Дифференциальные уравнения в частных производных

Зависимости с. п Т от и Г могут быть очень сложны. Если с и Т изменяются в масштабах, меньших размера частицы, то необходимо проводить усреднение. Пусть Р — некоторая точка внутри частицы и йКр — окружаюш,ий эту точку элемент объема, содержащий активную поверхность площадью 8 = Значения с и Г в данной точке будут функциями ее положения с . Р), Т [Р). Эти функции определяются как решение некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных, граничными условиями для которых являются величины с ., Т. Тогда функция г из формулы (VI. 1) определяется соотношением [c.122]

Эти модели представляют в вида дифференциальных уравнений в частных производных. [c.9]

При таких допущениях модель описывается следующим дифференциальным уравнением в частных производных [c.30]

Дифференциальное уравнение в частных производных уравнение, содержащее одну зависимую, две или более независимых переменных и частные производные по независимым переменным. [c.411]

Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. [c.411]

Итак, для определения тре неизвестных функций а, Уц и 7с мы имеем три линейных уравнения (2.132), (2,138) и (2,140), из которых два являются дифференциальными уравнениями в частных производных, а одно - алгебраическим уравнением. [c.120]

В применении к непрерывным химическим процессам, протекающим в потоке, этот закон выражают в виде дифференциального уравнения, в котором в качестве переменных фигурируют концентрация, время и расстояние от входа в аппарат. При стационарном режиме в любой точке аппарата концентрация не зависит от времени поэтому можно рассматривать только две переменные, т. е. концентрацию и время или пространственную координату. Для описания нестационарных процессов приходится использовать дифференциальные уравнения в частных производных. [c.117]

Математическое описание потока реагируюш,ей жидкости, протекающей через слой твердых частиц, дается системой дифференциальных уравнений в частных производных, которые могут быть выведены из законов сохранения количества движения, теплоты и массы. [c.241]

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

Обычный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных—разделение переменных после подстановки. Допустим, что решение имеет вид [c.248]

Поскольку линейная комбинация решении линейного дифференциального уравнения в частных производных есть также решение, то [c.249]

Пример VIU-2. Применим к предыдущему примеру численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, описанный в главе XII (стр. 399). [c.250]

Дифференциальные уравнения в частных производных получаются в тех случаях, когда рассматривается одновременное изменение более чем двух переменных. Для этих уравнений справедливы те же соображения, какие были высказаны по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полного математического описания физической проблемы, помимо самого дифференциального уравнения, необходимы еще дополнительные указания начальные условия, из которых определяются константы, возникающие при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, а также начальные и граничные условия, из которых находятся параметры, полученные при точном решении дифференциальных уравнений в частных производных. (Разумеется, начальные и граничные условия в равной мере необходимы и при численных методах.—Прим. ред.) [c.385]

Весьма затруднительно дать краткое изложение методов решений дифференциальных уравнений в частных производных . Более подробные сведения можно найти в литературе . Пример точного решения дифференциального уравнения в частных производных приведен выше (см. стр. 246). Нахождение точных решений таких уравнений часто довольно трудно. В таких случаях необходимо прибегать к численным методам. Существует большое число методов для решения дифференциальных [c.385]

Обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой соотношение между несколькими переменными и их производными по одной из этих переменных. Дифференциальные уравнения в частных производных содержат производные по нескольким переменным. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной. Степенью называется наивысшая степень, в которую возводится производная после рационализации уравнения и освобождения от дробей. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка содержит п. произвольных постоянных. Частное решение получается при фиксированных значениях этих произвольных постоянных. [c.386]

Дифференциальные уравнения в частных производных. Один из методов, пригодный для решения многих дифференциальных уравнений в частных производных, встречающ,ихся в химической кинетике, основывается на [c.399]

Величина шагов кик влияет на точность и трудоемкость решения. Для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных погрешности, получающиеся вследствие замены [c.400]

Если видно, что рещение неточно, поскольку полученные значения колеблются или физически невозможны, то, вероятно, первое, что надо сделать—повторить вычисления с меньшими шагами. Можно применить некоторые критерии, содержащиеся в указанной выше литературе. Имеются более устойчивые методы решения, чем описанные здесь, но они слишком трудоемки для единичного применения. Они могут быть найдены в литературе, приведенной в этой главе. Примеры численных решений дифференциальных уравнений в частных производных даны выше (см. стр. 250). [c.400]

Другой задачей, возникающей при проведении расчетов на аналоговых машинах, является моделирование систем с распределенными параметрами. Эти системы представляются дифференциальными уравнениями в частных производных или большим числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Их решение требует применения крупных аналоговых машин. Однако если предварительные результаты можно запомнить в ходе решения, то задача такого типа может быть решена на значительно меньших по размерам машинах при использовании легко программируемой методики последовательного приближения. Эти устройства разрабатываются фирмами, выпускающими вычислительные машины. [c.19]

Но н такая приближенная система дифференциальных уравнений в частных производных (6.21) и (6.23) решается с трудом даже на электронно-вычислительной машине. Одной из основных трудностей является трудность оценки члена, выражающего скорость реакции гДЯ. Как отмечалось ранее, г является функцией температуры, доли пустот в слое и состава газа. Поскольку состав газа меняется вдоль слоя, необходимо еще одно дифференциальное уравнение материального баланса по газо- [c.180]

Задача нахождения радиального распределения несколько отличается от расчета осевого профиля температур каждое уравнение является дифференциальным уравнением в частных производных, и поэтому должны рассчитываться оба температурных профиля — радиальный и осевой. В этом случае нужно вычертить сетку, для точек которой определяются температура и концентрация. [c.189]

Таким образом, комбинируя в изохорных процессах эиергию Гельмгольца Р = Е(Г, Т) с уравнением (1.36), а в изобарных—эиергию Гиббса 0=0(Р,Т) с уравнением (1.40), можно найти связь между Р, Т иГ, т. е. получить уравнение состояния. Подчеркнем, что подобное простое дифференцирование приведет к уравнению состояния только в том случае, если соответствующие потенциалы будут заданы в своих переменных. Если же они заданы как функции чужих аргументов,то необходим анализ дифференциального уравнения в частных производных, однако для такого анализа необходимо знать граничные условия. В общем случае это позволяет получить новые термодинамические соотношения, однако задача не так проста, как кажется на первый взгляд. [c.29]

Для нахождения ненулевого решения необходимо, чтобы детерминант коэффициентов в этих уравнениях был равен нулю. При этом конечное алгебраическое уравнение для s как функции к имеет корни, определяющие все возможные виды распространения плоской волны для данного волнового вектора. Полное решение этих уравнений, содержащих определители, является сложным, однако, имеется простой способ исключения переменных из уравнений (111,24)—(111,27 , эквивалентный выделению единственного искомого фактора. Взяв дивергенцию уравнения (111,27) и подставив значения div (wj) и div (yj) из уравнений (1П,24) и (111,25), получим одно дифференциальное уравнение в частных производных для возмущений порозности [c.87]

Преобразование Лапласа позволяет перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Кроме того, производные т] (р) по р при р О обладают следующими интересными свойствами [c.114]

Составлена система дифференциальных уравнений в частных производных применительно к балансу растворимого вещества в процессе его переноса молекулярной диффузией из застойной поры в проточную и перемещения с промывной жидкостью по проточной поре. С использованием граничных условий, когда застойные поры целиком заполнены фильтратом, получено решение этой системы уравнений, которое здесь приведено в несколько измененном виде [c.253]

Применительно к пористому слою с застойными порами и неоднородной проницаемостью дано [283] математическое описание промывки осадка в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных получено решение этой системы уравнений. В частности, отмечено, что наличие относительно тонкодисперсных частиц способствует образованию застойных пор. [c.258]

