соотношений (5.26) получаются законы подобия для давления и скорости на фронте ударной волны и радиуса ударной волны [c.99]

Доумножая правую и левую часть (6.26) на У и интегрируя по V, получим следующую систему уравнений для определения моментов автомодельного решения. [c.116]

При нахождении автомодельных решений обычно не рассматривается вопрос о времени выхода коалесцирующей системы на автомодельный режим. Это время будет зависеть не только от ядра коалесценции, но и от начального распределения в коалесцирующей системе. Для его определения необходимо ввести критерий сравнения автомодельного и начального решений, по величине которого можно было бы судить о их близости. Поскольку, как было показано выше, при определении полных решений кинетического уравнения как для начальной, так и для дальней асимптотики встречаются существенные математические трудности, кажется разумным построить критерий сравнения на основе моментов этих решений. [c.108]

Факел, возникающий при запуске источника выталкивающей силы, состоит из двух частей. Как видно на рис. 12.2.7, распространяющийся передний фронт факела представляет собой тер-мику в виде купола а основание факела подобно начальной области стационарного факела. В работе [61] указывается, что, хотя решения для этих двух областей нельзя согласовать в общем случае, можно получить автомодельное решение, если предположить, что скорость распространения фронта пускового факела меньше скорости стационарного факела. Оказалось, что купол пускового факела расширяется в пределах меньшего угла, чем обычные факелы или термики. Профили скорости и концентрации остаются подобными для различных моментов времени, если средняя скорость купола фронта пускового факела составляет 61 % от скорости в центре стационарного факела на той же самой высоте. [c.131]

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе используется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в nepByiQ очередь на такого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова -Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замьжания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [c.104]

В приближении Стокса и дальнего следа проведено исследование сил аэродинамического воздействия на капли из упорядоченной группы [26]. В стоксовом приближении получены формулы для сил аэродинамического сопротивления одиночной капли, парного ансамбля, взаимодействия с одной и двумя стенками (индуктора, отклоняющего конденсатора). При использовании автомодельного решения уравнений погранслоя для осесимметричного тела. Обтекаемого равномерным потоком, найдено распределение поля скоростей в осесимметричном ламинарном дальнем следе. В общем случае сила аэродинамического сопротивления для г-й капли из упорядоченной группы в произвольный момент времени I через мгновенные скорости капли относительно среды (воздуха) К ( , I) находится из соотношения [c.98]

Явление, развивающееся во времени, называется автомодель-ным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. Установление автомодельности всегда было успехом исследователя автомодельность упрощала вычисление и представление характеристик явления. При обработке опытных данных автомодельность приводила к тому, что, казалось бы, беспорядочное в обычных координатах облако опытных точек ложилось на единую кривую или поверхность, построенную в некоторых специальным образом выбранных автомодельных координатах. Автомодельность позволяла во многих случаях свести задачу математической физики к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что существенно упрощало исследование. Поэтому при помощи автомодельных решений исследователи пытались увидеть характерные свойства новых явлений. Кроме того, автомодельные решения использовались как эталоны при оценке приближенных методов решения более сложных задач. [c.11]

Обратимся к модифицированной задаче о сильных взрывных волнах. Искомое автомодельное решение представляет собой автомодельную асимптотику при больших временах решения уравнений адиабатического движения газа с показателем адиабаты V при условиях на фронте сильной ударной волны, в которых фигурирует эффективный показатель адиабаты и начальных условиях, соответствующих выделению в начальный момент энергии Е в сфере радиусом / о. [c.98]

Спектр собственных значений п, определяющих скорость затухания моментов связи второго порядка, при непосредственном построении автомодельного решения (10.10) оказался непрерывным решение уравнения (10.11) при условиях (10.12) существует при любом я>0. Реализуемое на самом деле значение п должно определяться начальными условиями невырожденной задачи, для которой решение (10.10) представляет собой автомодельную промежуточную асимптотику. [c.169]

Полученные формулы имеют двоякий смысл. С одной стороны, они описывают распределение давления в п.часте конечной длины L при малых временах xi С L - С другой стороны, они дают распределение давления в произвольный момент времени в пласте бесконечной протяженности L оо. Дело в том, что конечное (не бесконечно-малое) изменение дав.чения распространяется за заданное время лишь на конечное расстояние, и, если рассматриваются малые времена, можно считать пласт бесконечным. Решение задачи для бесконечного пласта автомодельно независимые переменные х и t входят в решение не порознь, а лишь в комбинации xjY t. Авто-моде.чьность решения является простым с.чедствием отсутствия в постановке задачи постоянных, из которых можно образовать величины размерности длины или времени. Автомодельные решения будут подробно рассмотрены ниже (гл. IV). [c.29]

Для того чтобы разобраться в возникшем противоречии, снова, как и в аналогичной ситуации, описанной в предыдущей главе, отступим от строгой формулировки вырожденной автомодельной задачи. Вспомним, что решение, отвечающее точечному взрыву, имеет смысл, если оно представляет собой асимптотику для решения, отвечающего выделению энергии в малой, но конечной области. Обратимся поэтому к рассмотрению задачи, в которой энергия в момент / = 0 выделяется не в точке, а в сфере радиусом / о. В остальном же задачи совпадают. По этим соображениям в поставленном численном эксперименте решалась следующая задача. Имеется безграничное пространство, заполненное газом. В начальный момент вне сферы радиуса плотность газа постоянна и равна Ро, давление равно нулю. Внутри же сферы распределение характеристик движения газа (давления р, скорости [c.69]

Задача в полном виде состоит в решении получившейся бесконечной цепочки уравнений при заданных начальных условиях на моменты. Это так называемая проблема вырождения изотропной однородной турбулентности. На самом деле о начальных условиях мы имеем в лучшем случае лишь очень общие представления и задать начальное распределение моментов не можем, В связи с этим особый интерес представляют асимптотики решения при больших временах, запоминающие лишь какие-то основные свойства начальных условий. Эти асимптотики в широких предположениях можно считать автомодельными. [c.168]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология