СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ [c.334]

Спектральная плотность случайной функции 335 [c.335]

Аналогичным образом можно ввести пространственно-временную спектральную плотность случайной функции, которая является нестационарной и неоднородной. Определением спектральной плотности служит формула [c.469]

Следовательно, спектральную плотность случайного процесса (6 2 10) можно считать равной двум б-функциям, имеющим площадь 0 2 и сосредоточенным на частотах f= fo [c.271]

Широкий круг инженерных приложений теории случайных процессов связан с выявлением линейных зависимостей между двумя или более совокупностями данных. Такие линейные зависимости определяются обычно либо через корреляционные функции, либо через их преобразования Фурье, называемые спектральными плотностями. Корреляционные функции и спектральные плотности в принципе содержат одинаковую информацию, но исторически эти два понятия появились и развивались независимо. Корреляционные функции использовались в основном математиками и статистиками, тогда как спектральные плотности применялись главным образом в инженерных исследованиях. В некоторых случаях удобнее пользоваться корреляционными функциями, но в последнее время в инженерных приложениях более широкое применение находят спектральные плотности. [c.54]

О характере автокорреляционных функций и функций спектральной плотности случайного процесса изменения аксиальной скорости газа можно судить по рис. 3.19, на котором пред- [c.157]

На рис. 3.34 в качестве примера представлены автокорреляционные функции и функции спектральной плотности случайного процесса 2(т) изменения вертикальной координаты частицы в псевдоожиженном слое. Автокорреляционные функции такого типа хорощо аппроксимируются выражением [c.191]

Из (23) можно получить условную вероятность р( , т о, 0) обнаружить частицу в момент т в точке с координатой , если в момент т = О она находилась на о. Это решение, полученное в [24] в преобразованном по Лапласу виде, содержит полную информацию о случайном движении частицы. По нему можно построить функцию автокорреляции, спектральную плотность распределения мощности колебаний по частотам, вероятность найти частицу в заданной области слоя в течение определенного времени, распределение вероятностей времени первого достижения границы и др. Например, автокорреляционная функция Д(т) выражается через условную вероятность так ь ь [c.55]

Рис. 8. Спектральная плотность (а) и функция автокорреляции (б) при случайном движении частиц в кипящем слое, а 1—Ь=1 (циркуляционная модель —ЦМ) 2 —1,=2 (ЦМ) 3 — Ь>5 (ЦМ диффузионная модель —ДМ), б Ф = 0,8 1 — (ЦМ) 2 — Ь=2 (ЦМ) 3 —

Она является четной функцией Для любой частоты Зхх (л) >0. Физически величина спектральной плотности для частоты со показывает, какая доля мощности случайного процесса приходится на эту частоту. Общая же мощность случайного процесса может быть подсчитана как интеграл его спектральной плотности. Из обратного преобразования Фурье следует, что [c.158]

Оценки, полученные согласно выражениям (VII. 3) и (VII. 4), являются несмещенными, однако их отклонение от истинных характеристик может быть весьма значительным. Это особенно относится к ординатам корреляционной функции, соответствующим большим значениям т, и к ординатам спектральной плотности, соответствующим малым значениям частоты. Оценки могут, например, иметь вид, показанный на рис. VII. 1. Для обоснованного выбора длины реализации Т необходимо знать статистические характеристики процесса, т. е. как раз те характеристики, которые по этой реализации вычисляются. Выход из этого положения состоит в том, чтобы выбрать Т по какой-нибудь грубой оценке характера случайного процесса, которую можно определить до вычисления спектральной плотности и корреляционной функции. [c.159]

Для решения уравнения (VII. 1) и расчетов систем регулирования приходится переходить к спектральным характеристикам случайных процессов. Эти характеристики могут быть получены двояко по предварительно вычисленным корреляционным функциям и непосредственно по реализациям. Обычно предпочитают первый путь, так как количество вычислительных операций приблизительно одинаково, между тем оценка спектральной плотности, вычисленная непосредственно по реализации, це всегда сходится к истинной спектральной- плотности [8]. [c.169]

При использовании метода моментов [11] имеет место именно этот случай. Действительно, моменты корреляционной функции случайного процесса с точностью до постоянного множителя равны коэффициентам разложения спектральной плотности в ряд Тейлора [c.176]

Передача стационарных случайных процессов линейными системами может быть исследована с помощью спектральной плотности Sx (u)), определяемой в результате преобразования Фурье корреляционной функции, [c.66]

Релаксация, обусловленная внутримолекулярными дипольными взаимодействиями. Дипольный гамильтониан, определяемый выражением (2.2.17), может стать флуктуирующим из-за случайных молекулярных вращений, модулирующих функции Рк ((). В случае изотропных движений со временем корреляции 7с можно найти соответствующие спектральные плотности мощности [выражение [c.82]

Так как помехи и шумы являются случайными функциями времени, распределение их частот характеризуется спектральной плотностью G( o), представляющей собой мощность случайного процесса в единичной полосе частот, выделяемую в единичной нагрузке. Для электрического сигнала (шума, помехи) единичной нагрузкой является резистор с номиналом 1 Ом, для упругой волны - механический импеданс величиной в 1 Н/(м/с) = 1 кг/с. Энергия ре- [c.177]

В общем случае, когда функции, описывающие профили поверхностей, содержат как периодическую, так и случайную составляющую, в спектре АЭ дополнительно присутствуют частотные компоненты, обусловленные периодичностью профилей. Подобный характер спектральной плотности наблюдается в процессе сухого трения неприработанных поверхностей. Теоретически предсказаны и экспериментально подтверждены наиболее характерные особенности частотного спектра АЭ при трении [c.185]

Допустим, что функции /( ) или / (х) являются стационарными случайными функциями, т. е. обладают тем свойством, что вид распределения всех 5 , а,..., 5 не зависит от выбора начала счета этих Это допущение для данной задачи можно считать правдоподобным. Для стационарных случайных функций вводится новая статистическая характеристика, называемая спектральной плотностью, определяющая снектр системы, причем здесь возможны два подхода можно найти спектральное разложение самой функции или, как часто делают, найти спектр корреляционной функции, определенной, как было выше найдено. В последнем случае спектральная плотность в бесконечных пределах может быть представлена в общем виде как [c.278]

Продолжительность измерения разности потенциалов между сооружением и землей обычно устанавливается по времени затухания нормированной автокорреляционной функции случайного процесса изменения измеряемой разности потенциалов. Обычно для описания основных свойств случайного процесса используют четыре статистические функции среднее значение квадрата случайного процесса, плотность распределения, спектральную плотность и автокорреляционную функцию. Однако только последняя дает полную информацию о процессе во времени и характеризует степень связи между сечениями случайной функции при различных значениях аргумента. Исходным материалом для расчета продолжительности времени измерения обычно служат непрерывные диаграммные записи /т. з, которые при расчете заменяются совокупностью дискретных значений. Продолжительность записи- конкретной реализации U ,з определяется длительностью периода максимального движения электрифицированного транспорта. Методика вычисления нормированных автокорреляционных функций для определения времени измерения разности потенциалов между сооружением и землей детально разработана в работах [13, 14, 17]. Она предусматривает проведение многократных операций сдвига матрицы исходных данных, определение оценок для математических ожиданий, расчет оценок для дисперсий и средних квадратичных отклонений, определение оценок корреляционных моментов, вычисление оценок для элементов нормированной корреляционной матрицы и усреднение вдоль параллелей главной диагонали. Для каждой конкретной реализации на основании данных, полученных при расчете на ЭВМ, строятся автокоррелограммы. Анализ построенных автокоррелограмм позволяет получить рекомендации по продолжительности измерений на данном сооружении при определенном сочетании влияния различных источников блуждающих токов. [c.106]

Ковариационные функции можно интерпретировать также и с помощью доминирующих частот процесса, но информацию такого рода удобнее получать из спектральных плотностей. Не следует также забывать о важных для общей интерпретации ковариационных функций соотношениях (3.21) и (3.22), связывающих ковариационные функции со средним квадратом по всей полосе частот, средним значением и дисперсией случайного процесса. Наконец, важно знать, что ковариационная функция не содержит никакой информации о фазе. Например, ковариационная функция гармонического процесса (3.61) есть косинусоида, фаза которой равна нулю независимо от начальной фазы гармонического процесса. [c.72]

Способы оценивания ковариационных функций и спектральных плотностей при помощи аналоговых устройств и цифровых ЭВМ детально описаны в [3.1]. Здесь же оценивание рассматривается с точки зрения возможных ошибок. Все оценки приводятся в виде выражений, содержащих интегралы, которые легко заменить суммами и тем самым преобразовать к виду, удобному для вычисления на ЦВМ. Нужно только обратить внимание на следующие замечания, связанные с особенностями выборок из случайных процессов, о которых говорилось в разд. 1.2.3. Во-первых, непрерывная реализация длины Т превращается в последовательность N равноотстоящих выборочных значений без существенной потери информации, если [c.78]

Спектральные плотности можно оценивать, применяя финитное преобразование Фурье либо к ковариационным функциям на основе формул (3.29) и (3.30), либо непосредственно к реализациям случайного процесса с использованием формул (3.46) и (3.47). С момента появления в 1965 г. алгоритмов быстрого преобразования Фурье ([3.2] последний подход стал преобладающим. При таком подходе на практике операцию нахождения математического ожидания в уравнениях (3.46) и (3.47) нужно выполнять путем оценивания спектральных величин для каждого набора реализаций, а затем полученные результаты усреднять по всем наборам. В случае стационарного эргодического случайного процесса требуемые наборы реализаций можно получить из одной реализации путем разбиения ее на части нужной длины (рис. 3.16). Если имеется набор из па таких реализаций Xk(t), (к—1)Г Г, =1, 2,. .., па, стационарного эргодического случайного процесса х(1) . то оценка спектраль- [c.81]

Систематические и случайные ошибки, характерные для оценок ковариационных функций и спектральных плотностей, исследованы в работах [3.1, 3.6, 3.7]. В табл. 3.2 дана их сводка. Статистические ошибки для более сложных функций анализируются в гл. 11. Выражения для случайных ошибок оценивания ковариационных функций, приведенные в табл. 3.2, могут служить лишь ориентиром, поскольку они получены в предположении, что спектр постоянен по всей полосе шириной В. Величина смещения для оценки взаимного спектра является оценкой сверху. Если обе реализации имеют спектральный пик на одной и той же частоте, то нужно брать наименьшее Вг. Нако- [c.86]

Вызванная этими факторами суммарная случайная ошибка прямым образом связана с а) функцией когерентности вычисленной по наблюдаемым реализациям входного и выходного процессов, и б) числом усреднений пц, использованных при вычислении оценок спектральных плотностей. В гл. И показано, что нормированная случайная ошибка оценивания амплитудной характеристики и среднеквадратичное отклонение при оценивании фазовой характеристики равны [c.113]

На рис. 5.8 приведены результаты оценивания в полосе частот 20—600 Гц функции когерентности у ху(1) и амплитудной характеристики (/) , которая называется приведенной массой и определяет, какую реакцию /(О =ускорение вызовет воздействие х(1) = сила. Как видно, Н(1) имеет несколько отчетливых пиков и впадин, соответствующих нормальным модам панели. Заметим далее, что у хуЦ) близка к единице на большинстве частот. Применение формулы (5.46) при такой функции когерентности и числе усреднений п<г=256 позволяет заключить, что каких-либо значительных случайных ошибок нет. На графике у ху( ) есть, однако, несколько впадин на тех же частотах, на которых ( ) имеет пики или впадины. Эти результаты типичны для оценивания спектральных плотностей на пределе разрешения. [c.121]

НИМ процессом на выходе (рис. 8.2). Функции Xi t) и Хг(0 представляют собой произвольные стационарные или переходные случайные процессы, вообще говоря, коррелированные друг с другом. Задача заключается в определении частотных характеристик Hi if), Яг(/) и спектральной плотности 5 (f) по измерениям процессов Xi i), Xi t) м у t). [c.203]

В этой главе рассматриваются ошибки оценок статистических характеристик случайных процессов. Предполагается, что обрабатываемые данные представляют собой реализации стационарных эргодических или переходных процессов и анализ производится на цифровой ЭВМ. Полученные результаты касаются оценок различных зависящих от частоты характеристик линейных систем с одним или несколькими входными процессами. К ним относятся спектральные и взаимные спектральные плотности, функции обычной, частной и множественной когерентности, когерентный спектр выходного процесса, оптимальные амплитудная и фазовая характеристики и другие связанные с ними функции. [c.277]

Точность определения основных статистических величин, вычисляемых при корреляционном анализе [математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции тх, Ох, Яху(т)], зависит от числа данных, собранных с интервалом At за время наблюдения 6. Хотя для повышения точности целесообразно брать 9 как можно больше, одиако практически оно ограничено сверху. Инфранизкочастотный характер случайных процессов в промышленных системах полимеризации (основная часть спектральной плотности сосредоточена в интервале частот от со = О до со = 2 рад/с) приводит к тому, что общее время эксперимента измеряется многими десятками и сотнями часов. При этом начинает сказываться нестационарность процессов, в силу чего приходится ограничиваться такими интервалами времени, на которых нестационарные явления настолько малы, что ими можно пренебречь. [c.91]

Мы рассмотрели некоторые свойства интегрального преобразования Фурье на примере процесса x(t) и его спектра а(/). Конечно, указанными свойствами обладает любая пара функций, сопряженных по Фурье, например корреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, импульсная переходная характеристика и комплексный коэффициент передачи линейной системы [c.35]

Для эргодических случайных процессов случайная функция /Сж(т ) [см. формулу (3-5)] представляет собой состоятельную оценку корреляционной функции Кх х). Поэтому, принимая за основу определение спектральной плотности мощности в форме (3-9), можно за оценку спектральной плотности взять случайную величину [c.68]

Функция Сх([), называемая иногда периодограммой, является случайной функцией частоты. Исследуем корреляционные характеристики этой функции для процессов с непрерывной спектральной плотностью с этой целью рассмотрим величину [c.70]

Лг(/) V7 = Ss (f) по произвольному интервалу частот при Т—>-00 имеет предел в среднем квадратическом, равный интегралу от спектральной плотности мощности по тому же интервалу частот [Л. 74]. В частности, интегрируя случайную функцию в пределах от О до [, получим, состоятельную оценку спектральной функции, определяемой соотношением [c.75]

A. M. Цирлин, Определение спектральной плотности случайных процессов как задача приближения функции по ее оценке . Автоматика и телемеханика, т. XXV, № 8 (1964). [c.184]

Для описания изменчивости функции Сх-сЦ), продемонстриро ванной в разд 6.1 2, необходимо рассмотреть запись х () —7 /2 I Г/2, как один из многих возможных временных рядов которые могли бы быть наблюдены, т е как реализацию случай ного процесса Таким образом, изменчивость записи будет охарак теризована случайными величинами Х 1), —Т/2 ( Т/2, как указывалось в гл 5 При этом выборочная спектральная плотность СххЦ) в некоторой точке ( рассматривается как реализация случайной величины Схх ), точно так же, как Схх и) считается реализацией случайной величины Схх(и) > Получив распределение Схх Схх [c.263]

Если оценки спектральной и взаимной спектральной плотностей вычислены путем усреднения оценок, полученных по % неперекрывающимся отрезкам исходных реализаций, то случайная ошибка оценки функции когерентности имеет вид [c.288]

У хуЦ) и п<г, при которых получается оценка амплитудной характеристики со случайной ошибкой в[ Яж ,(/) ]=0,10. Из табл. 11.6 видно, что, как и в случае оценивания функции когерентности (табл. 11.4), при достаточно больших значениях оценка амплитудной характеристики обладает меньшей случайной ошибкой, чем оценки спектральной и взаимной спектральной плотностей, по которым она вычислена. Например, при -у ад О.бО и =100 имеем е[Ожж] =0,10 и 8[1бзд ]=0,11, тогда как е[ Нху ] 0,035. [c.292]

Спектральную плотность мощности мы определили выражением (2-21). Равносильным ему является определение спектральной плотности мощности преобразованием Фурье корреляционной функции Фа (т) случайного процессв А (/) с конечной мощностью (2-25). [c.49]

Аналогичные рассуждения можно провести и для взаимной спектральной плотности мощности Gxvif) = xv(f)—iQxy(f). Составляющие взаимной спектральной плотности xy f) и Qxtf(/) для стационарных, стационарно связанных и обладающих эргодическим свойством по отношению к взаимной корреляционной функции случайных процессов Х(<) и Y t) можно определить из соотношений [c.50]