Дана замкнутая система дифференциальных уравнений в частных производных с использованием величины / для гидродинамической, промежуточной и диффузионной стадий промывки, причем уравнения для последней стадии могут быть сведены к ранее [c.258]

Известно, что решение такого дифференциального уравнения в частных производных можно искать в виде произведения двух функций одной, зависящей от /, и другой —только от х [c.588]

Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением в частных производных. Для стационарного состояния одной частицы оно имеет вид . [c.19]

Дифференциальные уравнения в частных производных [c.257]

Другой характеристикой процесса является способ распределения параметров (например, ввода сырья, управления температурным режимом трубчатого реактора) — сосредоточенный или распределенный. Этим определяется использование дифференциальных уравнений в частных производных или обыкновенных. [c.257]

Четыре рассматриваемых типа реакторов связаны между собой как в физическом, так и в математическом отношении. Реактор с принудительным перемешиванием, или реактор идеального смешения, отличается от трубчатого реактора как по конструкции, так и по описывающим его уравнениям однако трубчатый реактор с достаточно интенсивным продольным перемешиванием потока приближается к режиму идеального смешения. Периодический реактор представляет собой реактор идеального смешения, в котором существует проток реагентов, но описывается он теми же уравнениями, что и простейшая модель трубчатого реактора. Термин адиабатический относится скорее к режиму реактора, чем к его конструкции, так как и реактор идеального смешения, и трубчатый, и периодический реактор могут быть адиабатическими. При исследовании различных типов реакторов нельзя в равной мере дать характеристику каждого реактора — частично из-за того, что различные вопросы изучены неодинаково полно, а частично из-за того, что некоторые проблемы трудно изложить на том доступном уровне, которого мы собираемся придерживаться в этой книге. Например, нестационарные уравнения для реактора идеального смешения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, и мы можем провести их анализ достаточно полно. Стационарный режим трубчатого реактора уже описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а для описания его поведения в нестационарном режиме требуются дифференциальные уравнения в частных производных, анализ которых представляет весьма трудную задачу. Там, где это возможно, мы стараемся представить результаты более глубокого лнализа сложных задач в виде качественных описани11 и графиков, [c.10]

Мы выбрали наиболее элементарный метод вывода основных уравнений материального и теплового балансов реактора. Другой способ, который мы могли бы использовать, состоит в том, чтобы начать с дифференциальных уравнений в частных производных, описываюпщх процесс в элементе объема реактора, проинтегрировать их по всему объему и усреднить по турбулентным флуктуациям в результате мы получим те же обыкновенные дифференциальные уравнения. [c.158]

Г. И. Баренблаттом показано, что в такой постановке задача автомодельна, т.е. давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные-г и I, а дифференциальное уравнение в частных производных (6.26) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (п= 5) г, Г, р , к/ 2цто), О.тРлт Цт кИ). [c.189]

Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно давлений р ир2та ней необходимо добавить начальные и граничные условия (см. гл. 2, 7). [c.357]

Математические модели представляют собой совокупность математических объектов и отношений (уравнений), описываюших изучаемый физический процесс на основе некоторых абстракций и допущений, опирающихся на эксперимент и необходимых с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. При моделировании процессов разработки нефтегазовых месторождений эти соотношения в общем виде представляют собой сложные (обычно нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями (см. гл. 2, 8, 10). [c.379]

Подставляя затем выражения (VI,232) в уравнение (VI,229), чожно получить одно дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции/, которое решается, если для функции / заданы соответствующие граничные условия. В качестве одного такого условия может быть использовано тождественное равенство 1улю значения функции / в конечной точке траектории, т. е. при t = = и л = [c.312]

Дифференциальное уравнение в частных производных (2.125) является простейшим квазилинейным уравнением гиперболотеского типа. Легко заметить, что оно представляет собой полную производную по времени вдоль J eкoтopoй кривой, дифференциальное уравнение которой имеет вид Л/Л = /7 (Г, з). Интеграл этого уравнения можно представить в виде соотношения [c.115]

Формальные математические решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы переноса в гранулированных массах, находятся с большйм трудом и имеют сложный вид, если даже сделаны упрощающие предположения. Можно сделать краткий обзор некоторых опубликованных решений. Все они относятся к установившемуся состоянию в цилиндрических реакторах. [c.245]

Ин г a уравнение в конечных разностях можно упростить удачным выбором кик. Так, дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее теплопередачу [c.399]

Сопремемпая теория цепных реакций позволяет получить уравнения таких цепных процессов, для которых изменениями концентраций исходных продуктов можио пренебречь. Эти уравнения характеризуют условия начала реакции. Именно на начальных стадиях реакции проявляются рассмотренные выше явления пределов самовоспламенения. В общем случае, учитывая роль выгорания или расходования в результате реакции исходных продуктов, можно получить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решить которые довольно сложно, поэтому такие общие решения рассматривать не будем. Если же одна реакция протекает медленно, а другие — быстро, то система заменяется одним уравнением, которое легко решается. [c.221]

Бриан и др. составили и численно решили дифференциальные уравнения в частных производных для абсорбции в неустановившихся условиях, сопровождающейся реакцией, которая подчиняется кинетически уравнению (Х,50). В результате они получили выражения для определения количества хлора, абсорбированного чистой водой, в зависимости от времени экспозиции (при расчетах отношение коэффициентов диффузии НС1, Н0С1 и lg взято равным 2,1 1,05 1 соответственно). Зная значения коэффициентов диффузии, растворимости хлора и константы равновесия К при данной температуре, можно найти значение k , которое обеспечивает наиболее точное согласие между вычисленными и экспериментальными результатами. [c.251]

Характеристикой уравнений (III, 177) и (III, 178) является прямая л = onst. Дифференциальные уравнения в частных производных можно записать в виде обыкновенных дифференциальных уравнений относительно характеристик, изображенных на рис. I 1-24 [c.267]

В практических целях приходится искать упрощенный метод, позволяющий описать систему уравнениями, аналогичными уравнениям механики сплошных сред для однофазной жидкости, т. е. ограниченнылг числом дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями. Изучению этого вопроса посвящено значительное число работ, в большинстве которых рассматривается зависимость между реологическими характеристиками суспензии и свойствами твердых [c.74]

Рассмотрена противоточная многоступенчатая промывка осадка ца установке, включающей ряд барабанных вакуум-фильтров с поверхностью 5 м , каждый из которых снабжен бесступенчатым вариатором скорости вращения в пределах 0,2—2 об-мин [254]. Математическое описание процесса, в частности, содержит а) экспоненциальную зависимость, характеризующую уменьшение скорости фильтрования в результате постепенного закупоривания пор ткани твердыми частицами б) довольно сложную зависимость 1=1 (ц, п), где степень извлечения растворимого вещества на -той ступени промывки =Сг+1/с безразмерное отношение г]=КаЬос1 безразмерное время промывки п=У .ж1Уо скорость движения промывной жидкости в порах осадка W=W a +1 и с,- — концентрации растворимого вещества в жидкой фазе осадка после -Ы-ой и -ой ступени К — коэффициент массопереноса, м-с а — удельная поверхность частиц осадка, м -м а — доля сечения осадка, занятая движущейся л(идкостью. Зависимость для I получена на основе дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа [278]. [c.228]

Введение в моделирование химико технологических процессов (1973) -- [ c.126 ]

Обнаружение и диагностика неполадок в химических и нефтехимических процессах (1983) -- [ c.97 , c.146 , c.183 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.234 , c.369 , c.382 , c.383 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.234 , c.369 , c.382 , c.383 ]

Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов (1964) -- [ c.244 , c.385 , c.399 , c.400 ]

Химическая кинетика м расчеты промышленных реакторов Издание 2 (1967) -- [ c.234 , c.369 , c.382 , c.383 ]

Методы кибернетики в химии и химической технологии Издание 3 1976 (1976) -- [ c.116 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология